1.2 第一课时 子集、真子集-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦集合的子集、真子集及包含关系，从集合基本概念导入，通过梳理⊆、⊇、⫋等符号含义，搭建子集关系学习支架，为后续全集、补集学习奠定基础。 其特色是结合同步讲义与课下巩固练，规范呈现集合包含符号及真子集定义，培养学生的符号意识（数学眼光）和应用意识（数学语言）。学生能精准理解集合关系，教师可高效衔接教学，提升课堂效率。

数学·必修·第一册(苏教) 第1章 集合 1.2　子集、全集、补集 第一课时　子集、真子集 任意一个 ⊆ ⊇ 包含于 包含 A⊆B A≠B A⫋B B⫌A A真包含于B B真包含A ⫋ ⫋ 课下培优巩固练（三） [课程标准]　1.理解集合之间包含与相等的含义．　2.能识别给定集合的子集．　3.能使用Venn图表示集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用． 一、子集 1．子集 定义 如果集合A的____________元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集 符号 表示 A___B(或B___A) 读法 集合A_________集合B(或集合B______集合A) 图示 2.子集的性质 ①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集． ②∅⊆A，即空集是任何集合的子集． ③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性． 3．集合相等 若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 微点拔：1.对子集概念的理解 不能简单认为“若A⊆B，则A是由B的部分元素构成的集合”．事实上，若A⊆B，有以下三种情况：①A为空集；②A是由B的部分元素构成的集合；③A是由B的全部元素构成的集合． 2．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C，即集合间的子集关系具有传递性． 二、真子集 1．概念 如果___________，并且___________，那么集合A称为集合B的真子集，记为___________或___________，读作“___________”或“___________”． 2．性质 ①∅是任一非空集合的真子集． ②若A B，B C，则A C. 微点拔：元素与集合的关系是属于与不属于的关系，分别用符号“∈”“∉”表示；集合与集合之间的关系是包含、不包含、真包含、相等的关系，分别用符号“⊆” “”“”和“＝”表示．若A是B的真子集，则A也必然是B的子集，但此时用AB表示更准确． 【基点小试】 1．已知集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1)) ，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，a＋3)) ，且A⊆B，则a等于(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 答案：B 解析：因为A⊆B，所以a＋3＝1⇒a＝－2，经验证，满足题意． 2．(苏教版必修一P11练习T1改编)集合A＝{1, 2}的非空真子集是_________________． 解析：集合A＝{1，2}的所有非空子集是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1)) ， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2)) . 答案： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1)) ， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2)) 3．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1)))) ，则A，B准确的关系是__________． 解析：因为B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1)))) ＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA. 答案：BA 题型一　集合间关系的判断 例1.（苏教版必修一P11习题T2改编）指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}． (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}． (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}． (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. (3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形却不一定是等边三角形，故AB. (4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. [总结] 　判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再判断得出集合之间的关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B； ②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A； ③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B； ④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法 利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系适合用数轴法． 【练一练】 1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 答案：B 解析：解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示． 2．指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|0<x<5}； (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}； (3)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x＝ eq \f(1＋（－1）n,2) ，n∈Z}； (4)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0，或x<0，y<0}； (5)A＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，B＝{x|x＝1＋(a－2)2，a∈N*}． 解：(1)集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故BA. (2)∵A是偶数集，B是4的倍数集，∴BA. (3)A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，在B中，当n为奇数时，x＝ eq \f(1＋（－1）n,2) ＝0，当n为偶数时，x＝ eq \f(1＋（－1）n,2) ＝1，∴B＝{0，1}，∴A＝B. (4)法一　由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0；由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，从而A＝B. 法二　集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，从而A＝B. (5)对于任意x∈A，有x＝1＋a2，a∈N*，而B＝{x|x＝1＋(a－2)2，a∈N*}． ∵a∈N*，∴a＋2∈N*∴x∈B， 由子集的定义知，A⊆B. 设1∈B，此时a－2＝0，解得a＝2∈N*. ∵1＋a2＝1在a∈N*时无解，∴1∉A. 综上所述，AB. 题型二　确定有限集合的子集、真子集及其个数 例2.(1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个元素为∅，含有1个元素有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集. 答案：B　 (2)（苏教版必修一P21T10改编）满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个． 解析：由题意可得{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有五个元素：{1，2，3，4，5}． 故满足题意的集合M共有7个． 答案：7 [总结] 　1.求集合子集、真子集个数的3个步骤 2．与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数为2n； (2)A的真子集的个数为2n－1； (3)A的非空真子集的个数为2n－2. 【练一练】 3．集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－4<x－1<4))，x≠1)) 的非空真子集的个数为(　　) A．31 B．30 C．15 D．14 答案： D 解析：由题意得集合{x∈N|－4<x－1<4，x≠1}＝{0，2，3，4}，则该集合的非空真子集个数为24－2＝14. 4．(多选)以下满足{0，2，4}⊆A{0，1，2，3，4}的集合A有(　　) A．{0，2，4} B．{0，1，3，4} C．{0，1，2，4} D．{0，1，2，3，4} 解析：由题意可知，集合A包含集合{0，2，4}，同时又是集合{0，1，2，3，4}的真子集，则所有符合条件的集合A有{0，2，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}．选项BD均不符合要求．故选AC. 答案： AC 题型三　由集合间的关系求参数值(或范围) 例3.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围． 解：①当B≠∅时，如图所示． ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，)) 解这两个不等式组，得2≤m≤3. ②当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． 【母题探究】　1.(变条件)在本例条件下，若B⊆A，求实数m的取值范围． 解：当B＝∅时，m＋1>2m－1，即m<2. 当B≠∅时， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m≥－3，,m≤3.)) 即2≤m≤3. 综上可知，m的取值范围为{m|m≤3}． 2．(变条件)在本例条件下，若AB，求实数m的取值范围． 解：∵AB.∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1<2m－1，,m＋1≤－2，,2m－1>5)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1<2m－1，,m＋1<－2，,2m－1≥5.)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>2，,m≤－3，,m>3)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>2，,m<－3，,m≥3.)) ∴m∈∅，即不存在m使AB. [总结] 　利用集合间的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集． 一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到． 【练一练】 5．(苏教版必修一P21T14改编)若集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|a<x<2a－1)) ，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1<x<3)) ，且A⊆B，则a的取值范围是(　　) A．a≤1 B．a<2 C．1<a<2 D．a≤2 答案：D 解析：若a≥2a－1，即a≤1时，A＝∅，满足A⊆B， 若A≠∅，则a>1，因为A⊆B，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥1,2a－1≤3)) ，解得1≤a≤2，所以1<a≤2， 综上，a的取值范围是a≤2. 6．已知A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}． (1)若A是B的子集，求实数a的值； (2)若B是A的子集，求实数a的取值范围． 解：(1)由题得A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－4，0)) .若A是B的子集，则B＝A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－4，0)) ， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－4＋0＝－2（a＋1），,－4×0＝a2－1，)) ∴a＝1. (2)若B是A的子集，则B⊆A. ①若B为空集，则Δ＝4(a＋1)2－4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－1)) ＝8a＋8<0，解得a<－1； ②若B为单元素集合，则Δ＝4(a＋1)2－4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－1)) ＝8a＋8＝0，解得a＝－1. 将a＝－1代入方程x2＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1)) x＋a2－1＝0， 得x2＝0，即x＝0，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0)) ，符合要求； ③若B为双元素集合，B＝A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－4，0)) ，则a＝1. 综上所述，a≤－1或a＝1. $