5.1 第一课时 函数的概念-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数概念与性质，核心涵盖函数定义、定义域、值域及同一函数判断。通过“自主预习”衔接集合对应知识，搭建从集合到函数定义的学习支架，逐步过渡到定义域求解、函数关系辨析等内容。 其亮点在于以“基点小试”“题型探究”结合实例，如用垂直于y轴直线判断函数图象、列不等式组求定义域，培养数学思维的推理能力和数学语言的符号意识。总结环节结构化方法，如求定义域五步法，助学生发展抽象能力，既让学生循序渐进掌握概念，也为教师提供系统教学资源。

数学·必修·第一册(苏教) 第5章 函数概念与性质 5．1　函数的概念和图象 第一课时　 函数的概念 自变量x 相同 完全一致 课下培优巩固练（二十） [课程标准]　1.在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．　2.会求几种简单函数的定义域、值域．　3.理解函数图象的概念，并能画出一些比较简单的函数的图象．　4.能够利用图象解决一些简单的函数问题． {y|y＝f(x)，x∈A} 一、函数的概念 定义 一般地，给定两个非空 ，按照某种对应关系f，对于集合A中的 ，在集合B中都有 的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 ______________的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合____________________ 实数集合A和B 每一个实数x 唯一 二、同一个函数 如果两个函数的定义域______，并且对应关系____________，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 微思考：函数y＝( eq \r(x) )2与y＝|x|是同一个函数吗？ 提示：∵y＝( eq \r(x) )2的定义域为[0，＋∞)，y＝|x| 的定义域为R，∴两个函数不是同一个函数. 【基点小试】 1．下列四个图象中，不是函数图象的是(　　) 答案：B 解析：根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B. 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝x－2和y＝ eq \f(x2－4,x＋2) B．y＝x－1和y＝ eq \r(x2－2x＋1) C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2 D．f(x)＝ eq \f(（\r(x)）2,x) 和g(x)＝ eq \f(x,（\r(x)）2) 解析：A中的函数定义域不同；B中函数的对应关系不同；C中两函数的对应关系不同，故选D. 答案：选D. 题型一　函数关系的判断 例1.(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：图①不满足定义域M＝{x|0≤x≤2}； 图③不满足集合N＝{y|0≤y≤2}； 图④不满足函数的定义，如x＝1时对应两个不同的y值． 答案：B (2)(多选)下列对应关系是实数集R上的函数的是(　　) A．f：把x对应到3x＋1 B．g：把x对应到|x|＋1 C．h：把x对应到 eq \f(1,x) D．r：把x对应到 eq \r(x) 答案： AB 解析：A，B满足题意，C中当x＝0时不满足，D中当x<0时不满足，故选AB. [总结]　1.判断一个对应关系是否为函数的方法 2．根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 【练一练】 1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数． (1)A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； (2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (3)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，2，4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应． 解：(1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数． (2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数． (3)对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数． (4)集合A不是数集，故不是函数． 题型二　同一个函数的判断 例2.下面四组函数中， f(x)与g(x)表示同一个函数的是(　　) A. f(x)＝ eq \f(x2－1,x＋1) ，g(x)＝x－1 B. f(x)＝|x|，g(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0)) C. f(x)＝ eq \r(x2) ，g(x)＝( eq \r(x) )2 D. f(x)＝x0，g(x)＝1 答案： B 解析：选项A中两个函数定义域不同，前者是{x|x≠－1}，后者是全体实数，故不是同一个函数；选项C中两个函数定义域不同，前者是全体实数，后者是非负数，故不是同一个函数；选项D中两个函数定义域不同，前者是{x|x≠0}，后者是全体实数，故不是同一个函数；选项B中两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一个函数． [总结] 　同一个函数的判断应注意的3点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 【练一练】 2．下列各组函数： ①f(x)＝ eq \f(\r(x),x) ，g(x)＝ eq \f(x,\r(x)) ； ②f(x)＝ eq \r(x＋1) · eq \r(1－x) ，g(x)＝ eq \r(1－x2) ； ③f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1 其中表示同一个函数的是________．(填上所有正确的序号) 解析：①不是同一个函数，对应关系不同， f(x)＝ eq \f(1,\r(x)) ，g(x)＝ eq \r(x) . ②是同一个函数，定义域、对应关系都相同． ③f(x)与g(t)两函数的三要素完全相同，是同一函数． 答案：②③ 题型三　求函数的定义域 角度1　求具体函数的定义域 例3.（苏教版必修一P101T6改编）求下列函数的定义域： (1)y＝ eq \f(（x＋1）2,x＋1) － eq \r(1－x) ；(2)y＝ eq \f(\r(5－x),|x|－3) . 解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0，)) 解得x≤1，且x≠－1， 即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}． (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,|x|－3≠0，)) 解得x≤5，且x≠±3， 即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}． [总结] 　求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 角度2　求抽象函数的定义域 例4.(1)若函数y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 的定义域是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2)) ，则函数g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝ eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x)),2x) 的定义域是___________． 解析：∵函数y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 的定义域是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2)) ， ∴g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝ eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x)),2x) 的定义域须满足， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤2x≤2，,x≠0，)) 解得0<x≤1， 所以函数g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 的定义域为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1)) . 