广东省广州市第七十五中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性测试数学试卷

参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 P 9 10 答案 D B B D B B D CD ABD 题号 11 答案 BCD 1.D 【详1当任0n →0<m<2时，方程表示焦点在x轴上的椭圆； 4-m>0 当 →2<m<4时，方程表示焦点在y轴上的椭圆」 m>4-m 综上，实数m的取值范围(0,2)U(2,4). 故选：D 2.B 【详解】由中点坐标公式可知，线段AB的中点坐标是 -3+41+35+1 2,22 即为22,3 故选：B 3.B 【详解】解：因为N为8C中点，所以0ON-OE+0C), 因为OM=2M,所以OM-O1, 则=om-om-o5+o0i=号a+5+. 故选：B 4.D 【详解】由题设，圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=16, 圆心为(1，-2)，半径为4， 又(1，-2)到4x-3y-2=0的距离为 4+6-2_8<4, V16+95 直线与圆的位置关系为相交且不过圆心 故选：D 5.c 详解】由QB,知：元远，则之号解符x2,y4,故xy归2 故选：C 6.B 答案第7页，共11页 【详解】将直线l的方程整理为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0, 由x+y-4=0 x=3 2x+y-7-0得U=i, 所以直线1过定点(3，， 因为(3-1)2+(1-2)2<25， 所以点(3，)在圆内部， 所以直线和圆恒有2个交点，即直线和圆相交 故选：B 7.B 【详解】如图，不妨设P在第一象限 F 设PF,=t,则PF=3t, 由t+3t=2a→a=2t. 由PE+lPE=rF→r+32-(2c2→e=1 V10 所以椭圆的离心率。一c_2 10 e= a 2t 4 故选：B 8.D 【详解】当直线：y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的渐近线y=±x平行时，k=1, 此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示： 答案第8页，共11页 y 1y=-x+2 =+2 因为直线：y=x+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点， 所以k的取值范围为(-1，)， 故选：D. 9.CD 【译】A:指直线化为斜裁式。有)=一写+1，即直线斜率为，错 3 B:当a=0,bc>0时，直线为y=合<0也过筑三象限.错： C:（2+2)x+(1-22)y+4-32=2x+y+4+2(x-2y-3)=0, 2x+y+4=0.x=-1 -2y-3=0=-2即直线过定点(-1，-2列，对： 令 2 D:由题设3x+y=2→x= ,x+3y+10→y三，显然两线垂直，对 故选：CD 10.ABD 【详解】因为双曲线的渐近线方程为y=士5】 3, 且点(3,2)与原点连线的斜率小于 3 所以可设双曲线方程为号-y=mm≠0) 3 又双曲线过点3，)，所以m=}-(=1, 所以双曲线C的方程为号-y尸=1，A正确： 由双曲线方程知a2=3,b=1,c=Va2+b2=2, 则左焦点为-2,0)，渐近线方程为x±√3y=0, 答案第7页，共11页 则左焦点到渐近线的距离= 人-2 V+(± 专，B正确， 由x-√2y-1=0得x=V2y+1, 代入双曲线C的方程并整理得y2-2√2y+2=0, 解得y=√2，所以x=√2×√2+1=3， 故直线x-V2y-1=0与双曲线只有一个公共点(3，V2),C错误； 双曲线的通径长为26-2=25<25， a3 3 因此过右焦点，两端点都在右支上且弦长为23的弦有两条， 又双曲线的两顶点间距离为2a=23, 因此端点在双曲线左，右两支上且弦长为2√3的弦只有一条，为实轴， 所以共有三条弦的弦长为2√5，D正确 故选：ABD. 11.BCD 【详解】以D为坐标原点，DA,DC,DD正方向为x,y,z轴，可建立如图所示空间直角坐标系， D C B A 48=C=1,00=2,48-号4D,4r-4C E D C-Y B p00.0,40.o,c0,1.o,8.o,a1on2,4L0,2,6aF50 对于AF-5引40=-0-2 F4D=- 0+,P与AD不垂直，A错踪 答案第8页，共11页 对于B,EF= 引丽-l-2乐-丽， 则EFI∥BD,B正确； 对于C,:EF= 112 3'33D=(-1,0,0, 1 EF.AD .cos <EF,AD>= V6 丽6 =6， 即异面直线EF与AD所成角的余弦值为6，C正确； 6 对于D,:?轴⊥平面ACD,·平面ACD的一个法向量m=(0,0,1): 设平面4CE的法向量-x,小，又C(-110,正-（号0引 AC.ii=-x+y=0 名x+名2=0'令x=1,解得：y=山，2=1，n=11,1: AE=-2x+2. 