第四章 章末总结（四）指数函数与对数函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

该高中数学讲义通过知识框架图与对比表格系统梳理指数对数函数单元，涵盖运算性质、图象应用、性质综合及零点问题，按“基础运算-图象分析-性质应用-综合拓展”递进呈现，用表格明确指数对数运算规则与解题通法，厘清知识内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计与数学思维培养，如结合图象求4a+b最小值的例题渗透直观想象与逻辑推理，证明函数单调性题强化推理能力。基础题巩固运算，高考真题提升综合应用，助力不同层次学生发展，教师可据此实施精准教学，提升复习效率。

题型一　指数、对数的运算 指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等，会利用运算性质进行化简、计算、证明． 例1　(2025·浙江宁波期中)计算： －log3＋2log32－3π0＋log38； (2)lg22＋lg 2lg 5＋lg 5－log23·log35·log58. 解：(1)原式＝－log325＋log39＋2log32－3＋3log32＝3－5log32＋2＋2log32－3＋3log32＝2. (2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5－＝lg 2＋lg 5－＝1－3＝－2. 类题通法 (1)指数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算。 (2)对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.(1)已知10m＝2，10n＝2，求的值； (2)已知lg 2＝a，lg 3＝b，试用a，b表示lg . 解：＝1. (2)lg ＝lg 25－lg 18＝lg 52－lg (32×2)＝2lg 5－lg 32－lg 2＝2lg －2lg 3－lg 2＝2(lg 10－lg 2)－2lg 3－lg 2＝2lg 10－2lg 2－2lg 3－lg 2＝2－3a－2b. 题型二　指数、对数的图象及其应用 掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养． 例2　已知函数f(x)＝|log3x|，若b>a>0，且a，b是f(x)的图象与直线y＝m(m>0)的两个交点对应的横坐标，则4a＋b的最小值为(　　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选B.根据题意画出图象如下图所示： 易知|log3a|＝|log3b|＝m，又b>a>0，可知b>1>a>0， 所以－log3a＝log3b，即log3a＋log3b＝0，∴ab＝1， 所以4a＋b＝＝4， 当且仅当b＝2时，等号成立，即4a＋b的最小值为4. 类题通法 　 指数函数、对数函数的图象及应用的两个方面 (1) 已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”； (2)判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是(　　 ) 解析：选B.由函数f(x)＝loga(x＋b)的图象为减函数可知，0<a<1， 再由图象的平移变换知，f(x)＝loga(x＋b)的图象由f(x)＝logax向左平移不超过一个单位，可知0<b<1， 故函数g(x)＝ax＋b的图象递减，且1<g(0)＝1＋b<2，则符合题意的只有B中图象． 题型三　指数对数函数性质的综合 以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围． 例3　(2025·福建厦门期中)已知函数f(x)＝＋1为奇函数．(e为常数，e≈2.718…) (1)求a的值及函数的值域； (2)用函数单调性的定义证明函数f(x)在R上是增函数； (3)求不等式f(4－x)＋f(4－5×2－x)≤0的解集． 解：(1)函数f(x)＝＋1是奇函数，其定义域为R， 则f(0)＝＋1＝0，解得a＝－2，于是f(x)＝， f(－x)＝＝－f(x)，函数f(x)为奇函数，所以a＝－2； 由ex＋1>1，得－2<－<0，因此－1<＋1<1， 所以函数f(x)的值域为(－1，1)． (2)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝， 由x1<x2，得，则＋1>0， 于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数在R上是增函数． (3)函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是增函数， 则f(4－x)＋f(4－5×2－x)≤0⇔f(4－x)≤－f(4－5×2－x)＝f(5×2－x－4)， 于是(2－x)2≤5×2－x－4，整理得(2－x－1)(2－x－4)≤0， 解得1≤2－x≤4，即0≤－x≤2，解得－2≤x≤0， 所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤0}． 类题通法 　　　 对于指数函数和对数函数，注意底数a对函数单调性的影响；对于幂函数y=, 注意指数α对函数单调性的影响。根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 3.(1)(2025·江苏镇江开学考试)设a＝2log32，b＝log23，c＝，则a，b，c的大小顺序为(　　 ) A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>c>a 解析：选D.