第四章 指数函数与对数函数（举一反三讲义·培优篇）高一数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数全章十三大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 指数式的给条件求值问题 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 3．（24-25高一上·江苏南京·期中）设，若，则的值是 . 4．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 5．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 题型2 指数幂等式的证明 1．（2025·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广西桂林·期末）设，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）设都是正数，且，求证：． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知，求证：3k2+2＝2m2． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证:. 题型3 解指数不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式：的解集是，则的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知，且，函数是指数函数，且． (1)求和的值； (2)求的解集． 5．（24-25高一上·全国·周测）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)求不等式的解集． 题型4 指数型函数的图象问题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图像为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间及值域； (2)若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义域为上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)写出的解析式； (3)画出函数的图像. 题型5 指数型复合函数及其应用 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 2．（24-25高一上·福建莆田·期中）若定义在上的函数的最小值为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁·期末）已知函数，若，则m的取值范围 . 4．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 5．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)若，使成立，求实数的取值范围． 题型6 带附加条件的指、对数问题 1．（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则 ． 4．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)已知，试用表示. 5．（24-25高一上·河南开封·期末）求满足下列条件的各式的值： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 题型7 运用换底公式证明恒等式 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：，求证：． 2．（24-25高一·上海·课堂例题）设均为正数，且均不为1.求证：. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 题型8 指对幂比较大小 1．（24-25高一上·云南·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，，，比较a，b，c的大小关系： ． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)，与． 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数 (1)判断并证明函数在区间上的单调性； (2)已知，试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由． 题型9 解对数不等式 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数 ，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西·阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）不等式的解集是 . 4．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知且． (1)若，解关于的方程； (2)若，求的取值范围． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； 题型10 对数型复合函数及其应用 1．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 2．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是 . 4．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数且. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求满足的的取值集合. 5．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 题型11 指数函数与对数函数的综合应用 1．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知函数，且满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，若，使得，则实数的取值范围是 . 4．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若，求实数x的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 5．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知是定义在上的奇函数，. (1)求的值及的定义域； (2)若，求的取值范围； (3)若恒成立，求的取值范围. 题型12 函数零点（方程根）个数问题 1．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（24-25高一上·陕西渭南·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有两个零点 B．若函数有四个零点，则 C．若关于的方程有四个不等实根，则 D．若关于的方程有8个不等实根，则 3．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断并用定义证明在上的单调性； (2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数若存在实数使得方程有4个不同实根，且． (1)求的取值范围； (2)求的值． 题型13 指数、对数函数模型的应用 1．（25-26高一上·全国·单元测试）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为．若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧（    ） （精确到0.1，参考数据：） A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.7小时 D．0.9小时 2．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高一上·江苏·阶段练习）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为 . 4．（24-25高一下·广东汕头·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 5．