7.3.1 三角函数的周期性 导学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学导学案聚焦三角函数的周期性，核心内容包括周期函数与最小正周期的定义，正余弦、正切函数及复合三角函数周期的求法。课堂导入从单摆运动、时钟圆周运动等周期性现象切入，通过复习旧知搭建认知支架，引导学生从生活现象中抽象数学概念。 资料以“活动链”推动深度学习，通过小组合作建构周期定义与公式培养推理意识，结合单摆运动图像分析等实际问题，让学生用数学语言表达现实规律，习题分层设计覆盖基础与应用，助力提升抽象能力、应用意识和创新意识。

第8课时 三角函数的周期性 学习目标　1.理解周期函数，最小正周期的定义.2.会求正、余弦函数和正切函数的周期.3.能够判断实际问题中的周期. 【活动过程】 活动一：复习探究，感受数学 问题　单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？ 活动二：小组合作，建构数学 1.函数的周期性 设函数y=f(x)的定义域为A，如果存在一个 ，使得对于任意的x∈A，都有x+T∈A，并且 ，那么函数f(x)就叫作周期函数. 叫作这个函数的周期. 2.最小正周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期. 3.正弦函数和余弦函数的最小正周期为2π，正切函数的最小正周期为π. 函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为函数y=Atan(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为. 活动三：学习展示，运用数学 例1　求下列函数的周期： (1)f(x)=cos； (2)f(x)=|sin x|； (3)f(x)=tan 5x. 跟踪训练1　(1)(多选)下列函数中，周期为4π的是(　　) A.y=sin B.y=tan C.y= D.y=2cos x (2)函数y=tan的最小正周期不小于3，求正整数k的最大值. 例2　若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性地变化，如图所示，请回答下列问题： (1)单摆运动的周期是多少？ (2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)当t=11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 跟踪训练2　一机械振动中，某质点离开平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)之间的函数关系，如图所示. (1)求该函数的周期； (2)求当t=25.5 s时，该质点离开平衡位置的位移. 活动四：课堂总结，感悟提升 活动五：课后作业 1.函数f(x)=2cos x，x∈R的最小正周期为(　　) A. B.1 C.2 D.4 2.函数f(x)=tan与函数g(x)=sin的最小正周期相同，则ω等于(　　) A.±1 B.1 C.±2 D.2 . 3.设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x)，f(x+2)=f(x)，则函数y=f(x)的图象可能是(　　) 4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则ω的值为(　　) A. B.2 C.π D.2π 5.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)=则f的值为(　　) A.1 B. C.0 D.- 6.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　) A.10 B.11 C.12 D.13 7.设f(x)是周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=sin x+x，则当1<x<2时，f(x)等于(　　) A.sin x+x B.sin(x-2)+x-2 C.sin(x+2)+x+2 D.sin(x+2)+x-2 8.干支纪年历法(农历)，是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存.黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法.干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.受此周期律的启发，可以求得函数f(x)=sin+cos 3x的最小正周期为(　　) A.15π B.12π C.6π D.4π 9.(多选)下列函数中最小正周期为π的是(　　) A.y=|cos x| B.y=sin 6x C.y=cos D.y=tan 10.(多选)下列命题中不正确的有(　　) A.存在函数f(x)定义域中的某个自变量x0，使f(x0+T)=f(x0)，则f(x)为周期函数 B.存在常数T，使得对f(x)定义域内任意x，都满足f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函数 C.周期函数可能没有最小正周期 D.周期函数的周期是唯一的 11.写出一个最小正周期为3的函数　　　　　　　　　　.  12.已知函数y=sin(A>0)的最小正周期为3π，则函数y=3cos[(2A-1)x-π]的最小正周期为　　　　.  13.若f(x)=sinx，则f(-2)=　　　　；f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=　　　.  14.求下列函数的周期： (1)f(x)=2sinx∈R； (2)f(x)=1-2cosx，x∈R. 15.已知弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位：cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示. (1)求该函数的周期； (2)求t=10.5 s时弹簧振子相对平衡位置的位移. 16.设函数f(x)=3sinω>0且最小正周期为. (1)求f(x)的解析式； (2)已知f=求sin α的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $