第一章 专题突破（一）集合与逻辑中的参数问题-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学集合与逻辑中的含参问题，系统梳理元素与集合关系、集合包含关系、集合运算、充分必要性及命题真假五类求参方法，构建从基础应用到综合拓展的学习支架。 资料以高考易错点（端点值取舍、空集考虑、元素互异性）为切入点，通过分类讨论培养逻辑推理能力（数学思维），结合例题解析与分层练习，课中助力教师突破教学难点，课后帮助学生查漏补缺，提升解决复杂问题的数学应用意识。

1．从近几年高考命题看，考查力度基本持平，相关的题目往往有一定的难度，关键是分类讨论这种思想的理解和应用． 2．集合中的含参问题是一种较难的问题，也是容易出错的题型．其要点在于不能正确判断端点值能否取到，忘记考虑空集这一情况． 3．往往与集合元素的性质、函数、解不等式相结合，有时以小题的形式出现，有时渗透于解答题之中． 突破一　根据元素与集合的关系求参数 根据元素与集合的关系求参数的关键是对所求的结果进行检验，即检验是否满足集合元素的互异性． (多选)已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，1＋2a}，－3∈A，则a的值为(　　 ) A．－1 B．－ C．1 D．－2 解析：选BD.因为集合A＝{a－2，2a2＋5a，1＋2a)，又－3∈A，所以－3＝a－2或－3＝2a2＋5a或－3＝1＋2a，解得a＝－1或a＝－或a＝－2. 当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，则a＝－1舍去； 当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，1＋2a＝－2，满足题意； 当a＝－2时，a－2＝－4，2a2＋5a＝－2，1＋2a＝－3，满足题意． 突破二　根据集合的包含关系求参数的取值范围 由集合包含关系求参数的取值范围问题的关键是不能忽视空集的情况，否则容易产生漏解． 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若B⊆A，求实数a取值范围． 解：易得集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}．要使B⊆A，需要对集合B进行分类讨论． 当B＝∅时，由Δ＝16－4a<0，解得a>4； 当B＝{1}时，由可知a无实数解； 当B＝{2}时，由解得a＝4； 当B＝{1，2}时，由可知a无实数解． 综上可得，a≥4，即满足B⊆A的实数a的取值范围是{a|a≥4}． 突破三　集合基本运算中的含参问题 一般通过观察得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组求解，要注意对求解结果进行检验，防止违背集合中元素有关特性，尤其是互异性． 已知集合A＝{x|x>2，或x<0}，B＝{x|a<x<a＋1}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是(　　 ) A．0≤a≤1 B．－1≤a≤0 C．0<a<1 D．－1<a<1 解析：选A.因为A＝{x|x>2，或x<0}，B＝{x|a<x<a＋1}，A∩B＝∅，所以a≥0且a＋1≤2，解得0≤a≤1. 突破四　根据充分必要性求参数 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 已知p：关于x的方程x2－2ax＋a2＋a－1＝0有实数根，q：m－1≤a≤m＋3. (1)若命题p是假命题，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：(1)因为命题p是假命题，则命题p是真命题， 即关于x的方程x2－2ax＋a2＋a－1＝0有实数根， 因此Δ＝4a2－4(a2＋a－1)≥0，解得a≤1， 所以实数a的取值范围是a≤1. (2)由(1)知，命题p是真命题，即p：{a|a≤1}， 因为命题p是命题q的必要不充分条件，则{a|m－1≤a≤m＋3}{a|a≤1}， 因此m＋3≤1，解得m≤－2， 所以实数m的取值范围是m≤－2. 突破五　根据命题真假求参数 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin). (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax). 若命题“∀x∈R，x2－2x＋m≠0”为假命题，求实数m的取值范围． 解：由题意可知，原命题的否定“∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0”为真命题，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实根，所以Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以实数m的取值范围为{m|m≤1}． [课后分层练(九)]　集合与逻辑中的参数问题 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知集合A＝{－1，a}，B＝{－1，0，a2－a}，且A∪B＝B，则a＝(　　 ) A．1 B．0 C．2 D．0或2 解析：选C.由A∪B＝B，知A⊆B， 当a＝0时，a2－a＝0，B集合中出现重复元素，故不满足题意； 当a＝a2－a时，a＝0(舍)或a＝2，此时A＝{－1，2}，B＝{－1，0，2}，满足题意． 综上所述，a＝2. 2．已知A＝{1，x，y}，B＝{1，x2，2y}，若A＝B，则x－y＝(　　 ) A．0 B．1 C． D． 解析：选C.因为A＝B，所以或解得或或又集合中的元素需满足互异性，所以则x－y＝－＝. 3．已知集合M＝{x|－1<x<2}，N＝{a}，若M∩N≠∅，则a可能是(　　 ) A．－3 B．0 C．3 D．6 解析：选B.因为M∩N≠∅，所以－1<a<2. 4．(2025·福建福州模拟)已知集合A＝{1，3，}，B＝，则“m＝3”是“A∪B＝A”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.①若m＝3，则A＝{1，3，}，B＝，A∪B＝{1，3，}＝A， 所以“m＝3”是“A∪B＝A”的充分条件； ②若A∪B＝A，则m＝3或m＝，解得m＝3或m＝0或m＝1. 当m＝3时，A＝，B＝{1，3}，A∪B＝＝A，符合题意； 当m＝0时，A＝，B＝{1，0}，A∪B＝＝A，符合题意； 当m＝1时，A＝，B＝{1，1}，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去， 所以m＝3或m＝0，所以“m＝3”是“A∪B＝A”的不必要条件， 所以由①②可知，“m＝3”是“A∪B＝A”的充分不必要条件． 5．(多选)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有(　　 ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：选BCD.因为集合A仅有2个子集，所以集合A中仅有一个元素， 当a＝0时，2x＝0，所以x＝0，所以A＝{0}，满足要求； 当a≠0时，因为集合A中仅有一个元素，所以Δ＝4－4a2＝0，所以a＝±1，此时A＝{1}或A＝{－1}，满足要求． 6．已知集合A＝{2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，则实数a的值为___________． 解析：若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A＝{2，1，3}，符合元素的互异性； 当a＝－2时，A＝{2，1，1}，不符合元素的互异性，舍去 若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2， 当a＝－1时，A＝{2，0，1}，符合元素的互异性； 当a＝－2时，A＝{2，1，1}，不符合元素的互异性，舍去． 答案：－1或0 7．已知集合A＝{1，2}，B＝{－a，a2＋3}．若A∪B＝{1，2，4}，则实数a＝______． 解析：因为A∪B＝{1，2，4}，故4必定在B＝{－a，a2＋3}中， 当a2＋3＝4时，解得a＝1或a＝－1， a＝1时，集合B＝{－1，4}，不满足A∪B＝{1，2，4}，故舍去， a＝－1时，集合B＝{1，4}，满足A∪B＝{1，2，4}，符合题意． 当－a＝4时，解得a＝－4，此时B＝{4，19}，不满足A∪B＝{1，2，4}，故排除， 综上a＝－1，即实数a的值为－1. 答案：－1 8．若命题“∃x∈R，x2－mx＋9<0”为假命题，则m的取值范围是________． 解析：因为命题“∃x∈R，x2－mx＋9<0”为假命题， 所以命题“∀x∈R，x2－mx＋9≥0”为真命题， 所以Δ＝(－m)2－4×9≤0， 解得－6≤m≤6， 所以m的取值范围是－6≤m≤6. 答案：－6≤m≤6 9．已知集合A＝{x|ax2－2x＋1＝0，a∈R}． (1)若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围； (2)若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值． 