（24-25高一上·北京·期中）天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领．如果两颗恒星的亮度分别为，视星等分别为，那么 (1)已知太阳的视星等是，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是，求太阳与天狼星的亮度之比；（保留两位有效数字，） (2)如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是，距地球的距离是光年，那么．已知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表： 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序； (3)如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数全章十三大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 指数式的给条件求值问题 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【解答过程】由得，即， 故， 故 故. 故选：C. 2．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】根据题意结合指数幂运算求解. 【解答过程】因为，，所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏南京·期中）设，若，则的值是 . 【答案】 【解题思路】根据的关系先求解出的值，由此可求的值. 【解答过程】因为， 所以， 又，所以， 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）由得，进而根据分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 则． （2）因为，则， 则． 5．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【解答过程】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 题型2 指数幂等式的证明 1．（2025·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确. 【解答过程】A选项，且，故，A错误； B选项，且，故，B错误； C选项，，C错误； D选项，且，故，D正确. 故选：D. 2．（24-25高一上·广西桂林·期末）设，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】A可举出反例，BCD由指数幂的运算法则判断即可. 【解答过程】由指数幂运算法则可知：，，BC错误，D正确， 当时，，故，A错误. 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）设都是正数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】令，得到，，．由建立等量关系便得证. 【解答过程】 令，则，，． 很显然有，∴． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知，求证：3k2+2＝2m2． 【答案】证明见解析 【解题思路】由，化为2|m|2+3k2，两边平方整理利用完全平方公式即可得出． 【解答过程】证明：∵， ∴2|m|2+3k2， 两边平方可得：， 化为， ∴． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证:. 【答案】证明见解析 【解题思路】将题设中的等式化为，根据这两个等式可证． 【解答过程】证明：因为， 故， 所以， 所以， 故， ， 故． 题型3 解指数不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【解答过程】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】判断函数是定义域R上的减函数，再将不等式化为，求解即可. 【解答过程】函数的图象过第二、三、四象限，则，解得， 则函数是定义域R上的减函数， 不等式化为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 3．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式：的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】按照和分类讨论，利用指数函数单调性将不等式转化为二次不等式的求解，即可得解. 【解答过程】当时，单调递增，故等价于， 即，解得或，不符合题意； 当时，单调递减，故等价于， 即，解得，符合题意，故的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知，且，函数是指数函数，且． (1)求和的值； (2)求的解集． 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）由指数函数定义求得，再由已知函数值求得； （2）由函数的单调性解不等式． 【解答过程】（1）因为函数是指数函数， 所以，又，故解得，则， 又，则（负值舍去）． （2），它是定义在R上的减函数， 不等式化为， 所以，解得． 所以不等式的解集为． 5．（24-25高一上·全国·周测）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将点代入解析式中即可得解； （2）利用（1）中的解析式以及指数幂的运算即可求解； （3）利用指数函数的单调性可求解. 【解答过程】（1）指数函数的图象过点， ，，，； （2）由（1）知，， ，，，， ，； （3）不等式，即， 在上单调递减， ，即，解得， 不等式的解集为． 题型4 指数型函数的图象问题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【解答过程】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 2．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据函数图象的奇偶性和特殊位置的函数值排除、求解即可. 【解答过程】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，故C错误； 又因为，故D错误； 当时，，故B错误； 故选：A. 3．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断当时，的取值情况，从而可得答案. 【解答过程】的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称， 所以排除AC， 因为当时，， 所以排除D， 故选：B. 4．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间及值域； (2)若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析，答案见解析 (2) 【解题思路】（1）利用指数函数的图象与函数图象的变换即可作出的图象，再数形结合即可得到的单调区间及值域； （2）将问题转化为与的图象有两个交点，从而数形结合即可得解. 【解答过程】（1）因为的图象是由的图象向下平移两个单位而得， 而的图象是由的图象保留轴上方的图象， 再将轴下方的图象沿着轴向上翻折而得， 所以的大致图象如图， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为. （2）因为函数的图象与轴有两个不同的交点， 所以有两个零点，即与的图象有两个交点， 结合图象可知，，解得， 即实数的取值范围为. 5．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义域为上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)写出的解析式； (3)画出函数的图像. 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 【解题思路】(1)根据函数的奇偶性，进行求解即可； (2)利用函数的奇偶性，即可得解； (3)根据解析式，画出图象. 