5.4 第一课时 奇偶性的概念-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，系统讲解概念、几何意义及判断方法。通过自主预习表格对比奇偶函数定义，结合一次、反比例、二次函数实例，搭建新旧知识联系的学习支架。 亮点在于融合定义、图象、性质法判断奇偶性，通过图像辨析、分段函数奇偶性分析等例题，培养几何直观的数学眼光和逻辑推理的数学思维。总结步骤规范清晰，助力学生夯实基础提升能力，教师可高效开展教学。

数学·必修·第一册(苏教) 第5章 函数概念与性质 5.4　函数的奇偶性 第一课时　奇偶性的概念 y轴 原点 课下培优巩固练（二十五） [课程标准]　结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为A，如果∀x∈A，都有－x∈A 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于_______对称 关于_______对称 微点拔：1.理解函数奇偶性的注意点 (1)从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的一个数值时，则－x也必是定义域中的一个数值，因此函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称． (2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则根据定义可得，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0，即奇函数的图象过原点． (3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集． 2．常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数y＝ eq \f(a,x) (a≠0) 奇函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 3.奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论． (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【基点小试】 1．(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝x(x∈[0，1]) B．y＝3x2 C．y＝ eq \f(1,x) D．y＝x|x| 解析：利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B，故选CD. 答案：CD 2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) 解析：选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数． 答案：B 3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1. 答案：C 题型一　判断函数的奇偶性 例1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝ eq \r(1－x2) ＋ eq \r(x2－1) ； (3)f(x)＝ eq \f(2x2＋2x,x＋1) ； (4)f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,x＋1，x>0.)) 解：(1)函数的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)， 因此函数f(x)是奇函数． (2)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,x2－1≥0)) 得x2＝1，即x＝±1. 因此函数的定义域为{－1，1}，因为∀x∈{－1，1}，都有－x∈{－1，1}，且f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}． f(－x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－1，－x<0，,－x＋1，－x>0，)) 即f(－x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（x＋1），x>0，,－（x－1），x<0.)) 于是有f(－x)＝－f(x). 所以f(x)为奇函数． [总结] 　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 提醒：(1)分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． (2)若F(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x≥0，,f（－x），x<0，)) 则F(x)是偶函数；若F(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（x），x≥0，,－g（－x），x<0，)) 则F(x)是奇函数． 【练一练】 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝x＋ eq \f(1,x) ； (2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝ eq \f(x,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))) . 解：(1)∵函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 的定义域为{x|x≠0}， f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x))) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))) ＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 是奇函数． (2)∵函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 的定义域为{x|x≠0}，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x)) ＝ eq \f(－x,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－x))) ＝ eq \f(－x,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))) ＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 是奇函数． 题型二　奇偶函数的图象问题 例2.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补充完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间及值域； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合； (4)求出函数f(x)在R上的解析式． 解：(1)由题图及y＝f(x)是定义在R上的奇函数，可得左侧图象如下： (2)由(1)所得函数图象知：单调递增区间为(－1，1)，值域R. (3)由(1)所得函数图象知：使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞). (4)∵函数f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(x)＝－f(－x). 当x>0时，－x<0，则f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋2(－x)]＝－x2＋2x. 综上，f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≤0，,－x2＋2x，x>0.)) [总结] 　巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题． 【练一练】 2．(2025·苏州高一上期末)函数y＝f(x)的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为(　　 ) A．y＝f(－x)＋1 B．y＝f(－x＋1) C．y＝－f(x＋1) D．y＝－f(－x－1) 解析：先将函数y＝f(x)的图象关于原点对称，可得出函数y＝－f(－x)的图象，如下图所示： 再把所得函数图象向左平移1个单位长度，即可得出图②所示图象， 故图②所示图象对应的函数为y＝－f(－(x＋1))＝－f(－x－1). 答案：D 3．设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________． 解析：由f(x)在[0，6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0，3).又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3).综上可知不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0，3). 答案：[－6，－3)∪(0，3) 题型三　利用函数的奇偶性求值 例3.(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝______，b＝________． 解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝ eq \f(1,3) . 又函数f(x)＝ eq \f(1,3) x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. 答案： eq \f(1,3) 　0 (2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　) A．21 B．－21 C．26 D．－26 解析：设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数， 由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5， 求得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数， 所以g(3)＝－g(－3)＝－13， 于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21. 答案：B [总结] 　利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用特定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 【练一练】 4．已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝x3＋ax＋b为奇函数，则b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝x3＋ax＋b为奇函数，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 的定义域为R. 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0)) ＝0，所以b＝0，经检验符合题意． 答案：B 5．已知函数f(x)＝x3＋x＋1，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a)) ＝7，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a)) ＝(　　) A．2 B．0 C．－5 D．－6 解析：由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a)) ＝a3＋a＋1＝7，得a3＋a＝6， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a)) ＝－a3－a＋1＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3＋a)) ＋1＝－6＋1＝－5. 答案：C 6．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≤0，,ax2＋bx，x>0)) 为奇函数，则a＝________；b＝________． 解析：当x<0时，－x>0，∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x).即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1. 答案：－1　1 $