7.1.1 任意角-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦三角函数“任意角”，从射线要素（端点、起始、终止）切入，通过逆时针与顺时针旋转引入角的方向，结合坐标系建立终边位置模型，以α＋k·360°归纳终边相同的角，构建层层递进的学习支架。 其亮点在于以结构化分点呈现核心概念，蓝色箭头导航辅助知识流程，课下培优巩固练强化应用。通过观察旋转现象培养数学眼光，归纳终边相同角发展数学思维，用符号语言精确表达提升数学语言能力，助力学生系统掌握知识，方便教师同步高效教学。

数学·必修·第一册(苏教) 第7章 三角函数 7．1　角与弧度 7．1．1　任意角 一条射线 端点 起始 终止 逆时针 顺时针 任何 原点 非负半轴 终边 坐标轴 α＋k·360° 周角 课下培优巩固练（三十四） [课程标准]　1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角．　2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合．　3.了解象限角的概念． 一、任意角的概念 1．角的概念 角可以看成平面内____________绕着它的______旋转所成的图形． 2．角的表示 如图，①始边：射线的______位置OA； ②终边：射线的______位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”，在不引起混淆的前提下，也可简记成“α”． 3．角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按_________方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按_________方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作______旋转形成的角 微点拨：对角的概念的理解 (1)要明确旋转方向； (2)要明确旋转角度的大小； (3)要明确射线未作任何旋转时的位置； (4)注意由旋转方向来确定角的符号，从而角分为正角、负角、零角． 二、平面直角坐标系中的任意角 条件 在直角坐标系中，角的顶点与______重合，角的始边与x轴的____________重合 象限角 角的______落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 轴线角 角的终边在_________上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角 终边相 同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝__________________，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个______的和 微点拨：各象限角的集合 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)小于90°的角都是锐角. (　　) (2)终边与始边重合的角为零角．(　　) (3)大于90°的角都是钝角．(　　) (4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.(　　) 解析：(1)－120°小于90°，不是锐角，错误． (2)逆时针旋转一周，终边与始边重合，角的大小为360°不是零角，错误． (3)210°大于90°，不是钝角，错误． (4)分针是顺时针旋转，是负角，错误． 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．与－457°角的终边相同的角的集合是(　　) A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z} 解析：由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}． 答案：C 3．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角， 并说明是第几象限的角？ 这些角有什么内在联系？ (1)－32°；(2)328°；(3)－392°. 解：都是第四象限角，这些角相差360°的整数倍数． 题型一　任意角的概念 例1.下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③钝角比第三象限角小； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的结论为________(填序号). 解析：①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确； ②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确； ③钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故③不正确； ④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． 答案：② [总结] 　对任意角的理解 对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 【练一练】 1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(　　) A．150° B．－150° C．390° D．－390° 解析：各角和的旋转量等于各角旋转量的和．所以120°＋(－270°)＝－150°，故选B. 答案：B 2．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　) A．120° B．－120° C．－60° D．60° 解析：由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－ eq \f(4,12) ×360°＝－120°. 答案：B 题型二　终边相同的角的表示及应用 例2. （苏教版必修一P160例1改编）已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角并判定它是第几象限的角． (1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角． 解：因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}． (1)最小的正角为315°. (2)最大的负角为－45°. (3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°. 【母题探究】　本例条件不变，指出α所在象限及720°～1 080°之间的角． 解：∵－1 845°＝－45°＋(－5)×360°， ∴α在第四象限． 令720°＜－45°＋k·360°＜1 080°(k∈Z)， 解得k＝3. ∴在720°～1 080°之间与其终边相同的角为－45°＋3×360°＝1 035°. [总结] 　在终边相同的角的表示中，k·360°可以理解为按一定方向转动的圈数，k取正整数时，按逆时针转，k取负整数时，按顺时针转，k＝0时，没有转动． 【练一练】 3．写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来． 解：直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合： S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝ 45°＋n·180°，n∈Z}． ∴S中适合－360°≤β<720°的元素是： 45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°； 45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°； 45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°. 题型三　象限角与区间角的表示 角度1　象限角的判断 例3.(1)已知α是第二象限角，则180°－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z). 所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)(k∈Z)， 即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)， 所以180°－α为第一象限角． 答案：A (2) （苏教版必修一P160例2改编）已知α是第二象限角，求角 eq \f(α,2) 所在的象限． 解：∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z). ∴ eq \f(k,2) ·360°＋45°< eq \f(α,2) < eq \f(k,2) ·360°＋90°(k∈Z). 当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得 n·360°＋45°< eq \f(α,2) <n·360°＋90°， 这表明 eq \f(α,2) 是第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得 n·360°＋225°< eq \f(α,2) <n·360°＋270°， 这表明 eq \f(α,2) 是第三象限角． ∴ eq \f(α,2) 为第一或第三象限角． 【母题探究】　1.(变设问)在例3.(2)条件下，求角2α的终边的位置． 解：∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z). ∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z). ∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上． 2．(变条件)若α是第一象限角，求 eq \f(α,2) 是第几象限角？ 解：∵k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)， ∴k·180°< eq \f(α,2) <k·180°＋45°(k∈Z). 当k＝2n(n∈Z)时，n·360°< eq \f(α,2) <n·360°＋45°，∴ eq \f(α,2) 是第一象限角． 当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋180°< eq \f(α,2) <n·360°＋225°，∴ eq \f(α,2) 是第三象限角．∴ eq \f(α,2) 是第一或第三象限角． [总结] 　象限角的判定方法 (1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为 0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系． (2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的． 角度2　区间角的表示 例4.已知，如图所示． ①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 解：①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}； 终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}． ②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． [总结] 　表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 【练一练】 4．如图，终边落在阴影部分的角的集合是(　　) A．{α|－45°≤α≤120°} B．{α|120°≤α≤315°} C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z} 解析：阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整数倍，即{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}． 答案：C 5．如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？ 解：在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°， 则所有满足条件的角β为 {β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}． $