6.2 第三课时 指数函数的图象和性质(二)-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦苏教版必修第一册第6章“指数函数的图象和性质(二)”，涵盖比较大小、指数不等式解法、复合函数单调性等核心应用，通过自主预习衔接前序知识，构建从基础性质到综合应用的学习支架。 其亮点在于题型分类系统，例题改编自教材并注重方法总结，如比较大小归纳三种类型解法，实际问题构建指数模型，培养学生数学思维与应用意识，助力学生系统掌握知识，为教师提供结构化教学资源。

数学·必修·第一册(苏教) 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6．2　指数函数 第三课时　指数函数的图象和性质(二) 课下培优巩固练（三十） 题型一　指数函数性质 角度1　比较大小 例1. （苏教版必修一P136例1改编）比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1). 解：(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值， 因为函数y＝0.6x在R上是减函数， 且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1. (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3； 当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3. [总结] 　指数幂大小比较问题的三种类型及解法 (1)对于底数相同、指数不同的两个幂，可以利用指数函数的单调性来判断大小； (2)对于底数不同、指数相同的两个幂，可以利用函数图象的变化规律来判断大小； (3)对于底数不同、指数也不同的两个幂，则可通过中间值(特别是0，1)来比较大小． 角度2　指数不等式的解法 例2.(1) （苏教版必修一P138T6改编）解不等式≤2； (2)已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，求x的取值范围． 解：(1) ， 所以原不等式等价于≤21. 因为y＝2x是R上的增函数， 所以2－x2≤1. 所以x2≥1， 即x≥1或x≤－1. 所以原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}． (2)因为a2＋a＋2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(7,4) >1， 所以y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数， 所以x>1－x， 解得x> eq \f(1,2) ， 所以x的取值范围是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(1,2))) . [总结] 　指数不等式的两种类型及解法 (1)形如ax>ab的不等式，借助函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； (2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性求解． 角度3　形如y＝af(x)(a>0且a≠1)型函数单调性 例3.函数f(x)＝的单调递增区间为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1－\r(5),2))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(5),2)，＋∞)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 解析：由x2－x－1≥0，得x≤ eq \f(1－\r(5),2) 或x≥ eq \f(1＋\r(5),2) . 函数t＝x2－x－1在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1－\r(5),2))) 上为减函数，在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(5),2)，＋∞)) 上为增函数，而函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(t) 在t∈[0，＋∞)上是减函数， 所以函数f(x)＝的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1－\r(5),2))) .故选A. 答案：选A. [总结] 　(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性． (2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． 角度4　指数型函数的定义域、值域 例4.求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2 eq \s\up16(\f(1,x－4)) ；(2)y＝； (3)y＝ eq \r(32x－1－\f(1,9)) ；(4)y＝4x＋2x＋1＋3. 解：(1)由x－4≠0，得x≠4， 所以函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞). 因为x－4≠0，即 eq \f(1,x－4) ≠0， 所以2 eq \s\up16(\f(1,x－4)) ≠1. 故函数的值域为(0，1)∪(1，＋∞). (2)显然定义域为R. 因为2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，且y＝在R上为减函数， 所以≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(1) ＝ eq \f(1,2) . 故函数y＝的值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) . (3)由32x－1－ eq \f(1,9) ≥0，得32x－1≥ eq \f(1,9) ＝3－2. 因为y＝32x－1在R上为增函数， 所以2x－1≥－2，解得x≥－ eq \f(1,2) . 故函数的定义域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) . 由上可知32x－1－ eq \f(1,9) ≥0， 所以y≥0. 即函数的值域为[0，＋∞). (4)显然定义域为R. 由题意，得y＝4x＋2x＋1＋3＝(2x＋1)2＋2， 由于2x>0， 所以(2x＋1)2>1， 所以y＝4x＋2x＋1＋3的值域是(3，＋∞). [总结] 　(1)对于y＝af(x)这类函数： ①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围． ②值域问题，应分以下两步求解： a．由定义域求出u＝f(x)的值域； b．