解：(1)因为集合A的子集只有一个，则A＝∅，即方程ax2－2x＋1＝0无实数根， 于是得即解得a>1， 所以实数a的取值范围为a>1. (2)因为集合A中有且只有一个元素，则方程ax2－2x＋1＝0只有一个实数根或者两个相等实根， 当a＝0时，集合A＝{x|－2x＋1＝0}＝{}满足题意，则a＝0， 当a≠0时，则Δ＝4－4a＝0，a＝1，集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}满足题意，即a＝1， 所以实数a的值为0或1. 10．已知集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤3m－1}． (1)当m＝2时，求集合A∩B； (2)若B⊆A，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝2时，集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|3≤x≤5}， 故A∩B＝{x|3≤x≤5}． (2)当B＝∅时，m＋1>3m－1，即m<1，满足B⊆A，故m<1满足题意； 当B≠∅时，m＋1≤3m－1，即m≥1时，解得－4≤m≤2， 于是得1≤m≤2，所以m≤2， 故实数m的取值范围是m≤2. 【综合运用】 11．(多选)若集合{x|ax2＋x＋a＝0}＝{x|x－b＝0}，则b的值可能为(　　 ) A．－1 B．0 C． D．1 解析：选ABD.根据题意，得ax2＋x＋a＝0只有一个实数根， 当a＝0时，ax2＋x＋a＝0化为x＝0，所以b＝0. 当a≠0时，Δ＝1－4a2＝0，则a＝±. 若a＝，则ax2＋x＋a＝0的解集为{－1}，所以b＝－1； 若a＝－，则ax2＋x＋a＝0的解集为{1}，所以b＝1. 12．已知集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x＝t2－a，t∈A}．若a＝0，则A∩B＝________；若A⊆B，则实数a的取值范围是________． 解析：当a＝0时，B＝{x|x＝t2，t∈A}＝{x|0≤x<4}， 故A∩B＝{x|0≤x<1}． 当－2<t<1时，－a≤x＝t2－a<4－a， 由A⊆B，得解得2≤a≤3. 答案：{x|0≤x<1}　2≤a≤3 13．已知命题p：“至少存在一个实数x(1≤x≤2)，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求实数a的取值范围． 解：命题p的否定为：“∀1≤x≤2，x2＋2ax＋2－a≤0成立”， 设y＝x2＋2ax＋2－a(1≤x≤2)， 由题意，有解得a≤－3， 因为命题p的否定为假命题， 所以a>－3，即a的取值范围是{a|a>－3}． 14．(思维提升)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0，或x≥4}，B＝{x|a<x－1<2a－2}． (1)若∁UA⊆∁UB，求实数a的取值范围； (2)若(∁UA)∩B≠B，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意，得B＝{x|a＋1<x<2a－1}． ∵∁UA⊆∁UB，∴B⊆A. 当B＝∅，即a＋1≥2a－1，即a≤2时，符合题意； 当B≠∅，即a>2时，由B⊆A，得a＋1≥4或2a－1≤0，得a≥3. 综上，实数a的取值范围为a≤2或a≥3. (2)∁UA＝{x|0<x<4}，若(∁UA)∩B＝B，则B⊆∁UA. 当B＝∅，即a≤2时，符合题意； 当B≠∅时，需满足解得2<a≤. ∴当(∁UA)∩B＝B时，a≤. ∴当(∁UA)∩B≠B时，a>，即实数a的取值范围为a>. 【创新探索】 15．(2025·山西晋中模拟)已知命题p：∀x∈，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，ax2＋3x－1＝0. (1)若命题p的否定为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p和q有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围． 解：(1)因为命题p的否定为真命题，即∃x∈，x2－a<0为真命题， 即∃x∈，a>x2，由于x2∈[4，9]，故a>4. (2)命题p：∀x∈，x2－a≥0为真命题时， 由于x2∈[4，9]，则此时a≤x2恒成立，故a≤4. 命题q：∃x∈R，ax2＋3x－1＝0为真命题时， a＝0时，x＝，符合题意； a≠0时，Δ＝9＋4a≥0，即a≥－，此时a≥－且a≠0； 综上，a≥－. 所以当p真q假时，a<－；当p假q真时，a>4. 学科网（北京）股份有限公司 $