【解答过程】（1）因为是定义域为上的奇函数， 则. （2）当时，，则， 则. （3）作出图形如下图所示： 题型5 指数型复合函数及其应用 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【解题思路】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【解答过程】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B. 2．（24-25高一上·福建莆田·期中）若定义在上的函数的最小值为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】讨论和的情况，根据可求得值，进而得到解析式；根据复合函数单调性和奇偶性可得单调性，利用单调性和奇偶性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果. 【解答过程】当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意； 当时，（当且仅当时取等号）， ，解得：，， ，即为定义在上的偶函数； 当时，令，则， 在上单调递增，由复合函数单调性知：在上单调递增， 在上单调递增， 由得：，即，解得：， 不等式的解集为. 故选：A. 3．（24-25高一上·辽宁·期末）已知函数，若，则m的取值范围 . 【答案】 【解题思路】令，即可判断的奇偶性与单调性，从而将问题转化为，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【解答过程】令，则的定义域为， 且， 所以为奇函数， 又，，均在上单调递减，所以在上单调递减， 则在上单调递减，又为连续函数，所以在上单调递减， 又， 所以不等式，即， 即，即， 所以，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （2）化简函数的解析式为，设，化简，可得函数在上是减函数； （3）由于为奇函数，不等式即恒成立，再由函数在上是减函数可得恒成立，即恒成立．由判别式，解得的取值范围． 【解答过程】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且有， 故函数为奇函数. （2）证明：， 设，再由， 可得， 故函数在上是减函数. （3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数， 恒成立， 由函数在上是减函数， 可得 恒成立， 即恒成立， ，解得：， 故的取值范围为. 5．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)若，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)减函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据奇函数的定义求解； （2）由复合函数的单调性判断，并用定义证明； （3）由奇偶性变形，由单调性化简，然后分离参数转化求函数最值． 【解答过程】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即． 所以； （2）函数在上是减函数， 证明如下：由（1）可得，函数， 任取，， ， 因为，所以， 又，，所以， 即，所以函数在上是减函数； （3）因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 因为函数在上是减函数，故，即 ， 因为， 因为，所以有最大值9，所以， 故的取值范围为：． 题型6 带附加条件的指、对数问题 1．（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【解答过程】由可得：. 则 . 故选：C. 2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用对数的换底公式得，，最后利用对数的运算法则即可求解. 【解答过程】由题意有，， 所以， 故选：A. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则 ． 【答案】 【解题思路】先应用对数运算律对化简，再求解． 【解答过程】依题意，， ，所以． 故答案为：. 4．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)已知，试用表示. 【答案】(1)3 (2) 【解题思路】（1）利用对数法则计算出答案； （2）指数式化为对数式，换底公式得到，由换底公式进行化简，代入求值. 【解答过程】（1）原式 ； （2）由，得，由得， . 5．（24-25高一上·河南开封·期末）求满足下列条件的各式的值： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，利用指数运算计算得解. （2）利用对数换底公式及指数式与对数式的互化关系计算得解. 【解答过程】（1）由，，得， 所以. （2）由，得， 所以. 题型7 运用换底公式证明恒等式 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【解题思路】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【解答过程】设，显然， 则，可得， 所以. 2．（24-25高一·上海·课堂例题）设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】证明见解析 【解题思路】运用换底公式证明即可. 【解答过程】由题意，根据换底公式，，命题得证. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【解答过程】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)推广：，证明见解析． 【解题思路】（1）利用换底公式通过计算证明； （2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明． 【解答过程】（1），得证； （2）推广： 证明：． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【解题思路】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【解答过程】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 题型8 指对幂比较大小 1．（24-25高一上·云南·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指对数的运算及其性质判断大小关系. 【解答过程】由，即. 故选：D. 2．（25-26高一上·湖南·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性分别得到的范围从而判断得到结果. 【解答过程】，，， 故，，，所以. 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，，，比较a，b，c的大小关系： ． 【答案】 【解题思路】根据对数函数、指数函数的单调性，利用“1”、“0”比较大小. 【解答过程】由，，， 所以， 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)，与． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据的单调性比较出大小； （2）利用对数函数单调性和中间值比较出； （3）利用指数函数和对数函数单调性和中间值比较出大小 【解答过程】（1）因为函数在上是增函数，又，所以． （2）由于，所以． （3）因为，， 所以． 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数 (1)判断并证明函数在区间上的单调性； (2)已知，试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)增函数，证明见解析 (2)，理由见解析 【解题思路】（1）根据函数单调性的定义判断和证明即可； （2）先比较三个数的大小，再利用函数的单调性即可比较a，b，c的大小. 【解答过程】（1）函数， 任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，， 所以，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）因为，，， 所以， 由（1）可知函数在区间上是增函数， 所以，即. 题型9 解对数不等式 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数 ，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据已知函数值及对数的运算性质求得，不等式化为，利用对数函数的单调性解不等式求解. 【解答过程】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以 ，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 故选：A. 2．（24-25高一下·陕西·阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的奇偶性结合给定区间上的函数解析式，确定函数的单调性，借助于特殊值替代，利用单调性即可求解抽象不等式. 【解答过程】因为当时，，则，且函数在上单调递增， 则由可得，利用函数的单调性可得； 又是定义在R上的奇函数，故； 当时，，则，因，则， 函数在上单调递增且， 则由可得，利用单调性可得. 综上可得，不等式的解集是. 故选：A. 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）不等式的解集是 . 【答案】 【解题思路】根据题意，由对数函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【解答过程】不等式可转化为， 由对数函数单调性可得， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知且． (1)若，解关于的方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或. (2) 【解题思路】（1）利用对数运算将方程进行化简，然后将视作为整体，解方程即可； （2）根据函数单调性的情况，分情况讨论求解实数a的取值范围. 【解答过程】（1）时，， ， 方程，即，化简得， 所以或，解得或. （2）， ①当时，函数在上单调递减， 故，解得：，此时； ②当时，函数在上单调递增， 故，解得：， 综上可得的取值范围为. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用待定系数法解方程计算即可； （2）利用对数函数的性质解不等式即可. 【解答过程】（1）∵函数的图象过原点， 又 即，解得， 所以的值为2，的值为﹣2． （2）由（1）可知，， 所以不等式为，即， 即不等式的解集为 题型10 对数型复合函数及其应用 1．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【答案】C 【解题思路】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【解答过程】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析函数的对称性及其在区间上的单调性，即可得出、、的大小关系. 【解答过程】对任意的，，所以，函数的定义域为， ， 所以，函数的图象关于直线对称， 当时，， 函数在上为增函数， 因为内层函数在上为增函数，外层函数为减函数， 所以，函数在上为减函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，， ，且， 因为，，则， 所以，，同理可得， 故， 所以，，即， 故选：A. 3．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】先根据偶函数定义得是偶函数，再根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，从而利用单调性将不等式转化为，根据和分别求解a的范围，最后求交集即可. 【解答过程】对于函数，因为， 所以恒成立，其定义域为R， 又， 且， 所以为R上的偶函数. 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以等价于，即，即. 当时，恒成立，所以； 当时，恒成立，所以. 综上，. 故答案为：. 4．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数且. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求满足的的取值集合. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3). 【解题思路】（1）根据对数的真数大于零，可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域； （2）利用函数奇偶性的定义可得出结论； （3）由求出的值，可得出函数的解析式，分析函数的单调性，结合可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）对于函数且， 由解得，故函数的定义域为. （2）函数为偶函数.理由如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，故函数为偶函数. （3）依题意， 若，则，解得. 设，， 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又在其定义域内单调递增， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为，所以，解得， 所以的取值集合为. 5．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【解题思路】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【解答过程】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 题型11 指数函数与对数函数的综合应用 1．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】已知时，根据指数和对数函数的性质可知在上单调递增，根据零点讨论的范围，得出当时，；根据函数的奇偶性，即为定义在上的奇函数，得出当时，，合并确定不等式的解集. 【解答过程】当时，，易得在上单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 又为定义在上的奇函数， 所以当时，，当时，，当或时，. 综上，不等式的解集为. 故选：A. 2．（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知函数，且满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，探讨函数的及单调性，再利用此性质求解不等式. 【解答过程】依题意，，函数的定义域为， ， 函数是奇函数，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，又函数在上单调递增， 于是函数在上单调递增，因此函数在上单调递增， 不等式， 则，即，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：C. 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，若，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】利用单调函数来求值域，再利用等式恒成立来研究值域的包含关系，从而可求参数范围. 【解答过程】由在区间单调递增，可知此时函数值域为， 再由， 当时，可知在区间上单调递增，所以此时函数值域为， 因为，使得， 所以有， 即，解得， 由于此时，所以有， 当时，可知在区间上单调递减，所以此时函数值域为， 因为，使得， 所以有， 即，解得， 由于此时，所以有， 当时，可知， 因为，所以对，总能使得， 即，满足题意， 综上所述可得：的取值范围是. 故答案为：. 4．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若，求实数x的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【解答过程】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. （2）由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 （3）由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 5．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知是定义在上的奇函数，. (1)求的值及的定义域； (2)若，求的取值范围； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）利用求得，，再用奇偶性定义检验，代入即可求出函数的定义域； （2）利用（1）已得，代入不等式，利用对数函数的单调性即可求出的取值范围； （3）将函数的解析式化简整理成，令，故，令，判断其单调性得，即得，从而有，利用对数函数单调性即得的取值范围. 【解答过程】（1）为上的奇函数，故解得， 又，解得， 当，时，， 由可得：是奇函数. 此时，由，得， 故的定义域为. （2）由可得，，故， 即，故的取值范围是. （3） 由的解析式可知，故， 令，故，令， 不妨设，则 ， 故，所以在上单调递增， 故， ， 故，解得. 即的取值范围是. 题型12 函数零点（方程根）个数问题 1．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解题思路】先利用零点和根的关系得到或，然后再利用函数的零点和函数交点的关系求零点的个数即可. 【解答过程】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点． 故选：C． 2．（24-25高一上·陕西渭南·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有两个零点 B．若函数有四个零点，则 C．若关于的方程有四个不等实根，则 D．若关于的方程有8个不等实根，则 【答案】D 【解题思路】分析函数的性质，作出函数图象，再结合图象与性质逐项判断即得. 【解答过程】函数的图象关于直线对称，函数的图象开口向下，关于直线对称， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增，当时，单调递减， 函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，     观察图象知，函数的图象与直线有3个公共点，因此函数有3个零点，A错误； 函数的零点，即方程的根，亦即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有4个公共点， 因此函数有四个零点，则，B错误； 关于的方程有四个不等实根，不妨设， 显然有，因此，C错误； 令，由选项B知，当且仅当时，方程有4个不等实根， 要关于的方程有8个不等实根， 则当且仅当方程在上有2个不相等的实数根，令这两个实根为，， 且，，则， 由，得，而当时，的两根相等，不符合题意， 所以的取值范围是，D正确. 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】画出函数的图象，问题转化为函数的图象与直线有四个不同的交点，利用数形结合思想、化归思想，利用对钩函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】函数与直线的图象如下图所示： 因为方程有四个不同根， 所以函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图可知：， 因为二次函数的对称轴为， 所以， 由及图象可得， 因为， 所以由 ， 因为，所以， 于是， 由对勾函数的单调性可知函数在时，单调递减， 所以有， 所以的取值范围是， 故答案为：. 4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断并用定义证明在上的单调性； (2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据函数的单调性定义即可证明； （2）令可得或.由函数零点与方程根的关系结合函数的图象即可求解. 【解答过程】（1）在上单调递增. 证明如下：当时，.设， 则. 因为，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）的图象如图所示. 因为函数恰有4个零点， 所以方程恰有4个解. 即或共有4个解. 由图知，且或或， 解得或或， 即实数的取值范围为. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数若存在实数使得方程有4个不同实根，且． (1)求的取值范围； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合函数图像，即可求出的取值范围； （2）是方程的两根，则有，即，是方程的两根，根据韦达定理得，进而可求的值． 【解答过程】（1）由，得，作出的大致图象， 如图所示， 结合图像可知的取值范围是． （2）由知，是方程的两根，所以， 故，即； 又是方程的两个根，即方程的两个根， 所以，所以． 题型13 指数、对数函数模型的应用 1．（25-26高一上·全国·单元测试）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为．若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧（    ） （精确到0.1，参考数据：） A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.7小时 D．0.9小时 【答案】A 【解题思路】依据题给条件列出关于时间的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数. 【解答过程】设使得血氧饱和度达到，给氧时间至少还需要（t－1）小时， 由题意可得， 即， 两边同时取自然对数并整理，得 ， ， 则， 则给氧时间至少还需要0.5小时． 故选：A. 2．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解题思路】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可. 【解答过程】设原始状态信道容量为，提升后信道容量为， 由题意可得，即，解得， 同理，即，解得， 所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏·阶段练习）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为 . 【答案】 【解题思路】根据题意得出函数关系，求出h，然后即可得出答案. 【解答过程】由题得， ，代入得，解得， 所以，当时，解得， 即降温到，需要的时长为 . 故答案为：. 4．（24-25高一下·广东汕头·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 【答案】(1)10 (2) 【解题思路】（1）先利用声强级和声强的计算公式结合已知条件求出，再根据对数的运算性质求解即可； （2）根据对数函数的单调性求解即可. 【解答过程】（1）解法1： 依题意可知当时，，即，解得， 若声强级增加，即， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． 解法2： 依题意可知当时，，即，解得， 所以，则 若声强级增加，则， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． （2）显然在上单调递增， 当时，， 当时，， 所以李明早读时读书的声强级范围为（单位：）． 5．（24-25高一上·北京·期中）天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领．如果两颗恒星的亮度分别为，视星等分别为，那么 (1)已知太阳的视星等是，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是，求太阳与天狼星的亮度之比；（保留两位有效数字，） (2)如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是，距地球的距离是光年，那么．已知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表： 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序； (3)如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？ 【答案】(1) (2)天狼星、牛郎星、织女星 (3)该恒星距地球的距离大于光年（答案不唯一，符合题意即可） 【解题思路】（1）由题意可得：，结合题意圆求解即可； （2）整理可得，结合题意分析求解即可； （3）根据题意可得，进而分析即可. 【解答过程】（1）设太阳、天狼星的视星等是，亮度分别为， 由题意可知：，可得， 所以太阳与天狼星的亮度之比为. （2）因为，可得， 则随着增大而增大， 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 由表可知：由小到大依次为：天狼星、牛郎星、织女星， 所以这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序为：天狼星、牛郎星、织女星. （3）若一颗恒星的视星等大于绝对星等，则， 可知， 所以该恒星距地球的距离大于光年. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $