2.2 第二课时 充要条件-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦常用逻辑用语，涵盖命题、定理、定义及充要条件等核心知识点。课堂从基础命题导入，衔接定理与定义，过渡到充要条件（如p⇔q符号表达），构建逻辑知识支架，帮助学生形成连贯认知脉络。 其亮点在于融合数学思维（逻辑推理）与数学语言（符号精确表达），通过导航元素优化课堂流程，课下培优巩固练提供分层练习，点击进入WORD文档便于拓展。既培养学生逻辑推理能力，又助力教师高效同步教学，提升课堂效率与学生学习效果。

数学·必修·第一册(苏教) 第2章 常用逻辑用语 2．1　命题、定理、定义 第二课时　充要条件 q⇒p 充分且必要 充要 p⇔q 课下培优巩固练（八） (1)如果p⇒q，且___________，那么称p是q的_______________条件，简称为p是q的______条件，也称q的充要条件是p. 为了方便起见，如果p是q的充要条件，就记作___________，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． “⇒”和“⇔”都具有传递性，即 ①如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s； ②如果p⇔q，q⇔s，则p⇔s． (2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． (4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 微思考：怎样判断命题p是不是q的充要条件？ 提示：需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． 【基点小试】 1．△ABC的三个内角为A，B，C，则“B＝60°”是“A＋C＝120°”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：△ABC的三个内角为A，B，C，则∠A＋∠B＋∠C＝π＝180°. 若B＝60°，则一定有A＋C＝120°；反之，当A＋C＝120°，一定有B＝60°. 故“B＝60°”是“A＋C＝120°”的充要条件． 2．设p：两个三角形相似，q：两个三角形的三边成比例，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案： C 解析：两个三角形相似⇔两个三角形的三边对应成比例， 即p⇔q，故p是q的充要条件． 题型一　充要条件的判断 例1.(多选)下列选项中，p是q的充要条件的是(　　) A．p：xy>0，q：x>0，y>0 B．p：A∪B＝A，q：B⊆A C．p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在两角相等 D．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分 答案：BC 解析：对于A，由xy>0，得x>0，y>0或x<0，y<0，故p不是q的充要条件，故A错误； 对于B，由A∪B＝A，则B⊆A，若B⊆A，则A∪B＝A，故p是q的充要条件，故B正确； 对于C，三角形是等腰三角形⇔三角形存在两角相等，故p是q的充要条件，故C正确； 对于D，四边形的对角线互相垂直且平分⇔四边形为菱形，故p不是q的充要条件，故D错误． [总结] 　充要条件判断的两种方法 (1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向． 【练一练】 1．(多选)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∩B＝A B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UA)) ∩B＝∅ C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UA)) ⊆ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UB)) D．A∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UB)) ＝U 解析：由Venn图可知，B，C，D都是B⊆A的充要条件． 答案：BCD 2．下列结论，可作为“两条直线平行”的充要条件的是______． ①同位角相等；②内错角相等； ③同旁内角互补；④同旁内角相等． 解析：由①②③均可推出“两条直线平行”的结论，由“两条直线平行”也可以推出①②③均成立；由④不能推出“两条直线平行”的结论． 所以可作为“两条直线平行”的充要条件的是①②③. 答案：①②③ 题型二　充要条件的证明 例2.证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 证明：：(1)充分性：∵ac<0，∴Δ＝b2－4ac>0， eq \f(c,a) <0. ∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根． 设方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，则x1·x2＝ eq \f(c,a) <0， ∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根． (2)必要性：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝ eq \f(c,a) <0，∴ac<0. 故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. [总结] 　充要条件的证明思路 (1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明 “p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明 “p是q的充要条件”，则与之相反． (2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明． 注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向． 【练一练】 3．已知ab≠0，求证：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件是a＋b＝1. 证明：：(1)充分性(条件⇒结论) 因为a＋b＝1，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)， a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2 ＝a2－ab＋b2＋ab－a2－b2＝0，所以成立； (2)必要性(结论⇒条件) 因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，且a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)， 所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2 ＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0， 而a2－ab＋b2≥2ab－ab＝ab，又ab≠0，所以a＋b－1＝0， 所以a＋b＝1，所以成立， 综上：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件是a＋b＝1. 题型三　充要条件的探求与应用 例3.(1)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(　　) A．m＝－2 B．m＝1 C．m＝－1 D．m＝0 答案：A 解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之，若函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－ eq \f(m,2) ＝1，即m＝－2. 所以f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. (2)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 若p是q的充要条件，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＝1－m，,10＝1＋m，)) 方程组无解． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． [总结] 　探求命题成立的充要条件的方法 (1)等价转化法：将原命题进行等价变形或转化，直至获得使原命题成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以此时不需要再分开证明充分性和必要性． (2)非等价转化法：先探求出该命题成立的必要条件，然后务必证明该条件也是该命题成立的充分条件，方可得出该命题成立的必要条件． 【练一练】 4．若集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>2)))) ，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(bx>1)))) ，其中b为实数． (1)若A是B的充要条件，则b＝________； (2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是：__________．(答案不唯一，写出一个即可) 解析：(1)由已知可得A＝B，则x＝2是方程bx＝1的解，且有b>0，解得b＝ eq \f(1,2) ； (2)若不等式bx>1对任意的x>2恒成立，则b> eq \f(1,x) 对任意的x>2恒成立， 当x>2时， eq \f(1,x) ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) ，则b≥ eq \f(1,2) ， 因为A是B的充分不必要条件，故b的取值范围可以是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) (答案不唯一). 答案： eq \f(1,2) 　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) (答案不唯一) 5．已知M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y2＝2x)))) ，N＝{(x，y)|(x－a)2＋y2＝9}，求M∩N≠∅的充要条件． 解：M∩N≠∅的充要条件是方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－a))\s\up12(2)＋y2＝9，)) 至少有一组实数解， 即方程x2＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a)) x＋a2－9＝0至少有一个非负根，方程有根则Δ＝4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a)) eq \s\up12(2) －4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－9)) ≥0，解得a≤5. 上述方程有两个负根的充要条件是x1＋x2<0且x1x2>0，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a))<0，,a2－9>0，)) ∴a<－3. 于是这个方程至少有一个非负根的a的取值范围是－3≤a≤5. 故M∩N≠∅的充要条件为－3≤a≤5. $