1.1 第二课时 集合的表示-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦集合的概念、表示方法（列举法、描述法）及分类，通过“自主预习”初步感知元素特征与表示符号，结合“基点小试”（如10的正因数、阴影部分点集）搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，衔接预习与应用。 其亮点在于题型分层（列举法、描述法、方程综合问题）与步骤化总结（如列举法三步骤），通过“母题探究”变条件（如“实数”改“有理数”）培养抽象能力与创新意识，体现数学眼光与思维。实例解析助学生用符号语言精准表达，教师可借分层练习提升教学效率。

数学·必修·第一册(苏教) 第1章 集合 1．1　集合的概念与表示 第二课时　集合的表示 一一列举 花括号“{}” 所有 性质(满足的条件) {x|p(x)} 有限个元素 无限个元素 不含任何元素 ∅ 完全相同 课下培优巩固练（二） 一、列举法 1.定义：将集合的元素____________出来，并置于_________________内 2.一般形式：{a1，a2，…，an，…} 微点拔：使用列举法表示集合的注意事项 (1)元素之间用“，”隔开； (2)元素不重复，满足元素的互异性； (3)元素无顺序，满足元素的无序性； (4)对于含较多元素或无数个元素的集合，如果组成该集合的元素有明显规律，也可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号． 二、描述法 1.定义：将集合的______元素都具有的______________________表示出来 2.一般形式：___________ 微点拔：使用描述法表示集合的注意点 写清该集合中元素的代表符号．即代表元素是什么：是数，还是有序实数对(点)，还是集合或其他形式. 如集合{x|x≥2}不能写成{x≥2}，这里便少了代表元素．又如集合{(x，y)|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示两个不同的集合，前者为点集，而后者为数集，区别就在于它们的代表元素不同． 三、集合分类 1．集合的分类 有限集 含有_______________的集合 无限集 含有_______________的集合 空集 __________________的集合，记作___ 2.集合相等 如果两个集合所含的元素____________(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等． 【基点小试】 1．10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________． 解析：∵对于正因数分解，有10＝1×10＝2×5， ∴其正因数组成的集合为{1，2，5，10}． 答案：{1，2，5，10} 2．用描述法表示下图中的阴影部分可以是__________________． 解析：由阴影部分知0≤x≤2，0≤y≤1，所以阴影部分由点集{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}来表示． 答案：{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1} 3．(苏教版必修一P8习题T5改编)设a，b为实数，已知M＝{1，2}，N＝{a，b}，且M＝N，则a＋b＝_______. 解析：∵M＝N，∴a＝1，b＝2，即a＋b＝3. 答案：3 题型一　用列举法表示集合 例1.用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合； (3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合． 解： (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}． (2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0，1，－1}． (3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}． [总结]　用列举法表示集合的3个步骤 (1)确定集合中元素的类型，并求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号将各元素括起来． 注意：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间用“，”隔开． 【练一练】 1．集合{x|(x－2)2(x－3)＝0，x∈R}用列举法表示为______． 解析：方程(x－2)2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－3)) ＝0的两个解为2或3，故集合M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3)) . 答案：{2，3} 2．用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B； (3)一次函数y＝x＋3的图象与x轴的交点组成的集合C. 解：(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}． (2)因为方程x2－9＝0的实数根为－3，3，所以B＝{－3，3}． (3)将y＝0代入y＝x＋3，得x＝－3，即交点是(－3，0)，故交点组成的集合C＝{(－3，0)}． 题型二　用描述法表示集合 例2.用描述法表示下列集合： (1)满足不等式3x＋2>2x＋1的实数x组成的集合； (2)平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合； (3)所有正奇数组成的集合． 解：(1)解不等式3x＋2>2x＋1，可得x>－1，所以满足不等式的实数x组成的集合为{x|x>－1}． 或直接写成{x|3x＋2>2x＋1}． (2)因为第一象限内的点的横坐标大于零，纵坐标大于零，所以该集合为{(x，y)|x>0，y>0，且x，y∈R}． (3)可知正奇数表示为x＝2k－1(k∈N＋)，故集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2k－1，k∈N＋)) . 【母题探究】　(1)(变条件)本例(1)中的“实数”改为“有理数”，其他条件不变，如何表示集合？ 解： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Q|x>－1)) (或{x∈Q|3x＋2>2x＋1}). (2)(变条件)本例(3)中的“正奇数”改为“偶数”，其他条件不变，如何表示集合？ 解： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2n，n∈Z)) . [总结] 　用描述法表示集合的2个步骤 【练一练】 3．试用描述法表示下列集合： (1)比3的倍数多1的整数； (2)不等式x－10>0的解集； (3)一次函数y＝2x＋1图象上所有点． 解：(1)比3的倍数多1的整数可表示为x＝3k＋1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z)) ，用描述法表示这样的整数构成的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝3k＋1，k∈Z)) ； (2)由x－10>0解得x>10, 不等式x－10>0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>10)) ； (3)设一次函数y＝2x＋1图象上的点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y)) ，则一次函数y＝2x＋1图象上的所有的点的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))|y＝2x＋1)) . 题型三　集合与方程的综合问题 例3.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}． (1)若A中有且只有一个元素，求a的取值集合； (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 解：(1)由题意知，A中有且只有一个元素，即对应方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一根或有两个相等的实根． 当a＝0时，对应方程为一次方程，此时A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ，符合题意； 当a≠0时，对应方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根， 即Δ＝4－4a＝0，a＝1，符合题意． 综上所述，a的取值集合为{0，1}． (2)由题意知，A中至多有一个元素，即对应方程ax2＋2x＋1＝0无根或只有一根． 由(1)知，当a＝0或1时，A中有且只有一个元素，符合题意； 当Δ＝4－4a<0，即a>1时，对应方程ax2＋2x＋1＝0无实根，即A中无元素，符合题意． 综上所述，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}． [总结] 　1.集合与方程综合问题的解题策略 对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题． 2．集合与方程的综合问题的解题步骤 (1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根． (2)当方程中含有参数时，往往要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，有时还要分类讨论． (3)求出参数的值或取值范围后，还要检验是否满足集合中元素的互异性． 【练一练】 4．设 eq \f(1,2) ∈{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2－ax－\f(5,2)＝0)) }，则集合{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2－\f(19,2)x－a＝0)) }中所有元素之积为______． 解析：因为 eq \f(1,2) ∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2－ax－\f(5,2)＝0)))) ，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2) － eq \f(1,2) a－ eq \f(5,2) ＝0，解得a＝－ eq \f(9,2) ， 当a＝－ eq \f(9,2) 时，方程x2－ eq \f(19,2) x＋ eq \f(9,2) ＝0的判别式Δ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,2))) eq \s\up12(2) －4× eq \f(9,2) ＝ eq \f(289,4) >0， 所以集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2－\f(19,2)x＋\f(9,2)＝0)))) 的所有元素的积为方程的两根之积，等于 eq \f(9,2) . 答案： eq \f(9,2) $