7.2.1 任意角的三角函数（教学课件）数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数的符号判断与几何表示，通过典例精讲和变式训练引入，逐步过渡到单位圆与有向线段的几何意义，最终以反思总结梳理知识脉络，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维）为核心，通过单位圆定义有向线段PM、OM解释正弦余弦，结合例题变式培养逻辑推理，用规范术语与名言渗透数学语言。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

第七章 三角函数 7.2.1 任意角的三角函数 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：理解任意角的正弦、余弦、正切的定义并学会其应用； 教学难点：借助单位圆理解任意角的三角函数定义. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会用角的正弦线、余弦线、正切线分别表示角的正弦、余弦、正切函数值； 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号. 教学目标 学科素养 直观想象：体会利用单位圆可视化任意角三角函数的定义，同时结合图象理解三角函数性质； 数学抽象：以回顾锐角三角函数定义，引入单位圆抽象任意角的三角函数定义. 新知引入 问题1：如图所示，点P在半径为r的圆上进行匀速圆周运动，其位置可以如何表示？ 有两种表示方法： （1）建立圆心角和半径的位置关系： （2）建立直角坐标系： 问题2：我们应该用怎样的数学模型研究这四个量的关系？ 不妨从初中学习过的锐角三角函数开始探索. 复习导入 问题3：在初中阶段我们是如何定义锐角三角函数的？ 在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，角 A 为锐角，则用角 A 的对边 BC ，邻边 AC 和斜边 AB 之间的比值来定义角 A 的三角函数． A B C 问题4：右图中如何表示角的，， ？ 问题探究 问题5：若改变点P（x，y）在角α终边上的位置，与之相应的sinα，cosα，tanα的值会不会发生改变？ 问题4：图中如何表示角的，， ？ 对于任意角而言，当的终边移动到不同象限时，我们依然能通过x,y,r给出，， . ，， 与p点的位置有关吗？ 问题探究 现在我们通过x,y,r给出了有关的三个量，， ！ 比值叫作的正弦，记作，即 比值叫作的余弦，记作，即 比值叫作的正切，记作，即 问题探究 例题1：如图，已知角的终边经过点 P(2, -3) ，求的正弦、余弦、正切值． 解： 因为 x = 2 ， y = -3 ， 所以 ， 从而 思考：角的终边经过点 P(2, -3) ，那么角是唯一的吗？ 新知呈现 P点是角的终边和圆的交点.那么我们应该做什么圆来得到P点呢？ 解：当时，设的终边与单位圆的交点 P 的坐标为． 根据直角三角形中锐角的对边是斜边的一半，可知 又由勾股定理得，解得．所以点 P的坐标为． 因此 变式1：当时，求的值； 单位圆 变式2：当时，求的值； 新知呈现 变式3：若角𝛼的终边在直线上,则=________. 一般地； 新知呈现 α(°) 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 α的弧度 sin α - - 问题6：对于表中的角度，计算其弧度，并计算的值，填写下表： 问题7：角α与sin α构成函数关系吗？ 画图 问题探究 问题7：α的弧度与sin α构成函数关系吗？ 对于每一个，都有唯一确定的与对应，故是的函数． 对应关系 问题8：角α与tan α构成函数关系吗？如果是，那么它的定义域是什么？ 当时，角的终边在y轴上，故有x = 0，这时无意义． 三角函数 正弦函数 R 余弦函数 R 正切函数 问题探究 + ﹣ ﹣ + + ﹣ ﹣ + + ﹣ ﹣ 定的终边所在象限 看终边上点的坐标 问题9：根据任意角的三角函数定义，将这三种函数的值在各象限的符号填入图中的括号． 正弦函数值的符号与 y 的符号相同， 余弦函数值的符号与 x 的符号相同． 典例精讲 例题4：确定下列正弦、余弦、正切值的符号： （1）； （2）； （3）。 （2）因为，即是第三象限角，所以． （3）因为，即是第四象限角，所以． 解 （1）因为是第二象限角，所以． 典例精讲 变式训练 变式1：确定下列三角函数值的符号： （1）因为 ，所以 是第二象限角，故。 （2）因为。所以 是第三象限角。故。 （3）化简角：，终边落在y轴正半轴，不属于任何象限。 （4）化简角：，所以 是第一象限角， 新知呈现 二 三 二 例题5：若，则𝛼是第___象限角. 变式1：若，则𝛼是第___象限角. 变式2：已知点在第三象限,则𝛼的终边在第___象限. 典例精讲 探究：正弦函数值、余弦函数值、正切函数值的几何表示 单位圆：r = 1正弦，余弦的定义变为： 问题10：如果我们将正弦函数和余弦函数的几何表示定义为PM和OM，这样是合理的吗？ 为了解决正负号的问题，我们定义有向线段. 新知呈现 规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段 探究：正弦函数值、余弦函数值、正切函数值的几何表示 引入有向线段的概念后，如果x > 0，有向线段OM与x轴同向，其数量为x；如果x < 0，有向线段OM与x轴反向，其数量也为x。故总有OM = x。同理可知MP = y。所以 正弦线 余弦线 新知呈现 探究：正弦函数值、余弦函数值、正切函数值的几何表示 问题11：如何通过有向线段定义正切函数值的几何表示呢？ 当角终边在y轴的右侧时，在角终边上取点T(1, y')，则； A为单位圆x轴正半轴的交点 当角终边在y轴的左侧时，在角终边的反向延长线上取点T(1, y')，由于它关于原点的对称点Q(-1, -y')在角终边上，所以。 正切线 反思总结 问题12：通过这节课我们按照顺序学习了哪些内容？ 正弦： 余弦： 正切： 正弦函数 余弦函数 正切函数 三角函数在各个象限的符号 三角函数的几何表示：正弦线、余弦线、正切线 感谢聆听 数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼 $