3.2.2 基本不等式的应用 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

3.2.2　基本不等式的应用 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.进一步熟练掌握基本不等式,能够通过配凑、变形等手段利用基本不等式求最值.

2.要灵活应用不等式解决问题,能够利用基本不等式解决实际问题.

题型(一)　利用基本不等式求最值的方法

1.已知a,b都是正数,则有

 

2.基本不等式求最值的条件

(1)a,b必须是正数.

(2)求积ab的最大值时,应看和a+b是否为定值;求和a+b的最小值时,应看积ab是否为定值.

(3)等号成立的条件是否满足.

[例1]　(配凑求最值)已知x>3,求y=2x+的最小值.

[解]　因为x>3,所以2x-6>0,

所以y=2x+=2x-6++6≥2+6=2×2+6=10,

当且仅当2x-6=,即x=4时,等号成立.

所以y=2x+的最小值是10.

[例2]　(拆裂项求最值)若x>1,求函数y=的最小值.

[解]　由x>1,知x-1>0.

所以y===x+1+=x-1++2≥2+2=4,

当且仅当=x-1,即x=2时,等号成立.

所以当x=2时,y取得最小值4.

[例3]　(常数代换求最值)已知x>0,y>0,且满足+=1,求x+2y的最小值.

[解]　因为x>0,y>0,+=1,

所以x+2y=(x+2y)=8+++2=10++≥10+2=18,

当且仅当=,即x=12,y=3时,等号成立,

所以x+2y的最小值为18.

|思|维|建|模|

(1)为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件,常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使得“和”或“积”为定值.

(2)裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和,再根据分式分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式求最值创造条件,进而求出最值.

(3)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值.

 [针对训练]

1.设0<x<2,则的最大值为　　　　. 

解析:因为0<x<2,所以4-2x>0.所以=·≤·=,当且仅当2x=4-2x,即x=1时,等号成立,所以的最大值为.

答案:

2.已知a>0,b>0,若a+b=2,求+的最小值.

解:因为a>0,b>0,所以a+1>0,b+1>0.

又a+b=2,所以a+1+b+1=4.所以+=[(a+1)+(b+1)]=≥=,

当且仅当即时,等号成立.所以+的最小值为.

 

 

 

题型(二)　利用基本不等式解决实际问题

 [例4]　如图,动物园要以墙体为背面,用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼.现有可围36 m长钢筋网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼的面积最大?

[解]　设每间虎笼的长为x m,宽为y m,则每间虎笼的面积为S=xy,

由已知可得4x+5y=36,由基本不等式可得S=xy=·4x·5y≤×=(m2),当且仅当即时,等号成立,因此,每间虎笼的长为 m,宽为 m时,可使每间虎笼的面积最大.

[变式拓展]

本例条件变为“每间虎笼的面积为20 m2”,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?