3 3 .cos m,n > 用9加小i 即二面角E-AC-D的正切值为√2，D正确 故选：BCD 12. 【详解】由题意知，B=12,AB上x轴，故5，-A8=6, 又E,4=10,由A+F24=2a=16,解得a=8, 又EE=AE-A=8=2c,所以c=4, 所以椭圆C的离心率为e=9=4=」 a82 故答案为：2 B 13.2 【详解】a=（-21,3),b=(-1,2,1),则a-b=（-2+元，1-22,3-2)， 答案第7页，共11页 又ā1（ā-6），则āa-6)=-2(-2+元)+(1-22)+3(3-元)=14-72=0，解得元=2. 故答案为：2 14. /03 3 【详解】 由题意得直线y=k(x+2)过定点A-2,0),画出曲线y=V1-x2的图像，如图所示， 结合图像可知，当直线与半圆相切于B点时，斜率最大， 根据O1=2.0B=1.0B101,可得∠840=30，此时ke=an30= 3 当直线与x轴重合时，斜率最小，此时k=0 所以实数k的取值范围为0， 3 √5 故答案为： 0. 3 15.(1)x-y=0 (2)(x-4)2+y-2)2=4或(x+4)2+(y+2)2=4 【详解】(1)x2+y2+4y+2=0可化为x2+(y+2)2=2,即圆心为(0，-2)，半径为√2， 将点(-1，-的坐标代入圆C的方程，成立，则点(-1，-)在圆C上， 点(-1，-1川与点(0，-2)连线的斜率为2+1-1， 0+1 所以直线1的斜率为1， 故直线1的方程为y+1=x+1,即x-y=0 （2)设所求圆的圆心坐标为(21，)，由于该圆与x轴相切，因此该圆的半径为t, 所以该圆的方程是(x-2)2+(y-)2=2 答案第8页，共11页 x-y=0 因为该圆被直线1截得的弦长为2√2， 所以该圆圆心到直线x-y=0的距离d=VtP-(2)2=P-2, -F-2,解得=2， 由 √2 故圆M的标准方程为(x-4)2+(y-2)2=4或(x+4)2+(y+2)2=4. 16.(1)3 (2)3V5+3 【详解】(1)由题知F(-2,0), 所以直线1的方程为y=5 (x+2,设Ax1,1),B(x2,y2) 3 联立 3 ,整理得8x2-4x-13=0. -（x+2 3 1 x+=2 所以 13 X2= 8 所以--4- (2)1 知直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点 AF-4F=2a AF=4F+2a 由双曲线的定义得 整理得 BF-BF=2a BF2=BF-2a 所以△ABF的周长=AF+BF2+AB=AF+2a+BF-2a+AB=AF+BF+AB=BF+BF=2BF 由双曲线得焦半径公式得BF=a+e·2, 又由(1)知直线的方程与双面线的方程联立得8x2-4红-13=0，解得，-+5，双曲线C:-上-1的离心 2 3 率e=2,a=1 答案第7页，共11页 所以BF=a+e·x2=l+2× 1+3V33+3v3 4 2 所以△ABF2的周长2BF=3+3V5 17.(①6 2)5 5 【详解】(1)因为PD=2,AD=1,PD⊥DA,PD⊥DC,底面ABCD为正方形， 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系， D A☑ 则D0,0,0),A1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),P0,0,2), 因为M,N分别为DA,DP中点，所以M(50,O),N0,0,), 则=（号0.wc=(分10.M服=兮0 设平面MNC的法向量为i=(x,y,z), 1 i·MN=0 x+z=0 2 由 即 ,令x=2,则y=1,z=1,所以万=(2,1，)， MC=0 1 2 x+y=0 则MB.n=2×5+1×1+1×0=2,元=√22+12+12=√6， 2 根据点B到平面MNC的距离公式d=Mm_2=V6 训6=3 (2)首先设平面BNC的法向量m=(a,b,c),BN=(-1,-1,1),BC=(-1,0,0), mBN=0 -a-b+c=0 由 ,即 ,令c=1,则a=0,b=1,所以m=(0,11), mBC=0 -a=0 设直线MB与平面BNC所成角为O, 则6m=01+10=1.卡+：5，F0T, 2 答案第8页，共11页 所以sin6=1Bm 1 V10 MB5x2 5, 2 因为sn0*cos0-1,所以cm9--四=5 则直线MB与平面BNC所成角的余弦值 5 106分 (2)5x-6y+27=0 a+c=10「a=6 【详解】(1)由题意可知 a-c=2，则 c=4 因为b2=a2-c2=20, 所以椭圆C的方程为二+1. 3620 (2)设4(4，B(x,,则3620 3620 两式相减得-戈+-坚-0， 36 20 整理可得业=-5x+x x-x2 9y+y2 因为线段AB的中点坐标为-3,2)，所以x+x2=-61+2=4, 所以直线1的斜率k=-五=-5x+五=-5×6_5。 -9片+y946' 故直线1的方程为y-2=(x+3),即5x-6y+27=0 6 直线5x-6y+27=0和X轴的交点为-2？，0， 5 该点在椭圆C内，故直线5x-6y+27=0和椭圆相交，满足条件 (-3,2) B 19.(1)证明见解析 (20 20 答案第7页，共11页 3)04 8 【详解】(1)因为∠C=90°，则AC⊥BC, 且DE∥BC,可得AC⊥DE, 将ADE沿DE折起到△A,DE的位置，始终有DE⊥AD,DE⊥CD, 因为A,D∩CD=D,A,D,CDc平面ACD,所以DE⊥平面ACD, 由A,Cc平面ACD,可得DE⊥A,C, 且A,C⊥CD,CD∩DE=D,CD,DEc平面BCDE, 所以A,C⊥平面BCDE (2)由(I)可知，A,C,CD,CB两两垂直，翻折前，因为DEBC,且CD=2, 所以AD=4, ,80言号所议e-c2 3 翻折后A,D=4, 由勾股定理得4C=√4D2-CD=V42-22=2√5， 所以以C为原点，直线CD,CB,CA分别为x,y,z轴建立如下空间直角坐标系， ZA DA- 则C(0,0,0),A(0,0,23,D(2,0,0),M1,0,5,B(0,3,0),E(2,2,0, 可得CM=1,0,V5,M8=-1,3,-5,BE=(2,-1,0), m.CM=x+3z=0 设平面BMC的法向量m=(x,》,),则 m·MB=-x+3y-V3z1=0 令z=1,则=-5，y=0,可得m=(-5,0,1, 设平面BME的法向量i=(x2,,2),则 万.MB=-x3+3y2-V3z2=0 i.BE=2x2-y2=0 令=1，则为=2，清可别2》 答案第8页，共11页 广东省广州市第七十五中学 2025学年第一学期高二年级第二次阶段性测试数学试卷 命题人：杨月霞 审题人：陈智 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的. 1．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知点与点，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交过圆心 D．相交不过圆心 5．已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 6．已知圆，直线，为任意实数，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．与m的值有关 7．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的。若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分 9．下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率为 B．若直线经过第三象限，则， C．直线恒过定点 D．若，则直线与直线垂直 10．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．左焦点到渐近线的距离为1 C．直线双曲线有两个公共点 D．过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条 11．长方体的底面是边长为的正方形，长方体的高为，分别在上，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的正切值为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12．设椭圆的左、右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于A，B两点，若，，则C的离心率为 . 13．，若，则实数值为 . 14．已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知直线过点且与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 16．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与双曲线左右两支分别交于、两点. (1)求； (2)求的周长. 16．如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 17．已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 18．在中，，，，分别是AC，AB上的点，满足，且.将沿DE折起到的位置，使，存在动点使如图所示. (1)求证：平面BCDE； (2)当时，求二面角的余弦值； (3)设直线BM与平面所成线面角为，求的最大值. 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $