精品解析：山东省泰安市泰山区2025-2026学年八年级上学期数学期中试题

第一学期期中学情抽测 初三数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填入下面答案栏的对应位置） 1. 下列分式中，无论x取什么值，一定有意义的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若a、b的值均扩大为原来的4倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 选举中，人们通常最关心的数据是众数 B. 数据6、4、2、2、1的平均数是3 C. 数据3、5、4、1、-2的中位数是3 D. “打开电视机，中央一套正在播广告”是必然事件 6. 若，则的值为（ ） A. 60 B. 30 C. 15 D. 7. 某化工厂要在规定时间内搬运化工原料，现有两种机器人可供选择，已知B型机器人每小时完成的工作量是A型机器人的倍，B型机器人单独完成所需的时间比A型机器人少16小时，若设A型机器人每小时搬运化工原料，则可以列出以下哪个方程（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的分式方程无解，则n的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 9. 若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 10. 若分式的值为零，则______． 11. 小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的平均数是______． 12. 小红等五名同学五月份参加某次数学测验的成绩如下：90、90、y、y、70．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数y的值为________． 13. 如果是一个完全平方式，那么的值是_____． 14. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1200里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的3倍，求规定时间．设规定时间为y天，则可列出正确的分式方程为________． 15. 如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即，那么__．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 16. 因式分解． （1）． （2） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 解方程 （1）； （2）． 19. 为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 b c 九年级竞赛成绩 a 8 8 m 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中的________，________，________； （2）该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ （3）求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差m，并比较八、九年级哪个年级成绩更稳定？ 20. 定义．根据定义，解答下列问题： （1）________； （2）计算； （3）求方程的解． 21. 阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； （1）________； （2）________； （3）分解因式：； （4）分解因式：． 22. 中国是世界文明古国之一，古代天文学有着卓越的成就．《开元占经》记载了众多天文现象和数据，《甘石星经》则是古代重要的天文学著作．某天文爱好者俱乐部的《开元占经》单价是《甘石星经》单价的，用800元购买《开元占经》比购买《甘石星经》多买4本． （1）求《开元占经》、《甘石星经》两种图书的单价分别为多少元？ （2）在世界航天日，该俱乐部计划到书店购买这两种图书共100本，且购买的《甘石星经》数量不少于《开元占经》数量的．由于购买量大；书店打折优惠，两种图书均按七五折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一学期期中学情抽测 初三数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填入下面答案栏的对应位置） 1. 下列分式中，无论x取什么值，一定有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于零即可求解． 【详解】解：A、当x+1=0，即x=-1时，分式的分母为零，所以该分式无意义；故本选项不符合题意； B、当x=0时，分式的分母为零，所以该分式无意义；故本选项不符合题意； C、中，无论x为何值，分母x2+1≠0，所以该分式有意义；故本选项符合题意； D、当x=±1时，分式的分母为零，所以该分式无意义；故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．掌握分式有意义的添加是分母不为零是解题的关键． 2. 下列分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，根据最简分式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握最简分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、中有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意； B、中分母可因式分解为，故分子和分母有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意； C、中分子和分母无公因式，故是最简分式，符合题意； D、中分子可因式分解为，分母可因式分解为，故有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 3. 若a、b的值均扩大为原来的4倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，通过代入扩大后的值并化简，比较是否与原式一致即可，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：A、，与原分式相同，即分式的值保持不变，符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，分式的乘除运算，分式的乘方，同分母分式的减法运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用合并同类项的法则，分式的乘除运算法则，分式的乘方法则，同分母分式的减法运算法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 选举中，人们通常最关心的数据是众数 B. 数据6、4、2、2、1的平均数是3 C. 数据3、5、4、1、-2的中位数是3 D. “打开电视机，中央一套正在播广告”是必然事件 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A、选举中，人们通常最关心的数据是众数；故本选项正确； B、数据6、4、2、2、1的平均数是3；故本选项正确； C、数据3、5、4、1、-2的中位数是3；故本选项正确； D、打开电视机，中央一套正在播广告”是随机事件；故本选项错误． 故选D． 考点：1.随机事件；2.统计量的选择． 6. 若，则的值为（ ） A. 60 B. 30 C. 15 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，准确的计算是解决本题的关键． 将代数表达式重组并因式分解，利用完全平方公式和已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， 又∵， ∴ ． 故选：A． 7. 某化工厂要在规定时间内搬运化工原料，现有两种机器人可供选择，已知B型机器人每小时完成的工作量是A型机器人的倍，B型机器人单独完成所需的时间比A型机器人少16小时，若设A型机器人每小时搬运化工原料，则可以列出以下哪个方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用．根据题意，B型机器人每小时搬运千克，其完成时间比A型少16小时．通过工作时间=总量÷效率，建立方程． 【详解】解：设A型机器人每小时搬运千克，则B型每小时搬运千克． A型完成2400千克需小时，B型完成2400千克需小时． 根据题意，B型时间比A型少16小时， 故， 故选：C． 8. 关于x的分式方程无解，则n的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，分式方程无解的情况包括：解出的根使分母为零（增根），或化简后的整式方程无解（矛盾），由此计算即可得解，熟练掌握分式方程无解的情况是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 移项并合并同类项可得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴当，即时，原分式方程无解； 当时，， 当，即时，原分式方程无解； 综上所述，n的值为1或， 故选：C． 9. 若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，根据分式方程有非负实数解，确定出的范围，再解不等式组，根据不等式组有解，确定出的范围，进而确定出的具体范围，求出所有满足题意整数的值，求出其和即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， ∵分式方程有非负实数解， 故，， 解得且； ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组，有解， ∴存在满足且， 故， 即； 综上，且． 