1.1 第一课时 集合的概念-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦集合的概念、元素特征（确定性、互异性、无序性）、元素与集合关系及常用数集记法，通过自主预习实例（如“中国古代四大发明”“接近于0的数”）导入，帮助学生从具体到抽象，构建认知支架。 其亮点在于“自主预习-互动探究-母题探究”环节，结合实例分析（如判断集合构成、已知元素求参数）培养数学眼光（抽象能力、符号意识）和数学思维（推理能力），总结步骤清晰（如3步求参数），助力教师高效教学，学生提升问题解决能力。

数学·必修·第一册(苏教) 第1章 集合 1．1　集合的概念与表示 第一课时　集合的概念 确定的 不同的 每一个 确定性 互异性 无序性 ∈ a∈A ∉ a∉A 课下培优巩固练（一） [课程标准]　1.通过实例，了解集合的含义．　2.理解元素与集合的“属于”关系．　3.针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合． 一、元素与集合的概念 1．概念：一般地，一定范围内某些_________、_________对象的全体组成一个集合．集合中的_________对象称为该集合的元素，简称元． 2．集合中元素的特征：_________、_________、_________． 3．元素与集合的表示： (1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素． (2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合． 微思考：给出以下的对象： ①平面直角坐标系内y轴附近的点； ②26个英文字母； ③新华书店中有意义的小说； ④π的近似值． 其中能组成集合的有几个？ 提示：①③④中的对象不具有确定性，故不能构成集合；②中的26个英文字母能构成集合． 二、元素与集合的关系 1．属于(符号：___)，a是集合A中的元素，记作_________，读作“a属于A”． 2．不属于(符号：___或)，a不是集合A中的元素，记作_________或aA，读作“a不属于A”． 微点拔：(1)元素和集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的． (2)“a∈A”还是“a∉A”取决于元素a是否是集合A中的元素，这两种情况中必有且只有一种成立． (3)“∈”“∉”表达的是元素和集合之间的关系，具有方向性，左边是元素，右边是集合．即开口方向向着集合． 三、常用的数集及其记法 常用 数集 非负整数集 (自然数集) 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数 集 记法 N N*或N＋ Z Q R 【基点小试】 1．(多选)下列关系中，正确的是(　　) A．－ eq \f(4,3) ∉Z B．π∉R C． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\r(2))) ∈Q D．0∈N 答案：AD 解析：因为Z是整数集，故－ eq \f(4,3) ∉Z，所以A正确； 因为R是实数集，故π∈R，所以B错误； 因为Q是有理数集，故 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\r(2))) ＝ eq \r(2) ∉Q，所以C错误； 因为N是自然数集，故0∈N，所以D正确． 2．以下各组对象不能构成集合的是______(填序号). ①中国古代四大发明； ②地球上的小河流； ③方程x2－1＝0的实数解； ④周长为10 cm的三角形； ⑤接近于0的数． 解析：①中国古代四大发明是造纸术，指南针，火药和印刷术，是确定的，能构成集合； ②地球上的小河流，不确定，不能构成集合； ③方程x2－1＝0的实数解是1或－1，是确定的，能构成集合； ④周长为10cm的三角形，是确定的，能构成集合； ⑤接近于0的数，不确定，不能构成集合． 答案：②⑤ 3．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为__________. 解析：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，实数a的值为0或－1. 答案：0或－1 4．（苏教版必修一P8T4改编）若x∈N，且 eq \f(1,x) ∈N，则x＝______. 解析：因为x∈N，且 eq \f(1,x) ∈N，则x＝1. 答案：1 题型一　集合的基本概念 例1.给出下列各组对象： ①联合国常任理事国； ②充分接近 eq \r(2) 的全体实数； ③方程x2＋x－1＝0的实数根； ④全国著名的高等院校． 以上能构成集合的是(　　) A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 答案： A 解析：①联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国．所以可以构成集合； ②中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合； ③方程x2＋x－1＝0的实数根是确定的，所以能构成集合； ④全国著名的高等院校．不满足集合确定性的条件，不构成集合． [总结] 　利用集合中元素的特性判断对象能否组成集合 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 【练一练】 1．给出下列说法： ①中国的所有直辖市可以组成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以组成一个集合； ③正偶数的全体可以组成一个集合； ④大于2 020且小于2 025的所有整数不能组成集合． 其中正确的有________．(填序号) 解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中满足条件的所有整数能组成集合，所以④错误． 答案：①③ 题型二　元素与集合的关系 角度1　判断元素与集合的关系 例2.已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17______A；－5______A. 解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z， 令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A. 令3k＋2＝－5得，k＝－ eq \f(7,3) ∉Z.所以－5∉A. 答案：∈　∉ [总结] 　判断元素与集合关系的2种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 角度2　已知元素与集合的关系求参数 例3.设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合． (1)0是否是集合A中的元素？ (2)若－5∈A，求实数a的值； (3)若1∉A，求实数a的取值范围． 解：(1)将x＝0代入方程，02－a×0－5＝－5≠0，所以0不是集合A中的元素； (2)若－5∈A，则有(－5)2－(－5)a－5＝0，解得a＝－4. (3)若1∉A，则12－a×1－5≠0，解得a≠－4. [总结] 　已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a∉A时，结论恰恰相反． 利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意要根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验． 【练一练】 2．（苏教版必修一P8T2改编）已知集合M中的元素x满足3－2x<0，则下列结论正确的是(　　) A．0∈M，2∈M B．0∉M，2∈M C．0∈M，2∉M D．0∉M，2∉M 答案：B 解析：由3－2x<0，得x> eq \f(3,2) ，所以0∉M，2∈M. 3．集合A中的元素x满足 eq \f(6,3－x) ∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． 解析：∵x∈N， eq \f(6,3－x) ∈N， ∴0≤x≤2且x∈N. 当x＝0时， eq \f(6,3－x) ＝ eq \f(6,3) ＝2∈N； 当x＝1时， eq \f(6,3－x) ＝ eq \f(6,3－1) ＝3∈N； 当x＝2时， eq \f(6,3－x) ＝ eq \f(6,3－2) ＝6∈N. ∴A中元素有0，1，2. 答案： 0，1，2 题型三　集合中元素的特征及应用 例4.已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________． 解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1. 答案：－1 【母题探究】　(1)(变条件)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值． 解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2，或a＝ eq \r(2) ，或a＝－ eq \r(2) . (2)(变条件)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？ 解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1. (3)(变条件)已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值． 解：由a∈A可知， 当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1. 当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去).　　 综上可知，a＝0. [总结] 　根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤 【练一练】 4．已知集合A由元素a－3，2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值． 解：因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3. 若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中的元素分别为－3，－1，－4，符合题意． 若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的元素分别为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性，舍去． 若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去).当a＝1时，集合A中的元素分别为－2，1，－3，符合题意． 综上所述，实数a的值为0或1. $