3.1 不等式的基本性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦必修第一册第3章不等式的基本性质，通过呈现a > b、a = b、a < b等简单不等关系导入课堂，衔接初中不等式基础，为后续学习搭建知识支架。 其特色是以同步课堂为框架，借助符号化表示（如b < a）培养数学语言表达能力，课下培优固练环节强化应用意识，助力学生用数学思维理解不等关系，教师可高效开展教学，提升学生学习效率。

数学·必修·第一册(苏教) 第3章 不等式 3．1　不等式的基本性质 a>b a＝b a<b b<a 课下培优固练（十一） [课程标准]　1.梳理等式的性质．　2.理解不等式的概念．　3.掌握不等式的性质． 一、不等关系与不等式 1．不等式指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接起来的式子． 2．实数大小比较的依据 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： a－b>0⇔_________； a－b＝0⇔_________； a－b<0⇔_________． 二、等式的性质 性质 名称 内容 性质1 对称性 如果a＝b，那么b＝a 性质2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 性质3 同加(减)性 如果a＝b，那么a±c＝b±c 性质4 同乘性 如果a＝b，那么ac＝bc 性质5 同除性 如果a＝b，c≠0，那么 eq \f(a,c) ＝ eq \f(b,c) 微点拔：(1)运用性质3时要注意加上(或减去)的必须是同一个数或代数式． (2)性质5中一定要注意两边不能同时除以0，因为0不能做除数． 三、不等式的性质 性质1：若a>b，则b<a；(自反性)a>b⇔_________． 性质2：若a>b，b>c，则a>c；(传递性) 性质3：若a>b，则a＋c>b＋c；(加法保号性) 性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；(乘正保号性)若a>b，c<0，则ac<bc；(乘负改号性) 性质5：若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；(同向可加性) 性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd．(全正可乘性) 【基点小试】 1．（苏教版必修一P50习题T2改编）已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，则(　　) A．t>s B．t≥s C．t≤s D．t<s 解析：t－s＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋2b)) －(a2＋2b＋1)＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1)) eq \s\up12(2) ≤0，故t≤s，当a＝1时，t＝s. 答案： C 2．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是(　　) A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c B．如果a2＝6a，那么a＝6 C．如果a＝b，那么 eq \f(a,c) ＝ eq \f(b,c) D．如果 eq \f(a,c) ＝ eq \f(b,c) ，那么a＝b 答案： D 解析：选项A，当c≠0时，显然不成立； 选项B，如果a2＝6a，那么a＝6或a＝0，显然不成立； 选项C，当c＝0时， eq \f(a,c) ＝ eq \f(b,c) 无意义，不成立； 选项D，如果 eq \f(a,c) ＝ eq \f(b,c) ，则c≠0，故 eq \f(a,c) ×c＝ eq \f(b,c) ×c，即a＝b，成立． 3．已知3x＝7y eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y≠0)) ，则下列比例式成立的是(　　) A． eq \f(x,3) ＝ eq \f(y,7) B． eq \f(x,7) ＝ eq \f(y,3) C． eq \f(x,y) ＝ eq \f(3,7) D． eq \f(x,3) ＝ eq \f(7,y) 解析：因为3x＝7y eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y≠0)) ，则x≠0，则 eq \f(x,7) ＝ eq \f(y,3) ， eq \f(x,y) ＝ eq \f(7,3) ，故B选项正确，ACD选项错误． 答案： B 4．下列结论正确的是(　　) A．若 eq \r(a) < eq \r(b) ，则a<b B．若a2>b2，则a>b C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac>bc，则a>b 解析： eq \r(a) < eq \r(b) ，显然a，b均大于等于0，两边平方得：a<b，A正确； 当a＝－1，b＝0时，满足a2>b2，但a<b，B错误； 若a>b，当c＝0时，则ac2＝bc2＝0，C错误； 若ac>bc，c<0，则a<b，D错误. 答案：A 题型一　数式的大小比较 例1.(1)（苏教版必修一P50T10改编）已知b<a<0，比较 eq \f(1,a) 与 eq \f(1,b) 的大小． 解：b<a<0，ab>0，b－a<0， eq \f(1,a) － eq \f(1,b) ＝ eq \f(b－a,ab) <0， eq \f(1,a) < eq \f(1,b) . (2)已知a≥1，试比较M＝ eq \r(a＋1) － eq \r(a) 和N＝ eq \r(a) － eq \r(a－1) 的大小． 解：因为a≥1，所以M＝ eq \r(a＋1) － eq \r(a) >0， N＝ eq \r(a) － eq \r(a－1) >0. 所以 eq \f(M,N) ＝ eq \f(\r(a＋1)－\r(a),\r(a)－\r(a－1)) ＝ eq \f(\r(a)＋\r(a－1),\r(a＋1)＋\r(a)) . 因为 eq \r(a＋1) ＋ eq \r(a) > eq \r(a) ＋ eq \r(a－1) >0， 所以 eq \f(M,N) <1，所以M<N. [总结] 　1.利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差：对要比较大小的两个式子作差． (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形． (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论． 