精品解析：湖北省孝感市孝南区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

孝南区2025—2026学年度九年级上学期期中学业水平监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 对于一元二次方程，下列说法错误的是（ ） A. 二次项是 B. 一次项系数是3 C. 常数项是1 D. 是它的一个根 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数图象向下平移2个单位后得到函数解析式为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ） x … 1 11 1.2 1.3 1.4 … y … 1 0.49 0.04 0.59 1.16 … A. 1＜x＜1.1 B. 1.1＜x＜1.2 C. 1.2＜x＜1.3 D. 1.3＜x＜1.4 8. 已知二次函数的图象上有三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第三行有3个……，若前n行的点数之和为55，则n的值为（ ）． A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 如图，已知二次函数（）的部分图象与x轴的正半轴的交点A位于和之间（不包含端点），对称轴为直线．以下结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. （m为任意实数） 二、填空题（每题3分，共计15分） 11. 请写出一个过点（0，1）且开口向上的二次函数解析式_____________． 12. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 13. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为______． 14. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 15. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，的平分线交的延长线于点F，连接，若，则的长为__． 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16. 解下列一元二次方程 （1） （2） 17. 如图，D是等边内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 18. 已知函数二次函数； （1）求值； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 19. 某小区为了美化环境，准备在一块长30米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分），若草坪的面积是551平方米，求道路的宽度． 20. 在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）画出绕点A顺时针旋转后得到的，并写出的坐标． 21. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 22. 某市交警部门提醒骑电动车出行的市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出25个，六月份售出36个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为40个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少2个． ①若要使七月份销售利润达到432元，且尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ ②该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 在中，，将绕点A旋转得到，直线与直线相交于点F． （1）如图1，当点F落在线段上时，求证：； （2）如图2，当点F落在线段上时，且，，当时，求线段长； （3）如图3，当点F落在的延长线上，且时，连接，，判断线段与的数量关系，并说明理由． 24. 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为，点C坐标为，点P为抛物线上的一个点，其横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为直线上方抛物线上的一个点，连接，，当四边形的面积最大时，求出P点的坐标； （3）过点P作轴，交直线于M，记的长为d，点P到y轴的距离为g，且． ①求l与m的函数解析式； ②当时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝南区2025—2026学年度九年级上学期期中学业水平监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 对于一元二次方程，下列说法错误的是（ ） A. 二次项是 B. 一次项系数是3 C. 常数项是1 D. 是它的一个根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，包括各项的定义和根的检验，通过对比方程的一般形式并验证根，即可判断错误选项 【详解】∵ 方程 中， 选项A：二次项是 ，正确，不符合题意； 选项B：一次项系数是 ，不是3，错误，符合题意； 选项C：常数项是1，正确，不符合题意； 选项D：当 时，，是根，正确，不符合题意； 故选B 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 4. 二次函数的图象向下平移2个单位后得到函数解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律“上加下减、左加右减”成为解题的关键． 根据平移规律“上加下减、左加右减”解答即可． 【详解】解：∵的图象向下平移2个单位， ∴． 故选：B． 5. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角求角度，根据旋转，得到，利用等边对等角，进行计算即可，掌握旋转的性质，是解题的关键 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ∴． 故选A． 6. 方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】∵x2+2x= 1 ∴x2+2x+1= 2 ∴(x+1)2= 2 故选： C． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 7. 在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 1 0.49 0.04 0.59 1.16 … A. 1＜x＜1.1 B. 1.1＜x＜1.2 C. 1.2＜x＜1.3 D. 1.3＜x＜1.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中自变量与函数的值的变化情况得出当y=0时相应的自变量的取值范围即可． 【详解】由表格中数据可知，当x＝1.1时，y＝－0.49. 当x＝1.2时，y＝0.04 于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2 故选B 【点睛】本题考查了用图像法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可． 8. 已知二次函数的图象上有三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，随的增大而增大，便可得出的大小关系． 【详解】∵抛物线， ∴对称轴为， ∵， ∴点关于的对称点， ∵， ∴在的右边随的增大而增大， ∵，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 9. 如图是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第三行有3个……，若前n行的点数之和为55，则n的值为（ ）． A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图形得到前n行的点数之和为，再由三角点阵前n行的点数之和是55，即可得出关于n的一元二次方程，解之可得出n的值． 【详解】由图可知前2行的点数之和为； 前3行的点数之和为； 前4行的点数之和为； ……， 前n行的点数之和为； 当时， 解得（舍去）， 故选B． 【点睛】本题考查图形的变化，解题的关键是正确理解题意列出方程，本题属于基础题型． 10. 如图，已知二次函数（）的部分图象与x轴的正半轴的交点A位于和之间（不包含端点），对称轴为直线．以下结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. （m为任意实数） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断A，特殊点判断B，对称轴判断C，最值，判断D即可． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴， ∴，，故A选项错误，C选项正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同， 由图象可知，当时，函数值小于0， ∴；故B选项错误； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， ∴， ∴；故选项D错误； 故选C． 二、填空题（每题3分，共计15分） 11. 请写出一个过点（0，1）且开口向上的二次函数解析式_____________． 