专题7.3 三角函数的诱导公式（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题7.3 三角函数的诱导公式（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 诱导公式一】 2 【题型2 诱导公式二、三、四】 3 【题型3 诱导公式五、六】 4 【题型4 三角函数的化简、求值——诱导公式】 5 【题型5 三角函数恒等式的证明——诱导公式】 7 【题型6 诱导公式的综合应用】 8 【题型7 同角基本关系式和诱导公式的综合应用】 10 知识点1 诱导公式 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 4．用诱导公式求值 用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等. 【题型1 诱导公式一】 【例1】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值即可得解. 【解答过程】. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一下·陕西渭南·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可. 【解答过程】. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一上·广东广州·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据三角函数的诱导公式，化简得到，即可求解. 【解答过程】由三角函数的诱导公式，可得. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高一上·广东·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用诱导公式化简计算即可. 【解答过程】. 故选：A. 【题型2 诱导公式二、三、四】 【例2】（24-25高一上·广东汕头·期末）=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用诱导公式化简计算即可. 【解答过程】. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高一下·安徽·开学考试）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用诱导公式求值. 【解答过程】. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一上·云南德宏·期末）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据诱导公式求值. 【解答过程】 . 故选：A. 【变式2-3】（24-25高一上·广东汕头·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用诱导公式化简即可求出. 【解答过程】 ， 故选：D. 【题型3 诱导公式五、六】 【例3】（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】借助诱导公式计算即得. 【解答过程】. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由诱导公式化简，即可得到结果. 【解答过程】. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·全国·课前预习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过对所求式子进行变形，利用已知条件得出答案即可. 【解答过程】，． 故选：. 【变式3-3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】因为，利用诱导公式求解. 【解答过程】因为， 则． 故选：C. 【题型4 三角函数的化简、求值——诱导公式】 【例4】（25-26高一上·全国·课前预习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用三角函数诱导公式化简求值即可． 【解答过程】． 故选：D． 【变式4-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用诱导公式化简已知等式，可得，结合角的范围，即得答案. 【解答过程】因为， 所以，解得或，故或， 由于，则，所以， 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）化简． 【答案】 【解题思路】根据诱导公式化简即可求解. 【解答过程】原式． 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）化简下列各式并求值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】直接利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可. 【解答过程】（1） . （2） . 【题型5 三角函数恒等式的证明——诱导公式】 【例5】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用诱导公式化简即可. 【解答过程】左边右边， 所以． 【变式5-1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【解题思路】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【解答过程】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 【变式5-2】（2025高一·全国·专题练习）求证： 【答案】证明见解析 【解题思路】对等式左边用诱导公式进行化简证明 【解答过程】左边＝＝右边，所以原等式成立． 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）求证：； （2）设，求证. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解题思路】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论. 【解答过程】（1）左边=   =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 【题型6 诱导公式的综合应用】 【例6】（24-25高一上·云南·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据三角函数定义，结合诱导公式求解可得. 【解答过程】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据交点求出，结合选项验证即可. 【解答过程】由题得．所以，A错误； ，B错误；，C正确；，D错误． 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一下·河南·期中）如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边，分别与单位圆交于点A，B，已知，，，且点A的纵坐标为． (1)求的值； (2)求点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由点坐标可直接写出、、，然后由诱导公式化简代数式后代入对应值即可求得结果； （2）利用诱导公式即可得到、，即可得到点B的坐标. 【解答过程】（1）由题意可知：，则，，， 所以 （2）由题意可知， ∴， ， ∴. 【变式6-3】（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且． (1)若点的横坐标为，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)0 (2) 【解题思路】根据诱导公式化简求值即可. 【解答过程】（1）由题意：， 所以 . （2） . 【题型7 同角基本关系式和诱导公式的综合应用】 【例7】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【解题思路】首先利用诱导公式化简已知条件，得到，再结合同角三角函数的基本关系，将进行化简，将代入即可求解. 【解答过程】根据诱导公式可得 ， 即 ，所以 ， 则， 因为，则，而又因为， 所以， 将 代入得： ； 故选：D. 【变式7-1】（24-25高一上·广东清远·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据诱导公式，弦切互化和同角三角函数基本关系式即可求解； 【解答过程】因为，所以， 即，得． 所以． 故选：B． 【变式7-2】（25-26高一上·贵州铜仁·阶段练习）已知． (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用诱导公式可化简的表达式； （2）利用同角三角函数的平方关系求出的值，由此可得出的值； （3）利用诱导公式可化简得出的值. 【解答过程】（1）. （2）因为是第三象限角，且， 所以，故， 因此. （3）当时，. 【变式7-3】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用三角函数的定义得到，，再利用诱导公式化简原式代入即可求得结果. （2）因为，又为锐角，故，再利用转化以及同角三角函数的关系即可求得结果. 【解答过程】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点，所以， 所以， 又 ，将，代入可得 （2）由三角函数定义得，因为， 且，又为锐角，故， 所以，即， 因为， 又，所以， 所以. 故. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 三角函数的诱导公式（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 诱导公式一】 2 【题型2 诱导公式二、三、四】 3 【题型3 诱导公式五、六】 3 【题型4 三角函数的化简、求值——诱导公式】 3 【题型5 三角函数恒等式的证明——诱导公式】 4 【题型6 诱导公式的综合应用】 5 【题型7 同角基本关系式和诱导公式的综合应用】 6 知识点1 诱导公式 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 4．用诱导公式求值 用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等. 【题型1 诱导公式一】 【例1】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·陕西渭南·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·广东广州·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·广东·期末）（    ） A． B． C． D． 【题型2 诱导公式二、三、四】 【例2】（24-25高一上·广东汕头·期末）=（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·安徽·开学考试）的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·云南德宏·期末）的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·广东汕头·期末）（   ） A． B． C． D． 【题型3 诱导公式五、六】 【例3】（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·全国·课前预习）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 三角函数的化简、求值——诱导公式】 【例4】（25-26高一上·全国·课前预习）（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）化简． 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）化简下列各式并求值： (1)； (2)． 【题型5 三角函数恒等式的证明——诱导公式】 【例5】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【变式5-1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 【变式5-2】（2025高一·全国·专题练习）求证： 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）求证：； （2）设，求证. 【题型6 诱导公式的综合应用】 【例6】（24-25高一上·云南·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·河南·期中）如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边，分别与单位圆交于点A，B，已知，，，且点A的纵坐标为． (1)求的值； (2)求点B的坐标． 【变式6-3】（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且． (1)若点的横坐标为，求的值； (2)求的值． 【题型7 同角基本关系式和诱导公式的综合应用】 【例7】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A． B． C．4 D．6 【变式7-1】（24-25高一上·广东清远·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·贵州铜仁·阶段练习）已知． (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 【变式7-3】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $