7.2.2 同角三角函数关系-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦三角函数中的同角三角函数关系，系统呈现平方关系与商数关系及其变形公式。通过自主预习表格梳理、基点小试基础辨析衔接三角函数定义，以微点拨变形公式为支架，为后续求值、化简等题型搭建学习阶梯。 其亮点在于分层设计题型（从基础求值到综合证明），解题步骤规范（如分象限讨论、化切法转化），总结方法规律（如求值三步骤、化简技巧）。通过多法证明（如例3化弦与整体代入）培养数学思维，规范符号表达提升数学语言能力，学生能夯实基础掌握方法，教师可直接用于课堂教学提高效率。

数学·必修·第一册(苏教) 第7章 三角函数 7．2．2　同角三角函数关系 sin2α＋cos2α＝1 课下培优巩固练（三十七） [课程标准]　理解同角三角函数的基本关系式sin2x＋cos2x＝1， eq \f(sinx,cos x) ＝tan x. 描述方式 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 _______________________________ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 _______________________________ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 tanα＝ eq \f(sin α,cos α) (α≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z) 微点拨：同角三角函数关系的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. (2)tanα＝ eq \f(sin α,cos α) 的变形公式：sin α＝cos αtan α；cos α＝ eq \f(sin α,tan α) . 【基点小试】 1．下列四个结论中可能成立的是(　　) A．sin α＝ eq \f(1,2) 且cos α＝ eq \f(1,2) B．sin α＝0且cos α＝－1 C．tan α＝1且cos α＝－1 D．α是第二象限角时，tan α＝－ eq \f(sin α,cos α) 解析：根据同角三角函数关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立． 答案：B 2．已知cos α＝ eq \f(4,5) ，且α是第四象限角，求sin α， tan α的值． 解：因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝1－cos2α＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(9,25) . 又α是第四象限角，因此sinα<0，故sin α＝－ eq \f(3,5) ， tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) × eq \f(5,4) ＝－ eq \f(3,4) . 3．已知tan α＝2，求sin α和cos α的值． 解：由 eq \f(sin α,cos α) ＝tan α＝2，可得sin α＝2cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，故(2cosα)2＋cos2α＝1，解得cos2α＝ eq \f(1,5) . 又由tanα＝2>0，知α是第一或第三象限角． 若α是第一象限角，则cos α＝ eq \f(\r(5),5) ， sin α＝ eq \f(2\r(5),5) ； 若α是第三象限角，则cos α＝－ eq \f(\r(5),5) ， sin α＝－ eq \f(2\r(5),5) . 题型一　利用同角关系求值 例1.(1)已知cos α＝－ eq \f(3,5) ，求sin α，tan α的值． (2)已知tan α＝2. ①求 eq \f(sin α－3cos α,sin α＋cos α) 的值； ②求2sin2α－sinαcos α＋cos2α的值． 解： (1)∵cos α＝－ eq \f(3,5) ＜0，∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0，∴sin α＝ eq \r(1－cos2α) ＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(4,5) ，tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝－ eq \f(4,3) ； 当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0，∴sin α＝－ eq \r(1－cos2α) ＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2)) ＝－ eq \f(4,5) ，tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝ eq \f(4,3) . (2)①法一(代入法)　∵tan α＝2，∴ eq \f(sin α,cos α) ＝2，∴sin α＝2cos α. ∴ eq \f(sin α－3cos α,sin α＋cos α) ＝ eq \f(2cos α－3cos α,2cos α＋cos α) ＝－ eq \f(1,3) . 法二(弦化切)　∵tan α＝2. eq \f(sin α－3cos α,sin α＋cos α) ＝ eq \f(\f(sin α,cos α)－3,\f(sin α,cos α)＋1) ＝ eq \f(tan α－3,tan α＋1) ＝ eq \f(2－3,2＋1) ＝－ eq \f(1,3) . ②2sin2α－sinαcos α＋cos2α ＝ eq \f(2sin2α－sinαcos α＋cos2α,sin2α＋cos2α) ＝ eq \f(2tan2α－tanα＋1,tan2α＋1) ＝ eq \f(2×4－2＋1,4＋1) ＝ eq \f(7,5) . [总结]　已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值． 【练一练】 1．若sin α＝－ eq \f(5,13) ，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　) A． eq \f(12,5) B．－ eq \f(12,5) C． eq \f(5,12) D．－ eq \f(5,12) 解析：因为α为第四象限的角，故cos α＝ eq \r(1－sin2α) ＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(12,13) ，所以tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝ eq \f(－\f(5,13),\f(12,13)) ＝－ eq \f(5,12) . 答案：D 2．(2025·丹阳高一上期末)设tan α＝－ eq \f(1,2)，则 eq \f(sin2α＋1,sinαcos α－2cos2α)＝(　　) A．－ eq \f(3,5) B． eq \f(3,5) C．－1 D．1 解析： eq \f(sin2α＋1,sinαcos α－2cos2α)＝ eq \f(2sin2α＋cos2α,sinαcos α－2cos2α)＝ eq \f(2tan2α＋1,tanα－2)＝ eq \f(\f(3,2),－\f(5,2))＝－ eq \f(3,5). 