利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域． (2)利用指数函数y＝ax的定义域和值域求变异或复合后的函数的定义域与值域时的方法如下： 由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，利用指数函数的单调性求值域． (3)形如f(x)＝k·a2x＋m·ax＋t(a>0且a≠1，k，m≠0)型函数的值域，常用换元法转化为二次函数在给定区间上的最值问题． 角度5　指数函数的最值问题 例5.已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1). (1)若f(1)＋f(－1)＝ eq \f(5,2) ，求f(2)＋f(－2)的值； (2)若函数f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的差为 eq \f(8,3) ，求实数a的值． 解：(1)因为f(x)＝ax，f(1)＋f(－1)＝ eq \f(5,2) ， 所以f(1)＋f(－1)＝a＋ eq \f(1,a) ＝ eq \f(5,2) ，解得a＝2或 eq \f(1,2) ， 当a＝2时，f(x)＝2x，f(2)＋f(－2)＝22＋2－2＝ eq \f(17,4) ， 当a＝ eq \f(1,2) 时，f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) ，f(2)＋f(－2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－2) ＝ eq \f(17,4) ，故f(2)＋f(－2)＝ eq \f(17,4) . (2)当a>1时，f(x)＝ax在[－1，1]上单调递增， 所以f(x)max－f(x)min＝f(1)－f(－1)＝a－a－1＝ eq \f(8,3) ，化简得3a2－8a－3＝0， 解得a＝－ eq \f(1,3) (舍去)或a＝3. 当0<a<1时，f(x)＝ax在[－1，1]上单调递减， 所以f(x)max－f(x)min＝f(－1)－f(1)＝a－1－a＝ eq \f(8,3) ，化简得3a2＋8a－3＝0. 解得a＝－3(舍去)或a＝ eq \f(1,3) . 综上，实数a的值为3或 eq \f(1,3) . [总结] 　(1)指数函数y＝ax(a>1)为单调递增函数，在闭区间[m，n]上存在最大值和最小值，并且当x＝m时取得最小值am，当x＝n时取得最大值an. (2)指数函数y＝ax(0<a<1)为单调递减函数，在闭区间[m，n]上存在最大值和最小值，并且当x＝n时取得最小值an，当x＝m时取得最大值am. (3)对于函数y＝af(x)，x∈D，其最值由底数a和f(x)的值域确定． 【练一练】 1．下列关系中正确的是(　　) 解析：因为y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 是单调递减函数， eq \f(1,3) < eq \f(2,3) ，所以，因为幂函数在(0，＋∞)上单调递增，且 eq \f(1,5) < eq \f(1,2) ，所以，故选D. 答案：D 2．已知 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(3x＋1) >91－x，则x的取值范围是________. 解析： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(3x＋1) >91－x，得3－(3x＋1)>32(1－x)，即－(3x＋1)>2(1－x)，所以x<－3. 答案：(－∞，－3) 3．已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间是________，值域是________. 解析：因为函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间，即y＝x2－2x的增区间． 因为y＝x2－2x的增区间为[1，＋∞)，故f(x)的增区间为[1，＋∞). 因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，故f(x)≥2－1＝ eq \f(1,2) ，故函数f(x)的值域为[ eq \f(1,2) ，＋∞). 答案：[1，＋∞)　 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 4．函数y＝ eq \f(1,4x) － eq \f(1,2x) －1在x∈[0，＋∞)上的值域为________． 解析：令t＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) ，则y＝t2－t－1， 由x∈[0，＋∞)，t∈(0，1]. 因为y＝t2－t－1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2))) eq \s\up12(2) － eq \f(5,4) ， 则t＝ eq \f(1,2) 时，ymin＝－ eq \f(5,4) ，t＝1时，ymax＝－1， 所以函数y＝ eq \f(1,4x) － eq \f(1,2x) －1在x∈[0，＋∞)上的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，－1)) . 答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，－1)) . 5．求下列函数的值域． (1)y＝ eq \f(2x－1,2x＋1) ；(2)y＝ eq \f(2x,2＋4x) . 解：(1)因为y＝ eq \f(2x－1,2x＋1) ， 所以2x＝ eq \f(y＋1,1－y) >0. 所以 eq \f(y＋1,y－1) <0. 所以－1<y<1. 所以函数值域为(－1，1). (2)因为y＝ eq \f(2x,2＋4x) ＝ eq \f(1,\f(2,2x)＋2x) ≤ eq \f(1,2\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),4) . (当且仅当2x＝ eq \f(2,2x) ，即x＝ eq \f(1,2) 时取等号) 所以0<y≤ eq \f(\r(2),4) . 所以函数的值域为(0， eq \f(\r(2),4) ]. 6．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大 eq \f(a,2) ，求a的值． 解：①若a>1，则f(x)在[1，2]上单调递增，最大值为a2，最小值为a. 所以a2－a＝ eq \f(a,2) ，解得a＝ eq \f(3,2) 或a＝0(舍去). ②若0<a<1，则f(x)在[1，2]上单调递减，最大值为a，最小值为a2. 所以a－a2＝ eq \f(a,2) ，解得a＝ eq \f(1,2) 或a＝0(舍去). 综上所述，a的值为 eq \f(1,2) 或 eq \f(3,2) . 题型二　指数(型)函数的奇偶性 例6.