3.2.2 基本不等式的应用 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

3.2.2　基本不等式的应用 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.进一步熟练掌握基本不等式,能够通过配凑、变形等手段利用基本不等式求最值. 2.要灵活应用不等式解决问题,能够利用基本不等式解决实际问题. 题型(一)　利用基本不等式求最值的方法 1.已知a,b都是正数,则有 和定积最大 若a+b等于定值S,那么当a=b时,积ab有最大值 积定和最小 若ab等于定值P,那么当a=b时,和a+b有最小值2 2.基本不等式求最值的条件 (1)a,b必须是正数. (2)求积ab的最大值时,应看和a+b是否为定值;求和a+b的最小值时,应看积ab是否为定值. (3)等号成立的条件是否满足. [例1]　(配凑求最值)已知x>3,求y=2x+的最小值. [解]　因为x>3,所以2x-6>0, 所以y=2x+=2x-6++6≥2+6=2×2+6=10, 当且仅当2x-6=,即x=4时,等号成立. 所以y=2x+的最小值是10. [例2]　(拆裂项求最值)若x>1,求函数y=的最小值. [解]　由x>1,知x-1>0. 所以y===x+1+=x-1++2≥2+2=4, 当且仅当=x-1,即x=2时,等号成立. 所以当x=2时,y取得最小值4. [例3]　(常数代换求最值)已知x>0,y>0,且满足+=1,求x+2y的最小值. [解]　因为x>0,y>0,+=1, 所以x+2y=(x+2y)=8+++2=10++≥10+2=18, 当且仅当=,即x=12,y=3时,等号成立, 所以x+2y的最小值为18. |思|维|建|模| (1)为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件,常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使得“和”或“积”为定值. (2)裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和,再根据分式分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式求最值创造条件,进而求出最值. (3)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值. [针对训练] 1.设0<x<2,则的最大值为　　　　.  解析:因为0<x<2,所以4-2x>0.所以=·≤·=,当且仅当2x=4-2x,即x=1时,等号成立,所以的最大值为. 答案: 2.已知a>0,b>0,若a+b=2,求+的最小值. 解:因为a>0,b>0,所以a+1>0,b+1>0. 又a+b=2,所以a+1+b+1=4.所以+=[(a+1)+(b+1)]=≥=, 当且仅当即时,等号成立.所以+的最小值为. 题型(二)　利用基本不等式解决实际问题 [例4]　如图,动物园要以墙体为背面,用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼.现有可围36 m长钢筋网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼的面积最大? [解]　设每间虎笼的长为x m,宽为y m,则每间虎笼的面积为S=xy, 由已知可得4x+5y=36,由基本不等式可得S=xy=·4x·5y≤×=(m2),当且仅当即时,等号成立,因此,每间虎笼的长为 m,宽为 m时,可使每间虎笼的面积最大. [变式拓展] 本例条件变为“每间虎笼的面积为20 m2”,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小? 解:设每间虎笼的长为x m,宽为y m,则xy=20, 钢筋网总长为4x+5y≥2=40(m),当且仅当即时,等号成立, 因此,每间虎笼的长为5 m,宽为4 m时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. |思|维|建|模| 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义; (2)构造定值,利用基本不等式求最值; (3)检验,检验等号成立的条件是否满足题意; (4)结论. [针对训练] 3.制作一个面积为1 m2且形状为直角三角形的铁支架,现有4.6 m,4.8 m,5 m,5.2 m四种长度的铁管供选择,较经济的(够用,又耗材最少)是哪一种? 解:设一条直角边长为x,则另一条直角边长是,斜边长为,故周长C=x++, 由于x+≥2=2,且≥=2, 因此C=x++≥2+2≈4.83,当且仅当x=且x2=,即x=时,等号成立,故较经济的(够用,又耗材最少)是5 m. 题型(三)　基本不等式的综合运用 [例5]　已知x>1时,不等式2x+m+>0恒成立,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-8) B.(-8,+∞) C.(-∞,-6) D.(-6,+∞) [解析]　不等式2x+m+>0化为2(x-1)+>-m-2, ∵x>1,∴2(x-1)+≥2×=4,当且仅当x=2时,等号成立. ∵不等式2x+m+>0对一切x∈{x|x>1}恒成立,∴-m-2<4,解得m>-6. [答案]　D [例6]　已知函数y=4x+(x>0, a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　.  [解析]　∵x>0,a>0,∴y=4x+≥2=4.当且仅当4x=,即4x2=a时y取得最小值,又∵x=3,∴a=4×32=36. [答案]　36 |思|维|建|模| 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围. (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时,往往将已知不等式看作关于参数的不等式,体现了主元与次元的转化. 　　[针对训练] 4.已知正实数a,b满足+=m,若的最小值为4,则实数m的取值范围是 (　 ) A.{2} B.[2,+∞) C.(0,2] D.(0,+∞) 解析:选B　因为a,b为正实数, =ab++2≥2+2=4, 当且仅当ab=,即ab=1时等号成立,此时有b=,又因为+=m,所以a+=m, 由基本不等式可知a+≥2(当且仅当a=1时等号成立),所以m≥2. 5.已知a>0,b>0,若+≥恒成立,求m的取值范围. 解:根据题意,a>0,b>0,+≥恒成立等价于(a+3b)≥m恒成立.所以(a+3b)=3+++3=6++≥6+2=12,当且仅当=,即a=3b时等号成立,所以m≤12.故m的取值范围是(-∞,12]. [课时检测] 1.若x<0,则x+-2有 (　 ) A.最小值-1 B.最小值-3 C.最大值-1 D.最大值-3 解析:选D　因为x<0,所以x+-2=--2≤-2-2=-3,当且仅当-x=,即x=-时,等号成立,故x+-2有最大值-3. 2.y=3x2+的最小值是 (　 ) A.3-3 B.3 C.6 D.6-3 解析:选D　y=3(x2+1)+-3≥2-3=2-3=6-3,当且仅当x2=-1时,等号成立,故选D. 3.已知正数a,b满足a+b=2,则的最小值为 (　 ) A.36 B.42 C.49 D.6 解析:选C　正数a,b满足a+b=2,则有===37++≥37+2=37+12=49,当且仅当 = 且a+b=2,即b=,a= 时,等号成立,即的最小值为49. 4.已知a2+b2=ab+4,则a+b的最大值为 (　 ) A.2 B.4 C.8 D.2 解析:选B　因为a2+b2=ab+4,则有(a+b)2=3ab+4≤+4,可得(a+b)2≤16,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以a+b的最大值为4. 5.(多选)若a,b∈(0,+∞),a+b=1,则下列说法正确的是 (　 ) A.ab的最大值为 B.的最小值是4 C.4a-的最大值为2 D.+的最小值为3+2 解析:选ACD　对于A,因为a+b=1,所以ab≤=,当且仅当a=b=时,等号成立,所以ab的最大值为,故正确;对于B,因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,所以a≠1,b≠1,所以a+>2,b+>2,所以>4,故错误;对于C,因为a+b=1,所以a=1-b,所以4a-=4-4b-=4-≤4-2=2,当且仅当4b=,即b=时,等号成立,故正确;对于D,(a+b)=1+++2≥2+3=3+2,当且仅当=,即a=-1,b=2-时,等号成立,故正确. 6.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于2,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为 (　 ) A. B.1 C.2 D.6 解析:选C　设该直角三角形的斜边为c=2,直角边为a,b,则a2+b2=c2=8.因为2ab≤a2+b2,所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当a=b,且a2+b2=8,即a=b=2时,等号成立.因为a>0,b>0,所以a+b≤4,所以a+b的最大值为4.该直角三角形周长为a+b+c≤4+2.故这个直角三角形周长取最大值4+2时,a=b=2,此时三角形的面积为×2×2=2. 7.(5分)已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为　　　　,此时x=　　　　.  解析:因为0<x<1,所以1-x>0,所以x(1-x)≤==,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,即当x=时,x(1-x)取得最大值. 答案:　 8.(5分)已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为　　　　　.  