3.3.1 从函数观点看一元二次方程-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“从函数观点看一元二次方程”，核心讲解函数零点概念、一元二次方程根与零点关系、零点个数判断及分布，通过自主预习梳理概念，基点小试巩固基础，搭建二次函数图像与方程根的联系，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过代数法解方程与几何法图像观察结合，如“练一练”中含参数函数零点的分类讨论，培养抽象能力与推理意识。总结环节明确方法步骤，教师使用可高效组织互动探究，学生能提升逻辑思维与解题规范。

数学·必修·第一册(苏教) 第3章 不等式 3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3．3．1　 从函数观点看一元二次方程 自变量x 横坐标 课下培优巩固练（十四） [课程标准]　1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．　2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．　3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 一、二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时____________的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的_________，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 微点拔：函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应方程的实数根． 二、函数零点的探究 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示： 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，2＝ eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) 有两个相等的实数根x1，2＝－ eq \f(b,2a) 没有 实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点______________ 有一个零点x＝___ 无零点 x1，2＝ eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) eq \f(－b,2a) 微点拔：求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0.若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的实数根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点． 【基点小试】 1．二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案：C 解析：令y＝0得，x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为－1. 2．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________． 解析：由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2. 答案：2 3．求下列函数的零点． (1)y＝3x2－2x－1； (2)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． 解：(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－ eq \f(1,3) ，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－ eq \f(1,3) . (2)由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，可知该函数的零点为－3和1. 题型一　二次函数的零点 例1.(1)（苏教版必修一P59例1改编）二次函数y＝x2－7x＋12的零点为________； (2)若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是________． 解析：(1)由x2－7x＋12＝0得x1＝3，x2＝4. 所以函数y＝x2－7x＋12的零点为3和4. (2)由题图可知函数y1＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与对应方程根的关系知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，即a＝5，b＝－6.所以y2＝－6x2－5x－1，易得y2的零点为－ eq \f(1,2) 和－ eq \f(1,3) . 答案：(1)3和4　(2)－ eq \f(1,2) 和－ eq \f(1,3) [总结] 　二次函数零点的求法 (1)代数法：求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根，即为函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点； (2)几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图象联系起来，利用函数的性质求零点． 【练一练】 1．求函数y＝ax2－x－a－1(a∈R)的零点． 解：①当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1. ②当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝ eq \f(a＋1,a) ，x2＝－1. 当 eq \f(a＋1,a) ＝－1时，即当a＝－ eq \f(1,2) 时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1. 当 eq \f(a＋1,a) ≠－1且a≠0时，即当a≠－ eq \f(1,2) 且a≠0时，x1≠x2， 函数有两个零点－1和 eq \f(a＋1,a) . 综上：当a＝0或－ eq \f(1,2) 时，函数的零点为－1. 当a≠－ eq \f(1,2) 且a≠0时，函数有两个零点－1和 eq \f(a＋1,a) . 题型二　函数零点个数的判断与证明 例2.若a>2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点． 证明：因为Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)， 又a>2，所以Δ>0， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点． 【母题探究】　(变设问)求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件． 解：因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点． 当a＝2时，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0无解，函数无零点． 当a≠2时，因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根． 所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0. 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2≥0，,a＋2≥0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2≤0，,a＋2≤0，)) 解得a≥2或a≤－2，又a≠2所以a>2或a≤－2， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件为a>2或a≤－2. [总结] 　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数的判断 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac. (1)Δ>0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点； (2)Δ＝0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点； (3)Δ<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点． 题型三　二次函数零点的分布探究 例3.(1)（苏教版必修一P59例2改编）判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零点； (2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围． [思维点拨]　(1)直接求出函数的零点，再加以判定． (2)结合相应一元二次方程的判别式和根与系数的关系进行研究． 解：(1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋ eq \r(2) ，x2＝－1－ eq \r(2) ，因为－3<－1－ eq \r(2) <－2， 所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)存在零点． (2)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数， 所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等的正实数根，显然a≠2. 由一元二次方程的根与系数的关系得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4（a－2）（a＋2）>0，,x1＋x2＝－\f(－2（a－2）,（a－2）)＝2>0，,x1x2＝\f(－4,a－2)>0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>2或a<－2，,a<2，)) 所以a<－2. 即实数a的取值范围(－∞，－2). [总结] 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)零点的分布探究 结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理： (1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2>0，,x1x2>0)) ⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点； (2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2<0，,x1x2>0)) ⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点； (3)x1x2<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点． 【练一练】 2．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R). (1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围； (2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围． 解：法一　由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a. (1)因为该函数有两个正的零点，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－a>0，,a≠1－a，)) 解得0<a< eq \f(1,2) 或 eq \f(1,2) <a<1， 所以a的取值范围是0<a< eq \f(1,2) 或 eq \f(1,2) <a<1. (2)因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠1－a，,a>1，,1－a<1)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠1－a，,1－a>1，,a<1，)) 解得a>1或a<0. 所以a的取值范围是a>1或a<0. 法二　(1)因为该函数有两个正的零点，该函数其相应方程为x2－x－a2＋a＝0， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝1－4（－a2＋a）＝（2a－1）2>0，,x1＋x2＝1>0，,x1x2＝－a2＋a>0，)) 解得0<a< eq \f(1,2) 或 eq \f(1,2) <a<1， 所以a的取值范围是0<a< eq \f(1,2) 或 eq \f(1,2) <a<1. (2)方程x2－x－a2＋a＝0中，Δ＝1－4(－a2＋a)＝(2a－1)2>0，设其两实数根分别为x1，x2， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝1，,x1x2＝－a2＋a，)) 因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1， 所以(x1－1)(x2－1)<0，即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，所以(－a2＋a)－1＋1<0，解得a>1或a<0. 所以a的取值范围是a>1或a<0. $