已知函数f(x)＝ eq \f(2ax＋a－4,2ax＋a) (a>0，a≠1)是定义在R上的奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断f(x)在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明． 解：(1)因为函数f(x)＝ eq \f(2ax＋a－4,2ax＋a) (a>0，a≠1)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝ eq \f(a－2,a＋2) ＝0，可得a＝2. (2)函数f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) 在定义域R上是增函数． 证明：任取x1，x2∈R且x1<x2. f(x1)－f(x2)＝－ 因为x1<x2， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函数． [总结] 　判定指数(型)函数奇偶性要注意的问题 (1)坚持“定义域优先”的原则：如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)正确利用变形技巧：分析f(x)和f(－x)的关系，必要时可利用f(x)±f(－x)＝0来判定． (3)巧用图象的特征：在解答有图象信息的选择、填空题时，可根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，进行快速判定． 【练一练】 7．已知函数f(x)＝x2· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2x＋1))) 是R上的奇函数，则实数a等于(　　) A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2) C．－1 D．1 解析：根据题意，函数f(x)＝x2· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2x＋1))) 是R上的奇函数，则有f(－x)＝－f(x)，即(－x)2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2－x＋1))) ＝－x2· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2x＋1))) ， 整理可得a＋ eq \f(2x,2x＋1) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2x＋1))) ，则有2a＝－1，即a＝－ eq \f(1,2) .故选A. 答案：A 题型三　指数函数图象的应用 例7.已知函数y＝2|x＋2|. (1)画出该函数的图象； (2)由图象指出其单调区间． 解：(1)∵y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2，　x≥－2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x＋2)，　x<－2.)) ∴y＝2x＋2(x≥－2)的图象可由y＝2x的图象向左平移2个单位，再截取x≥－2的部分得到．y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x＋2) (x<－2)的图象可由y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 的图象向左平移2个单位，再截取x<－2的部分得到．∴函数y＝2|x＋2|的图象如图所示． (2)由图象可知其单调递增区间为[－2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－2]. [总结] 　作函数图象的方法一般有：一是列表、描点、连线法作图象；二是利用已知函数图象作平移、对称等变换得到函数图象．只要能作出函数的图象，便可由图象确定出函数的单调性、最值、值域、奇偶性等性质． 【练一练】 8．画出下列函数的图象并根据图象求单调区间： (1)y＝|2x－2|； (2)y＝2－|x|. 解：(1)y＝|2x－2|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－2（x≥1），,2－2x（x＜1）)) 的图象如图所示． 由图象可得函数y＝|2x－2|的递增区间为[1，＋∞)，递减区间为(－∞，1]. (2)y＝2－|x|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)（x≥0），,2x（x＜0）)) 的图象如图所示． 由图象可得函数y＝2－|x|的递增区间为(－∞，0]，递减区间为[0，＋∞). 题型四　指数型函数的实际应用 例8.某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出x年后该城市的人口总数y(万人)与年数x的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人). (参考数据：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127) 解：(1)1年后该城市人口总数为： y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3； … x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人). [总结] 解决指数型函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论． 【练一练】 9．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因．交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过________小时后才可以驾驶机动车．(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：设n个小时后才可以驾车， 由题得方程0.8(1－50%)n＝0.2， 0．5n＝ eq \f(1,4) ，n＝2， 即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车． 答案：B 10．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%. (1)写出产量y随年数x变化的函数解析式； (2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p. 解：(1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x， 定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N*}． (2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100. $