章末过关检测卷(四) 指数函数与对数函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

章末过关检测卷(四)　指数函数与对数函数 (用时：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若，则(　　 ) A．a∈R B．a＝0 C．a> D．a≤ 解析：选D.由，可得1－2a≥0，即a≤. 2．设函数f(x)＝＝(　　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选D.函数f(x)＝＝2＋5＝7. 3．函数f(x)＝ln x＋3x-1－6的零点所在区间为(　　 ) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：选C.f(1)＝ln 1＋31-1－6＝－5<0，f(2)＝ln 2＋32-1－6＝ln 2－3<0，f(3)＝ln 3＋33-1－6＝ln 3＋3>0，f(x)＝ln x＋3x-1－6为(0，＋∞)上的连续函数，且单调递增，由零点存在定理得f(x)＝ln x＋3x-1－6的零点所在区间为(2，3)． 4．如图是根据原卫生部公布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高的中位数散点图，则下列可近似刻画身高y(单位：cm)随年龄x变化规律的函数模型是(　　 ) A．y＝mx＋n(m>0) B．y＝m＋n(m>0) C．y＝max＋n(m>0，a>1) D．y＝mlogax＋n(m>0，a>1) 解析：选B.A选项，由散点图知身高y随年龄x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与图象不符合，故C错误；D选项，对数函数模型在x＝0时没有意义，故D错误；B选项符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x＝0时有意义． 5．已知函数f(x)＝是(1，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　 ) A． B． C． D. 解析：选C.由题意得 解得0<a≤. 6．若函数f(x)＝loga(x＋1)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P的单调递增区间为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.在函数f(x)＝loga(x＋1)＋2(a>0且a≠1)中，令x＋1＝1，得x＝0，f(0)＝2，因此函数f(x)的图象恒过定点(0，2)，依题意，m＝0，n＝2，函数g(x)＝ex2－2x定义域为R， 令u＝x2－2x，函数u＝x2－2x在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，而函数y＝eu在R上单调递增， 因此函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减， 所以函数g(x)＝e(m＋1)x2－nx的单调递增区间为(1，＋∞)． 7．若方程x2＋ln x－4＝0在区间(a，b)(a，b是整数，且b－a＝1)上存在一个实数根，则a＋b＝(　　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选A.令f(x)＝x2＋ln x－4，易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝－3<0，f(2)＝ln 2>0，由零点存在定理，知存在唯一一个x0∈(1，2)，使得f(x0)＝0，此时a＝1，b＝2，满足b－a＝1，所以a＋b＝3. 8．已知2 023a＝2 035，2 035b＝2 023，c＝log2 0502 023，则(　　 ) A．ac<bc B．ca<cb C．logac>logbc D．logca>logcb 解析：选B.a＝log2 0232 035>log2 0232 023＝1，b＝log2 0352 023<log2 0352 035＝1.因为b＝所以b>c>0，即a>1>b>c>0.由幂函数的性质可知，ac>bc，故A错误；由指数函数的性质可知，ca<cb，故B正确；因为logbc>logb1＝0，logac<loga1＝0，所以logac<logbc，故C错误；由对数函数的性质可知，logca<logcb，故D错误． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．若logab<0，则函数f(x)＝ax＋b的大致图象可以是(　　 ) 解析：选BC.logab<0＝loga1，则当0<a<1时，y＝logax在定义域内单调递减，∴b>1，此时f(x)＝ax＋b>1，且f(x)在定义域内单调递减，B成立，D错误；当a>1时，y＝logax在定义域内单调递增，∴0<b<1，f(x)在定义域内单调递增，且x趋近于－∞时，f(x)趋近于b，A错误，C成立． 10．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　 ) A．f(x)的定义域为(0，2) B．f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减 C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 解析：选ABC.要使f(x)＝ln x＋ln (2－x)有意义，则解得0<x<2，所以f(x)的定义域为(0，2)，所以A正确； f(x)＝ln [x(2－x)]＝ln [－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以B正确； f(1－x)＝ln (1－x)＋ln (x＋1)，f(1＋x)＝ln (x＋1)＋ln (1－x)，所以f(1－x)＝f(1＋x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以C正确； f＝ln ＋ln ＝＝ln ＋ln ＝ln ，所以f＝所以D错误． 11．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则(　　 ) A．实数m的取值范围为{m|0<m<3} B．函数f(x)在(－∞，0)，单调递增 C．x1x2x3的取值范围为(－3e-4，0) D．函数g(x)＝f(f(x))有4个零点 解析：选BD.