7.2.1 任意角的三角函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦苏教版高一必修第一册“任意角的三角函数”，系统覆盖定义（单位圆中坐标比值）、值的符号（象限规律）及三角函数线（有向线段）等核心知识点。通过“自主预习”衔接初中锐角三角函数，“微思考”以π/6、π/2等具体角的单位圆交点坐标为例，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于“基点小试”夯实基础认知，“互动探究”分题型深化应用，如通过终边点坐标求三角函数值、判断象限符号等实例，培养数学眼光（观察单位圆坐标关系）、数学思维（推理符号规律）与数学语言（规范符号表达）。既助力学生用数学眼光理解概念本质，又为教师提供系统教学路径，提升课堂效率与学生探究能力。

数学·必修·第一册(苏教) 第7章 三角函数 7．2　三角函数概念 7．2．1　任意角的三角函数 正 正 正 正 方向 正方向 正 负 MP OM AT 课下培优巩固练（三十六） [课程标准]　1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义．　2.能利用定义解决相关问题． 一、三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，它的终边与圆交于点P(x，y)，r＝ eq \r(x2＋y2) 定义 正弦函数 把比值___叫做α的正弦，记作sin α 余弦函数 把比值___叫做α的余弦，记作cos α 正切函数 把点P的纵坐标与横坐标的比值 eq \f(y,x) 叫做α的正切，记作tan α 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 eq \f(y,r) eq \f(x,r) 微思考：角α的始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P.当α＝ eq \f(π,6) 时，点P的坐标是什么？当α＝ eq \f(π,2) 或 eq \f(2π,3) 时，点P的坐标又是什么？ 提示：当α＝ eq \f(π,6) 时，点P的坐标为( eq \f(\r(3),2) ， eq \f(1,2) ). 当α＝ eq \f(π,2) 时，点P的坐标为(0，1). 当α＝ eq \f(2π,3) 时，点P的坐标为(－ eq \f(1,2) ， eq \f(\r(3),2) ). 二、三角函数值的符号 三角函数值在各象限的符号：在第一象限各三角函数值全为___，在第二象限只有正弦值为___，在第三象限只有正切值为___，在第四象限只有余弦值为___． [温馨提示]　正弦、余弦和正切函数值在各象限的符号可用以下口诀记忆： “一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 微思考：请根据三角函数的定义确定三角函数值在各象限的符号吗？ 提示： 三、三角函数线 1．有向线段的概念 规定了______(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段． 2．有向线段的数量 把规定了_________的直线称为有向直线．若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上___号或___号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB. 3．三角函数 有向线段______，______，______分别叫作角α的正弦线、余弦线和正弦线． 【基点小试】 1．若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限． 答案：D 2．角 eq \f(π,5) 和角 eq \f(6π,5) 有相同的(　　) A．正弦线 B．余弦线 C．正切线 D．不能确定 解析：在同一坐标系内作出角 eq \f(π,5) 和角 eq \f(6π,5) 的三角函数线(图略)可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等． 答案：C 3．若∠α＝ eq \f(7π,6) ，则正弦值为______，余弦值为_______，正切值为__________． 解析： eq \f(7π,6) 角的终边与单位圆交点为(－ eq \f(\r(3),2) ，－ eq \f(1,2) )，∴sin eq \f(7π,6) ＝－ eq \f(1,2) ， cos eq \f(7π,6) ＝－ eq \f(\r(3),2) ，tan eq \f(7π,6) ＝ eq \f(\r(3),3) . 答案：－ eq \f(1,2) 　－ eq \f(\r(3),2) 　 eq \f(\r(3),3) 4．已知角α的终边与单位圆的交点为P( eq \f(1,2) ，－ eq \f(\r(3),2) )，则tan α＝________． 解析：tan α＝ eq \f(－\f(\r(3),2),\f(1,2)) ＝－ eq \r(3) . 答案：－ eq \r(3) 题型一　三角函数的定义及应用 例1. （苏教版必修一P167例1改编）(1)如果角α的终边经过点P(－ eq \f(\r(3),2) ， eq \f(1,2) )，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________． (2)已知角θ的终边上有一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝ eq \f(\r(10),10) x，则sin θ＋tan θ的值为________________． 解析：(1)由题意知r＝|OP|＝ eq \r(（－\f(\r(3),2)）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)) ＝1， 所以sin α＝ eq \f(y,r) ＝ eq \f(\f(1,2),1) ＝ eq \f(1,2) ， cos α＝ eq \f(x,r) ＝－ eq \f(\f(\r(3),2),1) ＝－ eq \f(\r(3),2) ， tan α＝ eq \f(y,x) ＝ eq \f(\f(1,2),－\f(\r(3),2)) ＝－ eq \f(\r(3),3) . (2)因为r＝ eq \r(x2＋9) ，cos θ＝ eq \f(x,r) ，所以 eq \f(\r(10),10) x＝ eq \f(x,\r(x2＋9)) . 又x≠0，所以x＝±1，所以r＝ eq \r(10) .又y＝3＞0， 所以θ是第一或第二象限角． 当θ为第一象限角时，sin θ＝ eq \f(3\r(10),10) ，tan θ＝3. 则sin θ＋tan θ＝ eq \f(3\r(10)＋30,10) . 当θ为第二象限角时，sin θ＝ eq \f(3\r(10),10) ，tan θ＝－3， 则sin θ＋tan θ＝ eq \f(3\r(10)－30,10) . 答案：(1) eq \f(1,2) 　－ eq \f(\r(3),2) 　－ eq \f(\r(3),3) 　(2) eq \f(3\r(10)＋30,10) 或 eq \f(3\r(10)－30,10) 【练一练】 1．已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值． 解：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x2＋y2＝1，,x≥0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(5),5)，,y＝\f(2\r(5),5)，)) 即P( eq \f(\r(5),5) ， eq \f(2\r(5),5) )， 所以sin α＝y＝ eq \f(2\r(5),5) ，cos α＝x＝ eq \f(\r(5),5) . 2．已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，求sin α的值． 解：由题意可得：|OP|＝ eq \r(（－3m）2＋m2) ＝ eq \r(10) |m|. 当m＞0时，|OP|＝ eq \r(10) m， 则sin α＝ eq \f(m,\r(10)m) ＝ eq \f(\r(10),10) . 当m＜0时，|OP|＝ eq \r(10) |m|＝－ eq \r(10) m， 则sin α＝ eq \f(m,－\r(10)m) ＝－ eq \f(\r(10),10) . 题型二　三角函数值符号问题 例2. （苏教版必修一P169例4改编）(1) 若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β＜0，则此三角形必为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能 解析：三角形的两内角α，β的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上，sin α·cos β＜0，所以sin α＞0，cos β＜0，所以角β为钝角，此三角形为钝角三角形． 答案：B (2)确定下列各三角函数值的符号： ①cos 260°；②sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ；③tan eq \f(10π,3) . 解：①因为260°是第三象限角，所以cos 260°＜0. ②因为－ eq \f(π,3) 是第四象限角，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＜0. ③因为 eq \f(10π,3) 是第三象限角，所以tan eq \f(10π,3) ＞0. [总结] 　由三角函数的定义sin α＝ eq \f(y,r) ，cos α＝ eq \f(x,r) ，tan α＝ eq \f(y,x) (r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键． 【练一练】 3．(2025·苏州高一上期末)“点P(sin θ，tan θ)在第二象限”是“角θ为第三象限角”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若点P(sin θ，tan θ)在第二象限，则sin θ<0，tan θ>0，则角θ为第三象限角，故充分性成立， 若角θ为第三象限角，则sin θ<0，tan θ>0，则点P(sin θ，tan θ)在第二象限，故必要性成立， ∴“点P(sin θ，tan θ)在第二象限”是“角θ为第三象限角”的充要条件． 答案：C 4．判断下面各式的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin α·cos eq \f(α,2) ·tan eq \f(α,2) (α为三角形的内角). 解：(1)∵ eq \f(π,2) <3<π<4< eq \f(3π,2) <5<2π， ∴3，4，5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵α为三角形的一个内角，∴0<α<π，0< eq \f(α,2) < eq \f(π,2) ， ∴sin α>0，cos eq \f(α,2) >0，tan eq \f(α,2) >0， ∴sin α·cos eq \f(α,2) ·tan eq \f(α,2) >0. 题型三　三角函数线的应用 例3.(1)设a＝sin (－1)，b＝cos (－1)，c＝tan (－1)，则有(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b 解析：如图，作出角α＝－1的正弦线、余弦线及正切线，显然b＝cos (－1)＝OM>0， c＝tan (－1)＝AT<0， a＝sin (－1)＝MP<0， 由图可知MP>AT，∴c<a<b. 答案：C (2)若0<a<2π，且sin α< eq \f(\r(3),2) ，cos α> eq \f(1,2) .利用三角函数线，得到α的取值范围是_______________________． 解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) ∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，2π)) . 答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) ∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，2π)) [总结]　1.利用三角函数线比较大小的两个关注点 (1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值； (2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向． 2．利用三角函数线解三角不等式的方法 正弦、余弦型不等式的解法 对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是寻求恰当的点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围 正切型不等式的解法 对于tan x≥c，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围 【练一练】 5．求函数f(x)＝ eq \r(1－2cos x) ＋ln (sin x－ eq \f(\r(2),2) )的定义域． 解：由题意，得自变量x应满足不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2cos x≥0，,sin x－\f(\r(2),2)>0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos x≤\f(1,2)，,sin x>\f(\r(2),2)．)) 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， 即定义域为{x|2kπ＋ eq \f(π,3) ≤x，2kπ＋ eq \f(3π,4) ，k∈Z}． $