答案： eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1)) (2)已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)) 的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0)) ，则函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－3)) 的定义域为__________． 解析：因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)) 的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0)) ，则由－1<x<0可得0<x＋1<1， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1)) ， 则在f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－3)) 中，0<2x－3<1，解得 eq \f(3,2) <x<2， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－3)) 的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) . 答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) [总结] 　抽象函数定义域求解方法 (1)若已知函数f(x)的定义域[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 的定义域为g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 在x∈[a，b]上的值域． 【练一练】 3．已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4)) ，求函数g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋3)) ＋ eq \r(4－x2) 的定义域为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，1)) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，1)) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，7)) D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，－2)) 答案：B 解析：由题设可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x＋3<4，,4－x2≥0，)) 故－2≤x<1，故函数的定义域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，1)) . 4．已知函数f(x＋1)的定义域为[－2，3]，则函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1)) 的定义域为___________． 解析：已知函数f(x＋1)的定义域为[－2，3]， 所以函数f(x)的定义域为[－1，4]， 在函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1)) 中，－1≤ eq \f(1,x) ＋1≤4，－2≤ eq \f(1,x) ≤3 所以x≤－ eq \f(1,2) 或x≥ eq \f(1,3) 所以函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1)) 的定义域为{x|x≤－ eq \f(1,2) 或x≥ eq \f(1,3) }． 答案： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(1,2))) 或 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3))) 5．求下列函数的定义域： (1)y＝2＋ eq \f(3,x－2) ； (2)y＝ eq \r(3－x) · eq \r(x－1) ； (3)y＝(x－1)0＋ eq \r(\f(2,x＋1)) . 解：(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋ eq \f(3,x－2) 有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}． (2)函数有意义，当且仅当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x－1≥0.)) 解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}． (3)函数有意义，当且仅当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,\f(2,x＋1)≥0，,x＋1≠0.)) 解得x>－1，且x≠1， 所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}． 题型四　求函数值和值域 例5.(1)已知f(x)＝ eq \f(1,1＋x) (x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________． 解析：∵f(x)＝ eq \f(1,1＋x) ， ∴f(2)＝ eq \f(1,1＋2) ＝ eq \f(1,3) . 又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6， ∴f(g(2))＝f(6)＝ eq \f(1,1＋6) ＝ eq \f(1,7) . 答案： eq \f(1,3) 　 eq \f(1,7) (2)求下列函数的值域： ①y＝x＋1； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； ③y＝ eq \f(3x－1,x＋1) ； ④y＝2x－ eq \r(x－1) . 解：①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R. ②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6). ③(分离常数法)y＝ eq \f(3x－1,x＋1) ＝ eq \f(3x＋3－4,x＋1) ＝3－ eq \f(4,x＋1) . ∵ eq \f(4,x＋1) ≠0，∴y≠3， ∴y＝ eq \f(3x－1,x＋1) 的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞). ④(换元法)设t＝ eq \r(x－1) ，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2(t－ eq \f(1,4) )2＋ eq \f(15,8) ，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[ eq \f(15,8) ，＋∞). [总结] 　求函数值域的方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法． (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． (4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b± eq \r(cx±d) )，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 【练一练】 6．（苏教版必修一P101T7改编）求下列函数的值域： (1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)； (2)y＝x＋ eq \r(2x－1) . 解：(1)∵x∈[－5，－2]在对称轴x＝－1的左侧， ∴x∈[－5，－2]时，抛物线上升． ∴当x＝－5时，ymin＝－12，当x＝－2时，ymax＝3. ∴y＝－x2－2x＋3的值域是[－12，3]. (2)法一　设u＝ eq \r(2x－1) ，则u≥0， ∴x＝ eq \f(1＋u2,2) . ∴y＝ eq \f(1＋u2,2) ＋u＝ eq \f(1,2) (u＋1)2. ∵u≥0，∴y≥ eq \f(1,2) ， ∴y＝x＋ eq \r(2x－1) 的值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) . 法二　∵2x－1≥0， ∴x≥ eq \f(1,2) . 而当x增大时y也增大，∴y≥ eq \f(1,2) ， ∴y＝x＋ eq \r(2x－1) 的值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) . $