2．作商法比较大小 如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.方法如下： 前提 a>0，b>0 a<0，b<0， 依据 eq \f(a,b) >1⇔a>b； eq \f(a,b) ＝1⇔a＝b； eq \f(a,b) <1⇔a<b eq \f(a,b) >1⇔a<b； eq \f(a,b) ＝1⇔a＝b； eq \f(a,b) <1⇔a>b 应用范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小 步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论 【练一练】 1．已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．M≥N 解析：∵0<a1<1，0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0， ∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N. 答案：B 2．已知|a|＜1，则 eq \f(1,1＋a) 与1－a的大小关系为________________. 解析：由|a|＜1，得－1＜a＜1. ∴1＋a＞0，1－a＞0.即 eq \f(\f(1,1＋a),1－a) ＝ eq \f(1,1－a2) ∵0＜1－a2≤1，∴ eq \f(1,1－a2) ≥1， ∴ eq \f(1,1＋a) ≥1－a. 答案： eq \f(1,1＋a) ≥1－a 题型二　不等式的性质及其应用 角度1　判断正误 例2.(多选)（苏教版必修一P50习题T4改编）下列命题中，为真命题的有(　　) A．若a>b>0，c>d>0，则ac>bd B．若a>b，则a2>b2 C．若ac2>bc2，则a>b D．若a>b，则ac2>bc2 解析：因为a>b>0，c>d>0，所以ac>bc，bc>bd，所以ac>bd，所以A为真命题； 当a＝1，b＝－2时，a2<b2，所以B不是真命题； 因为ac2>bc2，所以c2>0，所以a>b，所以C为真命题； 当c＝0时，ac2＝bc2＝0，所以D不是真命题． 答案： AC [总结] 　利用不等式的性质判断正误的方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 角度2　证明不等式 例3.已知a>b>0，c<d<0，m<0，求证： (1) eq \f(1,a－c) < eq \f(1,b－d) ； (2) eq \f(m,a－c) > eq \f(m,b－d) . 证明： (1)因为a>b>0，－c>－d>0， 所以a－c>b－d>0所以 eq \f(1,a－c) < eq \f(1,b－d) . (2)由(1)得 eq \f(1,a－c) < eq \f(1,b－d) ， 又m<0，所以 eq \f(m,a－c) > eq \f(m,b－d) . [总结] 　利用不等式性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 角度3　用不等式性质求代数式的取值范围 例4.已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围． 解：∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7<a－b<2. 【母题探究】　(变设问)在本例条件下，求 eq \f(a,b) 的取值范围． 解：∵2＜b＜8，∴ eq \f(1,8) ＜ eq \f(1,b) ＜ eq \f(1,2) ，而1＜a＜4， ∴1× eq \f(1,8) ＜a· eq \f(1,b) ＜4× eq \f(1,2) ，即 eq \f(1,8) ＜ eq \f(a,b) ＜2. 故 eq \f(a,b) 的取值范围是 eq \f(1,8) < eq \f(a,b) <2. [总结]　利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【练一练】 3．(多选)(2025·苏州高一上期末)若a>|b|≠0，c>0，则(　　 ) A．a2>b2 B．ac>bc C． eq \f(c,a)< eq \f(c,b) D．a＋ eq \f(1,b)>b＋ eq \f(1,a) 解析：根据a>|b|>0，则a2>b2，A正确； 由a>|b|>0，又c>0，则ac>|b|c≥bc，B正确； 当b<0时， eq \f(c,a)> eq \f(c,b)，C错误； 当a＝1，b＝－ eq \f(1,2)时，a＋ eq \f(1,b)＝－1，b＋ eq \f(1,a)＝－ eq \f(1,2)＋1＝ eq \f(1,2)，D错误． 答案：AB 4．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证： eq \f(e,（a－c）2) > eq \f(e,（b－d）2) . 证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又a>b>0，∴a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0， 即 eq \f(1,（a－c）2) < eq \f(1,（b－d）2) . 又e<0，∴ eq \f(e,（a－c）2) > eq \f(e,（b－d）2) . 5．已知－6＜a＜8，2＜b＜3，求 eq \f(a,b) 的取值范围． 解：∵－6＜a＜8，2＜b＜3.∴ eq \f(1,3) ＜ eq \f(1,b) ＜ eq \f(1,2) ， ①当0≤a＜8时，0≤ eq \f(a,b) ＜4； ②当－6＜a＜0时，－3＜ eq \f(a,b) ＜0. 由①②得：－3＜ eq \f(a,b) ＜4. 故 eq \f(a,b) 的取值范围为－3< eq \f(a,b) <4. 6．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围． 解：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，解得λ1＝ eq \f(5,3) ，λ2＝－ eq \f(2,3) . 又－ eq \f(5,3) ≤ eq \f(5,3) (a＋b)≤ eq \f(5,3) ，－2≤－ eq \f(2,3) (a－2b)≤－ eq \f(2,3) ，所以－ eq \f(11,3) ≤a＋3b≤1. 故a＋3b的取值范围为－ eq \f(11,3) ≤a＋3b≤1. $