章末过关检测卷(二) 一元二次函数、方程和不等式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

章末过关检测卷(二)　一元二次函数、方程和不等式 (用时：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设全集U为实数集R，已知集合M＝{x|x2－4>0}，N＝{x|x2－4x＋3<0}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　 ) A．{x|x<－2} B．{x|x>3} C．{x|1≤x≤2} D．{x|x≥3，或x<－2} 解析：选D.M＝{x|x2－4>0}＝{x|x>2，或x<－2}，N＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}， 又图中阴影部分所表示的集合是(∁UN)∩M，而∁UN＝ {x|x≥3，或x≤1}， 即(∁UN)∩M＝{x|x≥3，或x<－2}． 2．若a，b，c为实数，则下列命题错误的是(　　 ) A．若ac2>bc2，则a>b B．若a<b<0，则a2<b2 C．若a>b>0，则< D．若a<b<0，c>d>0，则ac<bd 解析：选B.对于A，若ac2>bc2，则c2>0，∴a>b，A正确； 对于B，当a<b<0时，a2>b2，B错误； 对于C，当a>b>0时，<，C正确； 对于D，当a<b<0，c>d>0时，ac<ad，ad<bd，即ac<bd，D正确． 3．设x∈R，则“x<3”是“x(x－2)<0”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.由x(x－2)<0得0<x<2，故“x<3”是“x(x－2)<0”的必要不充分条件． 4．关于x的不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　 ) A．{x|1<x<3} B．{x|－1<x<3} C．{x|x<－1，或x>3} D．{x|x<1，或x>3} 解析：选C.不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，故a>0，a＝b，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)>0，即(x＋1)(x－3)>0，故解集是{x|x<－1，或x>3}． 5．已知集合A＝{x∈R|x2－3x－4≤0}，B＝{x∈R|x≤a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围为(　　 ) A．{a|a>4} B．{a|a≥4} C．{a|a<4} D．{a|a≤4} 解析：选B.对于集合A，x2－3x－4＝(x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤4.由于A∪B＝B，所以A⊆B，故a≥4. 6．已知一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为{x|－1<x<2}，则b－c＋的最大值为(　　 ) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析：选A.因为一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为{x|－1<x<2}， 所以则 所以b－c＋＝－a＋2a＋＝a＋＝－[(－a)＋]≤－2＝－4， 当且仅当－a＝－(a<0)时，即当a＝－2时，等号成立． 因此，b－c＋的最大值为－4. 7．若两个正实数x，y满足2x＋y＝1且存在这样的x，y使不等式＋<m2＋2m有解，则实数m的取值范围是(　　 ) A．{m|m<－4，或m>2} B．{m|－2<m<4} C．{m|m<－2，或m>4} D．{m|－4<m<2} 解析：选A.由题意，＋＝(＋)(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即y＝，x＝时等号成立．故若存在这样的x，y使不等式＋<m2＋2m有解，即m2＋2m>8⇔(m－2)(m＋4)>0⇔m>2或m<－4. 8．设|a|<1，则＋的最小值为(　　 ) A．2 B．－ C．1 D．＋ 解析：选D.∵|a|<1，则1－a>0，1＋a>0， ∴＋＝(＋)(1－a＋1＋a)＝[3＋＋]≥(3＋2)＝(3＋2)＝＋， 当且仅当＝，即a＝3－2时，等号成立． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．若a，b，c为实数，则下列命题不正确的是(　　 ) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a<b<0，则a2>ab>b2 C．若a<b<0，则< D．若a<b<0，则> 解析：选ACD.A选项中，若c＝0，则ac2＝bc2，故不成立； B选项中，a<b<0，在a<b中两边同时乘以a(a<0)，得a2>ab，若两边同时乘以b，得ab>b2，故a2>ab>b2，成立； C选项中，在a<b两边同时除以ab(ab>0)，可得<，不成立； D选项中，令a＝－2，b＝－1，则有＝＝2，＝，<，不成立． 10．已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1，或x>3}，则下列结论正确的是(　　 ) A．a<0 B．c<0 C．a＋b＋c>0 D．cx2－bx＋a<0的解集为{x|－<x<1} 解析：选ACD.因为ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1，或x>3}，所以不等式对应的二次函数图象开口向下，所以a<0，A正确； 且－1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以－1＋3＝－，－1×3＝，即b＝－2a，c＝－3a>0，B错误； a＋b＋c＝a－2a－3a＝－4a>0，C正确； cx2－bx＋a<0即为－3ax2＋2ax＋a<0，不等式两边同除以－a得3x2－2x－1<0，解得－<x<1，所以cx2－bx＋a<0的解集为{x|－<x<1}，D正确． 11．下列说法正确的是(　　 ) A．x＋的最小值为2 B．x2＋1的最小值为1 C．3x(2－x)的最大值为3 D．x2＋最小值为2－2 解析：选BC.对于A，当x<0时，x＋<0，故选项A错误； 对于B，因为x2＋1≥1，即x2＋1的最小值为1，故选项B正确； 对于C，因为3x(2－x)＝－3(x－1)2＋3≤3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以3x(2－x)的最大值为3，故选项C正确； 对于D，因为x2≥0，所以x2＋2≥2>0，所以x2＋＝(x2＋2)＋－2≥2－2＝2－2，当且仅当x2＋2＝，即(x2＋2)2＝3时，等号成立，因为x2＋2≥2，所以(x2＋2)2≥4，即(x2＋2)2＝3不成立，故等号不成立，所以x2＋最小值不为2－2，故选项D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．函数y＝x＋(x>2)的最小值是________． 解析：因为x>2，所以x－2>0， 所以y＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时取等号， 所以函数y＝x＋(x>2)的最小值是6. 答案：6 13．若a<b，d<c，并且(c－a)(c－b)<0，(d－a)(d－b)>0，则a，b，c，d由小到大的顺序排列是________． 解析：由a<b且(c－a)(c－b)<0，则a<c<b，由a<b且(d－a)(d－b)>0，则d>b或d<a， 综上，结合d<c，故d<a<c<b. 答案：d<a<c<b 14．若对∀x∈R，∃a>0，使得x2＋ax－a2≥x－am＋1成立，则实数m的取值范围为________． 解析：由x2＋ax－a2≥x－am＋1，得x2＋(a－1)x－a2＋am－1≥0. 由题意可得∃a>0，使得(a－1)2＋4(a2－am＋1)≤0成立， 即∃a>0，使得m≥＋－成立． ＋－≥2－＝2，当且仅当a＝1时等号成立，故m≥2. 答案：{m|m≥2} 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)(1)比较3x2－x＋1与2x2＋x－1的大小； (2)已知c>a>b>0，求证：>. 解：(1)由(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0， 可得3x2－x＋1>2x2＋x－1. (2)－＝＝， ∵c>a>b>0，∴a－b>0，c－a>0，c－b>0， ∴>0，∴>. 16．(15分)(1)已知x>，求x＋的最小值﹔ (2)已知x>0，y>0，且＋＝1，求3x＋y的最小值． 解：(1)x＋＝(3x－2)＋＋≥2＋＝， 当且仅当(3x－2)＝，即x＝时等号成立，所以x＋的最小值为. (2)3x＋y＝(3x＋y)(＋)＝9＋＋≥9＋2＝9＋6， 当且仅当＝，即x＝2＋，y＝3＋3时等号成立． 所以3x＋y的最小值为9＋6. 17．(15分)已知关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax. (1)a＝1，求不等式的解集； (2)a∈R，求不等式的解集． 解：(1)当a＝1时，ax2 －2≥2x－ax可化为x2－2≥2x－x， 即x2－x－2≥0，即(x＋1)(x－2)≥0，解得x≤－1或x≥2， 所以当a＝1时，ax2－2≥2x－ax的解集为{x|x≤－1，或x≥2}． (2)ax2－2≥2x－ax可化为ax2＋(a－2)x－2≥0， 当a＝0时，不等式可化为－2x－2≥0，则x≤－1； 当a≠0时，不等式可化为(ax－2)(x ＋1)≥0， 当a>0时，不等式进一步化为(x－)(x＋1)≥0，所以x≥或x≤－1； 当a<0时，不等式进一步化为(x－)(x＋1)≤0， 当－2<a<0时，<－1，所以≤x≤－1； 当a＝－2时，＝－1，所以x＝－1； 当a<－2时，>－1，所以－1≤x≤； 综上，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，不等式的解集为{x|x≥，或x≤－1}； 当－2<a<0时，不等式的解集为{x|≤x≤－1}； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，不等式的解集为{x|－1≤x≤}． 18．(17分)国际上钻石的质量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其质量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元． (1)写出钻石的价值y关于钻石质量x的关系式； (2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的质量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m＝n时，价值损失的百分率最大． (注：价值损失的百分率＝ ×100%；在切割过程中的质量损耗忽略不计) 解：(1)由题意可设价值与质量的关系式为y＝kx2， 因为3克拉的钻石的价值是54 000美元， 所以54 000＝k·32，解得k＝6 000， 所以钻石的价值与质量的关系式为y＝6 000x2. (2)证明：两颗钻石的质量分别为m，n克拉，则原有价值是6 000(m＋n)2， 现有价值是6 000m2＋6 000n2， 价值损失的百分率为×100%＝×100%≤＝， 当且仅当m＝n时，等号成立． 所以当m＝n时，价值损失的百分率最大． 19．(17分)某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求x3－3x(x>0)的最小值． 解：利用基本不等式a＋b＋c≥3(a，b，c>0)，得到x3＋1＋1≥3x，于是x3－3x＝x3＋1＋1－3x－2≥3x－3x－2＝－2， 当且仅当x＝1时，取到最小值－2. (1)老师请你模仿例题，研究x4－4x(x>0)的最小值；(提示：a＋b＋c＋d≥4(a ，b, c，d>0)) (2)研究x3－3x(x>0)的最小值； (3)当a>0时，求x3－ax(x>0)的最小值． 解：(1)由x>0，结合提示可得x4＋1＋1＋1≥4＝4x，当且仅当x＝1时取等号， 所以x4－4x＝x4＋1＋1＋1－4x－3≥4x－4x－3＝－3， 当且仅当x＝1时，等号成立， 所以当x＝1时，x4－4x(x>0)取最小值，最小值为－3. (2)由x>0，x3＝x3＋3＋3－6≥3－6＝3x－6， 当且仅当x＝3时等号成立， 所以x3－3x≥－6，当且仅当x＝3时，等号成立， 所以x3－3x(x>0)的最小值为－6. (3)由a>0，x>0，知x3＝x3＋＋－≥3－＝ax－， 当且仅当x3＝时，即x＝时，等号成立， 所以x3－ax≥－，当且仅当x＝时，等号成立， 所以当x＝时，x3－ax(x>0)取到最小值，最小值为. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 学科网（北京）股份有限公司 $