【答案】y＝x2＋1 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可． 【详解】解：∵开口向上， ∴a＞0， 且与y轴的交点为（0，1）． ∴函数解析式可y=x2+ 1． 故答案为：y=x2+ 1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0． 12. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将x=1代入方程求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根 ∴，解得： 故答案为：-1． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的概念，理解概念正确代入计算是解题关键． 13. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 14. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，则 ， 解得， ∴米， 故答案为：． 15. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，的平分线交的延长线于点F，连接，若，则的长为__． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握是解题的关键． 延长交于点G，由旋转性质和角平分线性质证明，得到，设，证明四边形是正方形，得到，得到,得到，根据，得到，即得． 【详解】延长交于点G， 由旋转知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵, ∴, ∴， ∵， ∴， 解得． ∴． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16. 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，． 17. 如图，D是等边内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明； 【详解】证明：∵是等边三角形， ， ∵线段绕点顺时针旋转，得到线段， ， ， ， 在和中， ， ． 18. 已知函数是二次函数； （1）求的值； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）这个二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据形如是二次函数，可得答案． （2）化成顶点式，根据二次函数性质得到开口方向、对称轴及顶点坐标． 【小问1详解】 由题意：， 解得， 时，函数是二次函数． 【小问2详解】 二次函数的解析式为， 这个二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【点睛】此题考查了二次函数定义，以及二次函数的性质，关键是掌握形如（a，b，c为常数，）的函数，叫做二次函数． 19. 某小区为了美化环境，准备在一块长30米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分），若草坪的面积是551平方米，求道路的宽度． 【答案】1米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设道路的宽度为x米，根据平移的性质可知草坪的面积可以看作一个长为米，宽为米的长方形面积，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽度为x米． 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：道路的宽度为1米． 20. 在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）画出绕点A顺时针旋转后得到的，并写出的坐标． 【答案】（1）见解析， （2）见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称及旋转的性质，熟练掌握点的坐标关于原点对称及旋转的性质是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于原点对称的点，然后问题可求解； （2）根据旋转的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：所作如图所示： ∴由坐标系可知； 【小问2详解】 解：所作如图所示，． 21. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程两根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式的运用，因式分解求解一元二次方程的解，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）利用根的判别式求出m的取值即可； （2）利用根与系数的关系得到，求出结果即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ； 【小问2详解】 ，是一元二次方程有两个根， ，， ，即， 解得：或， ， ． 22. 某市交警部门提醒骑电动车出行的市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出25个，六月份售出36个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为40个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少2个． ①若要使七月份销售利润达到432元，且尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ ②该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）①该品牌头盔每个应涨价2元；②该品牌头盔每个涨价5元时，月销售利润最大为450元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据销售量列出一元二次方程求解即可； （2）①设该品牌头盔每个应涨价元，根据利润，列出一元二次方程求解即可； ②设月销售利润为，列出二次函数，根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意得， ， ，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：①设该品牌头盔每个应涨价元，根据题意得， ， 即：， ，， 尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌头盔每个应涨价2元； ②设月销售利润为， ， ， 当时，， 该品牌头盔每个涨价5元时，月销售利润最大为450元． 23. 在中，，将绕点A旋转得到，直线与直线相交于点F． （1）如图1，当点F落在线段上时，求证：； （2）如图2，当点F落在线段上时，且，，当时，求线段的长； （3）如图3，当点F落在的延长线上，且时，连接，，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理； （1）连接，由旋转的性质知，，，再证明，即可得到 （2）连接，由勾股定理求出，由旋转可得：，，得到，，再证明，得到，最后根据求解即可； （3）由和旋转可得，，，再证明 即可得到． 【小问1详解】 解：连接， 由旋转的性质知，，， 在与， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，，， ， 由旋转可得：，， ，， ， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ， 【小问3详解】 解：， 理由：∵， ，，， 由旋转可得：， ，， ，， ， ， ， 在与中， ． 24. 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为，点C坐标为，点P为抛物线上的一个点，其横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为直线上方抛物线上的一个点，连接，，当四边形的面积最大时，求出P点的坐标； （3）过点P作轴，交直线于M，记的长为d，点P到y轴的距离为g，且． ①求l与m的函数解析式； ②当时，直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数与面积综合． （1）把点B坐标为，点C坐标为代入列方程计算即可； （2）过作轴交于，设，则，根据表示出面积，最后求最大值即可； （3）①设，则， ，点P到y轴的距离为，，再分情况讨论去绝对自即可； ②根据结合①中三种情况列方程求解，再取对应范围之内的值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为，点C坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：点B坐标为，点C坐标为，则， 设直线解析式，把代入， 解得， ∴直线解析式为， 过作轴交于， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为，此时； 【小问3详解】 解：①设， ∵过点P作轴，交直线于M， ∴， ∴，点P到y轴的距离为， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，； ②∵， ∴当时，，解得（舍去）或； 当时，，整理得，方程无解； 当时，，整理，解得或（舍去）； 综上所述当时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $