2.1 命题、定理、定义-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“常用逻辑用语”中的命题、定理、定义，通过自主预习填空（如“陈述句、判断真假”）和问题提示导入，搭建从基础概念到条件结论分析的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于“自主预习-互动探究-总结提升”分层设计，题型分类明确（命题判断、结构改写、真假判断），结合具体例题（如矩形对角线命题改写、二次函数参数范围问题），培养学生逻辑推理和数学表达能力，帮助学生形成严谨思维，教师可高效开展分层教学。

数学·必修·第一册(苏教) 第2章 常用逻辑用语 2．1　命题、定理、定义 陈述句 判断真假 陈述句 真 假 条件 结论 真 课下培优巩固练（六） 一、 命题的定义与分类 1．定义：在数学中，可以判断真假的_________叫作命题． 2．命题定义中的两个要点：“可以____________”和“_________”． 3．分类：命题 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(真命题：判断为_____的语句，,假命题：判断为_____的语句．)) 微点拔：要判断一个语句是不是命题，先看给出的句子是不是陈述句，再看能否判断其真假，也就是判断其是否成立，一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题． 二、命题的结构及定理、定义 1．命题的结构 (1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的______，q叫作命题的______． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 2．定理与定义 在数学中，有些已经被证明：为___的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理． 在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． 微思考：下列命题的条件和结论分别是什么？ (1)若x2＝3，则x＝ eq \r(3) . (2)平行四边形的对角线互相平分． 提示：(1)条件：x2＝3，结论：x＝ eq \r(3) . (2)条件：四边形是平行四边形，结论：对角线互相平分． 【基点小试】 1．下列语句为命题的有________． ①x∈R，x>2；②22 025是一个很大的数；③4是集合{2，3，4}中的元素；④作△ABC≌△A′B′C′. 解析：①中x有范围，可以判断真假且是陈述句，因此是命题；②是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；③是陈述句且能判断真假，因此是命题；④是祈使句，不是命题． 答案：①③ 2．(1)把命题“矩形的对角线相等”改写成“若p，则q”的形式为____________________________________． 答案：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等 (2)下列命题是真命题的是________(填序号). ①若a＝b，则a2＝b2；②若a2＝b2，则a＝b；③对顶角相等；④两直线平行，同旁内角互补． 答案：①③④ 3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (3)两个相似三角形是全等三角形． 解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． (2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题． (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题． 题型一　命题的判断 例1.下列语句中是命题的有________；是真命题的有________(填序号). ①这幅画真漂亮！ ②求证 eq \r(2) 是无理数； ③并非所有的人都喜欢苹果； ④若x＝2，则x2－1>0. 解析：①是感叹句，不是命题． ②是祈使句，不是命题． ③是命题，有的人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可以判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题． ④是命题，x＝2时，x2－1＝3>0，可以判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题． 答案：③④　③④ [总结] 　判断语句是否是命题的策略 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题． (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假．若能，就是命题；若不能，就不是命题． 【练一练】 1．判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)函数y＝x2－2x(x∈R)是二次函数； (2)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？ (3)一个数不是奇数就是偶数； (4)2030年6月1日上海会下雨． 解：(1)是命题，满足二次函数的定义． (2)是疑问句，不是命题． (3)是命题，能判断真假且是陈述句． (4)不是命题，不能判断真假． 题型二　命题的构成 例2.(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是_________________________________，q是__________________________________． 解析：命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”． 答案：一条直线是弦的垂直平分线　这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧 (2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式． ①函数y＝2x＋1是一次函数； ②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2； ③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0. 解：①若函数的解析式为y＝2x＋1，则这个函数是一次函数． ②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2. ③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0. [总结] 　1.若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中． 2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论． 【练一练】 2．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)6是12和18的公约数； (2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. 解：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题． (2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是真命题． (3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题． (4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题． 题型三　命题的真假 角度1　命题真假的判断 例3.判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x＝4时，2x＋1<0； (3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； (4)一个奇数是两个整数的平方差． 解：(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形． (2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0. (3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)·(x－7)＝0. (4)是真命题，因为当n∈Z时，任意奇数2n－1＝n2－(n－1)2，所以一个奇数是两个整数的平方差． [总结] 　命题真假的判断方法 (1)真命题的判断方法 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明：或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明：或根据已知的正确结论推证． (2)假命题的判断方法 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． 角度2　由命题的真假求参数的范围 例4.已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝∅是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析：法一　若A∩B＝∅是真命题，则a≤－3， ∴A∩B＝∅是假命题时，a>－3. 法二　若A∩B＝∅是假命题，则A∩B≠∅是真命题，即集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示： 易得a>－3. 答案：(－3，＋∞) [总结] 　由命题的真假求参数取值范围的基本步骤 第一步，明确命题的条件和结论； 第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件； 第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围． 注意：若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数的取值范围对应的补集． 【练一练】 3．判断下列命题的真假： (1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； (2)若x∈N，则x3>x2成立； (3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆． 解：(1)假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立． (3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根． (4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆． 4．若A＝{1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，则B⊆A成立是真命题，求实数a的值． 解：∵集合A＝{1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，B⊆A成立是真命题， ∴B＝∅或B＝{1}或B＝{2}， ∴a＝0或a＝1或a＝2. $