∵3a＝6log32＝log364<log381＝4， 3b＝3log23＝log227>log216＝4，又3c＝4， ∴3a<3c<3b，即b>c>a. (2)若f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上为增函数，则g(x)＝loga(x2＋2x－3)的单调递增区间为(　　 ) A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－∞，1) 解析：选B.函数y＝ax与y＝在R上有相同的单调性，即函数f(x)＝ax－a－x与函数y＝ax在R上有相同的单调性， 因此函数y＝ax在R上单调递增，a>1，在g(x)＝loga(x2＋2x－3)中，x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1， 显然函数y＝x2＋2x－3 在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以函数g(x)＝loga(x2＋2x－3)的单调递增区间为(1，＋∞)． 题型四　函数的零点与方程的根 函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用了转化思想，把零点问题转化成函数与x轴的交点以及两函数图象的交点问题． 例4　函数f(x)＝－的零点所在区间为(　　 ) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 解析：选A.函数f(x)定义域为(0，＋∞)， 因为y＝在区间(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 因为f(1)＝1－>0，f(2)＝<0， 所以f(x)的零点所在区间为(1，2)． 类题通法 (1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)=0有实数根→函数y=f(r)的图象与x轴有交点→函数y=f(r)有零点。 (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与c轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 4.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有2个零点，则实数k的取值范围是(　　 ) A．(0，＋∞) B．(0，＋∞)∪{－1} C．[0，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：选A.由题意，f(x)与y＝k有2个交点， 当x>0时，f(x)单调递增且值域为(－1，＋∞)； 当x≤0时，f(x)在(－∞，－2)上单调递减，(－2，0]上单调递增且值域为[－1，＋∞)； 所以f(x)的图象如下， 由图知当k>0时，g(x)＝f(x)－k有2个零点． 1．(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 　人教A版必修第一册P119习题4.2T6和P141习题4.4T13. 　本题型常以选择题或填空题的形式出现，要求比较多个或两个指对幂式子的大小，有时也和函数的性质、不等式等知识综合考查． 　本题主要利用指数函数、对数函数的单调性，并合理引入中间值1辅助比较，这类问题必要时还要通过对数运算法则变形或构造函数，结合函数性质来比较大小． 　 选B.因为y＝4.2x在R上递增，且－0.3<0<0.3， 所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3， 所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b， 因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上递增，且0<0.2<1， 所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0， 所以b>a>c. 2．(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数为f(x)＝在R上单调递增，则a取值的范围是(　　 ) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) 　人教A版必修第一册P120习题4.2T10、P132探究． 　该题综合了指数函数、对数函数和分段函数的性质，重点考查对不同函数单调性的理解和运用，同时涉及分段函数在分段点处函数值的衔接情况，以及根据单调性建立关于参数的不等式(组)并求解． 　 选B.因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增， 则需满足解得－1≤a≤0， 即a的范围是[－1，0]. 3．(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)为偶函数，则a＝(　　 ) A．－1 B．0 C． D．1 　人教A版必修第一册P84例6、P124例3. 　这类题型通常给出含有对数运算的函数表达式，要求判断函数的奇偶性，或者根据函数的奇偶性求参数的值、确定函数的某些性质等．综合考查对数的运算性质以及函数奇偶性的定义和性质． 　 选B.法一(定义法)：首先确定函数f(x)＝(x＋a)ln 的定义域为x≠且x≠－，关于原点对称．因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，即(x＋a)＝(－x＋a)，则x＋a＝－(－x＋a)恒成立，所以a＝0. 法二(特殊值法)：函数f(x)定义域关于原点对称，因为f(x)为偶函数，取x＝1，则f(－1)＝f(1)，即(－1＋a)ln ＝(1＋a)ln ，解得a＝0. 法三(性质法)：设g(x)＝ln ，可证g(x)是奇函数．因为f(x)＝(x＋a)g(x)为偶函数，所以y＝x＋a为奇函数，可得a＝0. 法四(验证排除法)：对于选项A，当a＝－1时，f(－1)≠f(1)，不满足f(x)为偶函数，排除该选项；同理，对于选项D，当a＝1时，f(－1)≠f(1)，排除；对于选项C，经验证也不满足f(x)为偶函数，排除． 学科网（北京）股份有限公司 $