故所有满足题意整数的值为：，，，，，，，， ∵． 故满足条件的所有整数的值的和是． 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 10. 若分式的值为零，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 11. 小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的平均数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了方差，平均数．由，可知这组数据为7、7、8、8、8、9，然后根据平均数的定义求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴这组数据为7、7、8、8、8、9， ∴这组数据的平均数为， 故答案为：． 12. 小红等五名同学五月份参加某次数学测验的成绩如下：90、90、y、y、70．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数y的值为________． 【答案】50或100 【解析】 【分析】本题考查了中位数和平均数，根据数据90、90、y、y、70，分情况讨论y的取值范围，确定中位数，并令中位数等于平均数，解方程求整数y，熟练掌握中位数和平均数的定义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：数据总和为， 故平均数为， 当时，数据排序为、、70、90、90，则中位数为70， 故，解得，符合； 当时，数据排序为70、、、90、90，则中位数为， 故，解得，不是整数，舍去； 当时，数据排序为70、90、90、、，则中位数为90， 故，解得，符合； 综上所述，整数的值为50或100， 故答案为：50或100． 13. 如果是一个完全平方式，那么的值是_____． 【答案】或5 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式．根据所给式子可知两平方项分别为，，那么一次项为，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或5． 14. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1200里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的3倍，求规定时间．设规定时间为y天，则可列出正确的分式方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，设规定时间为天，则快马所需时间为天，慢马所需时间为天，再根据快马的速度是慢马的3倍列出方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：由题意得，快马速度为里/天，慢马速度为里/天， 由于快马速度是慢马速度的3倍，故有方程：． 故答案为：． 15. 如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即，那么__．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与分式运算相关的规律探索题．根据题意得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， 故 ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 16. 因式分解． （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用平方差公式分解因式，再提公因式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先计算小括号的异分母分式加法，将除法化为乘法，再计算乘法； （2）将式子中各项因式分解，再计算乘法． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】此题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键， （1）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可； （2）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可 【小问1详解】 解：两边同时乘，得： ， 解得， 经检验，是原方程的根， 原方程的解为． 【小问2详解】 解：两边同时乘得， ， 解得， 经检验是原方程的增根，原方程无解． 19. 为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 b c 九年级竞赛成绩 a 8 8 m 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中的________，________，________； （2）该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ （3）求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差m，并比较八、九年级哪个年级成绩更稳定？ 【答案】（1）8；8；8 （2）228人 （3）九年级成绩更稳定 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数和平均数的意义求解即可； （2）用1900乘以满分人数所占的百分比，即可； （3）先求出方差，再根据方差越小成绩越稳定进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵九年级得8分的人数14人，人数最多， ∴； 把八年级竞赛成绩按照从低到高的顺序排列处在第25名和第26名的成绩分别为8分，8分， ∴； 八年级平均成绩, 故答案为：8；8；8。 【小问2详解】 解：人， ∴估计满分有228人； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴九年级成绩更稳定。 【点睛】本题主要考查了折线统计图，中位数、众数、方差，用样本估计总体，熟练掌握中位数、众数、方差的意义是解题的关键． 20. 定义．根据定义，解答下列问题： （1）________； （2）计算； （3）求方程的解． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解． （1）根据定义列式计算即可； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：3； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由题意得， 解得 经检验，是分式方程的解 原方程的解为． 21. 阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； （1）________； （2）________； （3）分解因式：； （4）分解因式：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意根据，，进行分解因式即可； （2）仿照题意根据，，进行分解因式即可； （3）仿照题意根据，，进行分解因式即可； （4）把看做一个整体，仿照题意根据，，进行分解因式即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴, 故答案为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 故答案为； 【小问3详解】 解：∵，， 所以 【小问4详解】 解：∵，， 所以 22. 中国是世界文明古国之一，古代天文学有着卓越的成就．《开元占经》记载了众多天文现象和数据，《甘石星经》则是古代重要的天文学著作．某天文爱好者俱乐部的《开元占经》单价是《甘石星经》单价的，用800元购买《开元占经》比购买《甘石星经》多买4本． （1）求《开元占经》、《甘石星经》两种图书的单价分别为多少元？ （2）在世界航天日，该俱乐部计划到书店购买这两种图书共100本，且购买的《甘石星经》数量不少于《开元占经》数量的．由于购买量大；书店打折优惠，两种图书均按七五折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 【答案】（1）《开元占经》单价为50元，《甘石星经》单价为元 （2）购买《开元占经》75本，购买《甘石星经》25本 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程和函数解析式是解题的关键： （1）设《甘石星经》单价为x元，则《开元占经》单价为元，根据用800元购买《开元占经》比购买《甘石星经》多买4本，列出方程进行求解即可； （2）设购买《开元占经》m本，则购买《甘石星经》本，根据购买的《甘石星经》数量不少于《开元占经》数量的，求出的范围，设总费用为w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设《甘石星经》单价为x元，则《开元占经》单价为元． 由题意可得： 解得， 经检验，是原方程的解． ∴（元） 答：《开元占经》单价为50元，《甘石星经》单价为元． 【小问2详解】 设购买《开元占经》m本，则购买《甘石星经》本 ，解得 设总费用为w元， 因为，所以w随m的增大而减小 所以当时，w最小，此时（本）． 答：购买《开元占经》75本，购买《甘石星经》25本时费用最少． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $