7.3.1 三角函数的周期性-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦三角函数周期性，系统呈现周期函数定义、正弦余弦正切函数周期公式及求法，通过定义导入，结合基点小试、例题解析、总结公式注意事项，构建从基础概念到公式应用的递进式学习支架。 其亮点在于例题覆盖不同类型三角函数求周期，母题探究结合奇偶性变式训练，以数学眼光抽象概念，用数学思维推理变量转化，帮助学生掌握周期计算与性质应用，教师可借助系统例题和练习提升教学效率。

数学·必修·第一册(苏教) 第7章 三角函数 7．3　三角函数的图象和性质 7．3．1　三角函数的周期性 非零的常数 f(x＋T)＝f(x) 最小的正数 2kπ(k∈Z且k≠0 课下培优巩固练（四十） [课程标准]　1.理解周期函数的定义．　2.知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．　3.会求函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)以及y＝A tan (ωx＋φ)的周期． 1．周期函数的定义 (1)设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个____________T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且________________________，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期． (2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个______________，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期) (3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，______________________都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π. 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 一般地，函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0， ω>0)的周期T＝________．函数y＝A tan (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为 eq \f(π,ω) . eq \f(2π,ω) 【基点小试】 1．函数y＝ eq \r(3) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,4))) 的周期是________. 解析：T＝ eq \f(2π,π) ＝2. 答案：2 2．(2025·八省联考)函数f(x)＝cos(x＋ eq \f(π,4))的最小正周期是(　　 ) A． eq \f(π,4) B． eq \f(π,2) C．π D．2π 解析：f(x)的最小正周期T＝2π. 答案：D 题型一　求三角函数的周期 例1.求下列函数的最小正周期． (1)f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋\f(π,3))) ； (2)f(x)＝2tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3x＋\f(π,4))) ； (3)y＝|sin x|； (4)f(x)＝－2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ax＋\f(π,4))) (a≠0). 解：(1)T＝ eq \f(2π,\f(1,3)) ＝6π，∴最小正周期为6π. (2)T＝ eq \f(π,|－3|) ＝ eq \f(π,3) ，∴最小正周期为 eq \f(π,3) . (3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π. 验证：∵|sin (x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|， ∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的最小正周期是π. (4)T＝ eq \f(2π,|2a|) ＝ eq \f(π,|a|) ，∴最小正周期为 eq \f(π,|a|) . [总结] 　利用公式求y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T＝ eq \f(2π,|ω|) . 【练一练】 1．求下列函数的最小正周期． (1)f(x)＝－2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))) ； (2)f(x)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6))) ； (3)f(x)＝|cos x|； (4)f(x)＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6))) . 解：(1)T＝ eq \f(2π,4) ＝ eq \f(π,2) ，∴函数最小正周期为 eq \f(π,2) . (2)T＝ eq \f(π,3) ，∴函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6))) 的最小正周期为 eq \f(π,3) . (3)T＝π，∴y＝|cos x|的最小正周期为π. (4)T＝ eq \f(2π,\f(1,4)) ＝8π，∴y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6))) 的最小正周期为8π. 题型二　周期性的应用 例2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 时，f(x)＝sin x，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3))) 的值． 解：∵f(x)的最小正周期是π. ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－2π)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) . 又∵f(x)是R上的偶函数， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝sin eq \f(π,3) ＝ eq \f(\r(3),2) ， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3))) ＝ eq \f(\r(3),2) . 【母题探究】　1.(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3))) 的值． 解：∵f(x)的最小正周期为π， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－2π)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ， ∵f(x)是R上的奇函数， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝－sin eq \f(π,3) ＝－ eq \f(\r(3),2) ， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3))) ＝－ eq \f(\r(3),2) . 2．(变结论)本例条件不变，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19π,6))) 的值． 解：∵f(x)的最小正周期为π， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19π,6))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3π－\f(π,6))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))) ， ∵f(x)是R上的偶函数， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))) ＝sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,2) . ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19π,6))) ＝ eq \f(1,2) . [总结] 　函数的周期性与其他性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解． 【练一练】 2．若函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝6，则f(1)＋f(6)＝________． 解析：因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f(2)＝f(－2)，f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝f(－2)＝0， 所以f(6)＝f(2)＝0，即f(1)＋f(6)＝－6. 答案：－6 $