解析:(1+x)(1+2y)≤==9,当且仅当1+x=1+2y,即x=2,y=1时,等号成立. 答案:9 9.(5分)矩形的长为a,宽为b,且面积为64,则矩形周长的最小值为　　　　.  解析:由题意,矩形的长为a,宽为b,且面积为64,即ab=64,所以矩形的周长为2a+2b=2a+≥2=32,当且仅当a=8时,等号成立,即矩形周长的最小值为32. 答案:32 10.(5分)已知正数x,y满足(x-2)(y-1)=2,若不等式x+2y>m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:因为x>0,y>0,则(x-2)(y-1)=xy-(x+2y)+2=2,所以x+2y=xy, 所以+=1. 所以x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8, 当且仅当=时,即x=4,y=2时,等号成立. 又x+2y>m恒成立,所以m<8. 答案:(-∞,8) 11.(5分)设自变量x对应的因变量为y,在满足对任意的x,不等式y≤M都成立的所有常数M中,将M的最小值叫作y的上确界.若a,b为正实数,且a+b=1,则--的上确界为　　　　　.  解析:因为a,b为正实数,且a+b=1,所以+=×(a+b)=+≥+2=,当且仅当b=2a,即a=,b=时,等号成立,因此有--≤-,即--的上确界为-. 答案:- 12.(10分)(1)当x>0时,求+4x的最小值;(3分) (2)当x<0时,求+4x的最大值;(3分) (3)已知4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,求a的值.(4分) 解:(1)因为x>0,所以>0,4x>0. 所以+4x≥2=8, 当且仅当=4x,即x=时,等号成立, 所以当x>0时,+4x的最小值为8. (2)当x<0时,-x>0, 则+4(-x)≥2=8, 当且仅当=-4x,即x=-时,等号成立, 所以+4x≤-8. 所以当x<0时,+4x的最大值为-8. (3)因为x>0,a>0,所以4x>0,>0, 所以4x+≥2=4,当且仅当4x=,即a=4x2=36时,等号成立, 所以a=36. 13.(10分)如图,汽车行驶时,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,我们把这段距离叫作“刹车距离”.在某公路上,“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式:s=v2+v.为保证安全行驶,要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米.现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米,每辆车均以相同的速度v行驶,并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”. (1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式;(3分) (2)问v为多少时,经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大?(7分) 解:(1)T===++. (2)经过A点的车流量最大,即每辆车之间的时间间隔T最小. ∵T=++≥2+=, 当且仅当=,即v=20时取等号. ∴当v=20米/秒时,经过观测点A的车流量最大. 14.(10分)已知正实数x,y满足x+y=4. (1)是否存在正实数x,y,使得xy=5?若存在,求出x,y的值;若不存在,请说明理由.(3分) (2)求证:+≥,并说明等号成立的条件.(7分) 解:(1)不存在.因为正实数x,y满足x+y=4, 所以4=x+y≥2,所以xy≤4. 故不存在正实数x,y,使得xy=5. (2)证明:由x+y=4,得x+1+y+2=7. 又因为x,y都是正实数, 所以+=[(x+1)+(y+2)]·=≥ =, 当且仅当=时,等号成立, 又因为x+y=4, 所以当且仅当x=,y=时,等号成立. 15.(15分)在“基本不等式”应用探究课中,甲和乙探讨了下面两个问题: (1)已知正实数x,y满足2x+y=1,求+的最小值.甲给出的解法:由1=2x+y≥2,得 ≤,所以+≥2=≥4,所以+的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的,请你指出其中的问题,并给出正确的解法;(7分) (2)结合上述问题(1)的结构形式,试求函数y=+的最小值.(8分) 解:(1)甲的解法中两次用到基本不等式,取到等号的条件分别是2x=y和x=2y,显然不能同时成立,故甲的解法是错的. 正确的解法如下:因为x>0,y>0,且2x+y=1,所以+=(2x+y)=++≥+2=,当且仅当=,即x=y=时,等号成立.所以+的最小值为. (2)因为0<x<,所以0<2-3x<2. 所以y=+=[3x+(2-3x)]·=≥=2+,当且仅当=,即x=1-∈时,等号成立.所以y=+的最小值为2+. 学科网（北京）股份有限公司 $$