答案：A 题型二　利用同角关系化简 例2.化简下列各式：(1) eq \f(sin θ－cos θ,tan θ－1) ；(2) eq \f(\r(1－2sin 40°cos 40°),cos 40°－\r(1－cos240°)) . 解：(1) eq \f(sin θ－cos θ,tan θ－1) ＝ eq \f(sin θ－cos θ,\f(sin θ,cos θ)－1) ＝ eq \f(sin θ－cos θ,\f(sin θ－cos θ,cos θ)) ＝cos θ； (2) eq \f(\r(1－2sin 40°cos 40°),cos 40°－\r(1－cos240°)) ＝ eq \f(\r(sin240°＋cos240°－2sin40°cos 40°),cos 40°－|sin 40°|) ＝ eq \f(\r(（sin 40°－cos 40°）2),cos 40°－sin 40°) ＝ eq \f(cos 40°－sin 40°,cos 40°－sin 40°) ＝1. [总结] 　三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 【练一练】 3．化简下列各式： (1)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α； (2) eq \r(\f(1＋cosα,1－cos α)) ＋ eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α)) (180°＜α＜270°). 解：(1)原式＝(cos2α＋sin2α)(cos4α－cos2αsin2α＋sin4α)＋3sin2αcos2α＝cos4α＋2sin2αcos2α＋sin4α＝(sin2α＋cos2α)2＝1. (2)因为180°＜α＜270°，所以sinα＜0， 原式＝ eq \r(\f(（1＋cos α）2,1－cos2α)) ＋ eq \r(\f(（1－cosα）2,1－cos2α)) ＝ eq \f(1＋cosα,|sin α|) ＋ eq \f(1－cos α,|sin α|) ＝ eq \f(2,|sin α|) ＝－ eq \f(2,sin α) . 题型三　利用同角关系证明 例3.求证： eq \f(2sin x cos x－1,cos2x－sin2x) ＝ eq \f(tanx－1,tan x＋1) . 证明：：法一　∵左边 ＝ eq \f(2sin x cos x－（sin2x＋cos2x）,cos2x－sin2x) ＝ eq \f(－（sin2x－2sinx cos x＋cos2x）,cos2x－sin2x) ＝ eq \f(（sinx－cos x）2,sin2x－cos2x) ＝ eq \f(（sinx－cos x）2,（sin x－cos x）（sin x＋cos x）) ＝ eq \f(sin x－cos x,sin x＋cos x) ＝ eq \f(tan x－1,tan x＋1) ＝右边， ∴原等式成立． 法二　∵右边＝ eq \f(\f(sin x,cos x)－1,\f(sin x,cos x)＋1) ＝ eq \f(sin x－cos x,sin x＋cos x) ， 左边＝ eq \f(1－2sin x cos x,sin2x－cos2x) ＝ eq \f(（sinx－cos x）2,sin2x－cos2x) ＝ eq \f(（sinx－cos x）2,（sin x－cos x）·（sin x＋cos x）) ＝ eq \f(sin x－cos x,sin x＋cos x) ， ∴左边＝右边，原等式成立． 【练一练】 4．求证： eq \f(tan αsin α,tan α－sin α) ＝ eq \f(tan α＋sin α,tan αsin α) . 证明：：法一　右边 ＝ eq \f(tan2α－sin2α,（tanα－sin α）tan αsin α) ＝ eq \f(tan2α－tan2αcos2α,（tanα－sin α）tan αsin α) ＝ eq \f(tan2α（1－cos2α）,（tanα－sin α）tan αsin α) ＝ eq \f(tan2αsin2α,（tanα－sin α）tan αsin α) ＝ eq \f(tan αsin α,tan α－sin α) ＝左边，所以原等式成立． 法二　左边＝ eq \f(tan αsin α,tan α－tan αcos α) ＝ eq \f(sin α,1－cos α) ， 右边＝ eq \f(tan α＋tan αcos α,tan αsin α) ＝ eq \f(1＋cos α,sin α) ＝ eq \f(1－cos2α,sinα（1－cos α）) ＝ eq \f(sin2α,sinα（1－cos α）) ＝ eq \f(sin α,1－cos α) ，所以原等式成立． 题型四　sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 例4.已知sin θ＋cos θ＝－ eq \f(\r(10),5) ，求下列各式的值： (1)sin θcos θ； (2) eq \f(1,sin θ) ＋ eq \f(1,cos θ) . 解：(1)因为sin θ＋cos θ＝－ eq \f(\r(10),5) ， 所以1＋2sin θcos θ＝ eq \f(2,5) ，即sin θcos θ＝－ eq \f(3,10) ， (2)由(1)得sin θcos θ＝－ eq \f(3,10) ， 所以 eq \f(1,sin θ) ＋ eq \f(1,cos θ) ＝ eq \f(cos θ＋sin θ,sin θcos θ) ＝ eq \f(2\r(10),3) . [总结] 　已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有： (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； (3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2； (4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 【练一练】 5．已知sin αcos α＝ eq \f(1,8) ，且 eq \f(π,4) ＜α＜ eq \f(π,2) ，则cos α－sin α＝(　　) A．－ eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(3),2) C．－ eq \f(3,4) D． eq \f(3,4) 解析：由sin αcos α＝ eq \f(1,8) 得(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝ eq \f(3,4) ，又 eq \f(π,4) ＜α＜ eq \f(π,2) ，故cos α－sin α＜0，因此cos α－sin α＝－ eq \f(\r(3),2) ，故选A. 答案：A 解析：tan α＋ eq \f(1,tan α) ＝ eq \f(sin α,cos α) ＋ eq \f(cos α,sin α) ＝ eq \f(1,sin αcos α) . ∵sin αcos α＝ eq \f(1－（sin α－cos α）2,2) ＝－ eq \f(1,8) ， ∴tan α＋ eq \f(1,tan α) ＝－8. 答案：C 6．已知sin α－cos α＝－ eq \f(\r(5),2) ，则tan α＋ eq \f(1,tan α) 的值为(　　) A．－4 B．4 C．－8 D．8 $