作出y＝f(x)的图象，如下图所示： 对于A选项，由图象可知，当0<m≤3时，直线y＝m与函数f(x)的图象有三个交点，所以，实数m的取值范围为{m|0<m≤3}，故A错误； 对于B选项，由图象可知，函数f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减，故B正确； 对于C选项，由图象可知，x1的取值范围为－3<x1≤0， 由|ln x2＋2|＝|ln x3＋2|，即－(ln x2＋2)＝＋2， 可得ln x2＋ln x3＝ln (x2x3)＝－4，解得x2x3＝e-4，则x1x2x3∈(－3e-4，0]， 所以x1x2x3的取值范围为(－3e-4，0]，故C错误； 选项D，由g(x)＝f(f(x))＝0，令f(x)＝t，则f(t)＝0，解得t＝－3或t＝， 由图象可知f(x)＝－3时，方程有1个解；f(x)＝时，方程有3个解， 所以函数g(x)有4个零点，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知函数f(x)＝ax-1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，试写出一个同时满足下列条件的对数型函数g(x)的解析式：________． ①图象恒过点A；②是偶函数；③在(0，＋∞)上单调递减． 解析：函数f(x)＝ax-1＋1中，令x－1＝0，解得x＝1，f(1)＝a0＋1＝2，所以f(x)的图象恒过点A(1，2)．取g(x)＝＋2，则g(1)＝2，满足条件①；g(x)＝g(－x)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则g(x)是偶函数，满足条件②；易知g(x)在(0，＋∞)上单调递减，满足条件③.故答案可以为g(x)＝＋2. 答案：g(x)＝＋2(答案不唯一) 13．函数f－ln x＋2的零点在区间，k∈Z，则k＝________． 解析：由题意知，函数y＝，y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减， 所以函数f(x)＝－ln x＋2在(0，＋∞)上连续且单调递减， 又f(e2)＝＝－1<0， 所以f<0，则函数f(x)的零点在区间(e2，e3)上， 又因为函数f(x)的零点在区间(ek，ek+1)(k∈Z)上，所以k＝2. 答案：2 14．函数f(x)＝＋2ln x，若f(a2)＋f(b)＝0，则a2＋3b的最小值为________． 解析：函数f(x)＝＋2ln x的定义域为(0，＋∞)， 又f＝＋2ln －2ln x， 则f(x)＋f＝0，因为f(a2)＋f(b)＝0， 所以a2b＝1(b>0，a2>0)， 所以a2＋3b≥2，当且仅当a2＝3b，即b＝时取等号． 答案：2 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)计算： －0； (2)2－＋lg 25－lg 8－ln . 解：(1)原式＝＝－45. (2)原式＝3－3＋lg . 16．(15分)已知函数f(x)＝且点(4，2)在函数f(x)的图象上． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 解：(1)∵点(4，2)在函数f(x)的图象上，∴f(4)＝loga4＝2，∴a＝2， ∴f(x)＝ (2)∵方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根， ∴直线y＝2m与函数y＝f(x)有两个不同的交点． 结合图象(图略)可得2m≤2，解得m≤1， ∴实数m的取值范围为(－∞，1]. 17．(15分)已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1，2]. (1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值； (2)求f(x)的最大值与最小值． 解：(1)∵x∈[－1，2]，函数t＝3x在[－1，2]上单调递增，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为. (2)设t＝3x，由f(x)＝9x－2×3x＋4，即y＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9， 故当t＝1即x＝0时，函数f(x)有最小值3，当t＝9即x＝2时，函数f(x)有最大值67. 18．(17分)西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1 200多年历史．泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在25 ℃室温下，龙井用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳饮用口感．经过研究发现，设茶水温度从85 ℃开始，经过x分钟后的温度为y ℃且满足y＝kax＋25. (1)求常数k的值； (2)经过测试可知a＝0.922 7，求在25 ℃室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(结果精确到1分钟)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1，lg 0.922 7≈－0.034 9) 解：(1)茶水温度从85 ℃开始， 即当x＝0时，y＝k＋25＝85，解得k＝60. (2)当a＝0.922 7时，y＝60×0.922 7x＋25， 当y＝60时，60×0.922 7x＋25＝60，即0.922 7x＝， 则x＝log0.922 7≈6.704 9， 故刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感． 19．(17分)已知f(x)＝loga. (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性； (2)令g(x)＝f(x－3)，写出g(x)的单调区间(只需写出结论)； (3)在(2)的条件下，问：是否存在实数m，n且m<n，使得函数g(x)在区间[m，n]上的值域为[loga(an)，loga(am)]？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由． 解：(1)f(x)为奇函数．证明如下： 由>0，得x<－3或x>3， 即函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞)，关于原点对称， f(－x)＝loga＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (2)由题意知，g(x)＝＝，由>0，解得x<0或x>6， 即g(x)的定义域为(－∞，0)∪(6，＋∞)， 又函数y＝＋1在(－∞，0)，(6，＋∞)上单调递增， 当0<a<1时，g(x)在(－∞，0)，(6，＋∞)上单调递减， 此时g(x)的减区间为(－∞，0)，(6，＋∞)，无增区间； 当a>1时，g(x)在(－∞，0)，(6，＋∞)上单调递增， 此时g(x)的增区间为(－∞，0)，(6，＋∞)，无减区间． (3)由loga(an)<loga(am)，m<n，得0<a<1， 又an>0，am>0，得m>0，n>0，所以6<m<n. 所以g(x)在(6，＋∞)上单调递减，则g(x)在[m，n]上的值域为[g(n)，g(m)]， 得即 所以m，n是方程＝ax即ax2－x＋6＝0在(6，＋∞)的两个不同的根， 则解得0 <a<. 所以存在满足题意的m，n，此时a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $