第三章 章末总结（三）函数的概念与性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

该高中数学讲义以函数单元为核心，通过题型分类系统构建知识体系，涵盖函数的概念、图象、性质及应用四大模块。采用“例题解析+类题通法表格+迁移运用”的结构呈现知识脉络，用函数图象图示辅助理解，突出定义域、值域、单调性等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“素养导向”的分层设计，如结合“盲盒经济”实例培养数学眼光，通过单调性定义证明提升逻辑推理能力。包含多选、解答等多元题型，配套高考真题链接，基础学生可掌握通法，优秀学生能深化应用，助力教师实施精准复习教学。

　题型一　函数的概念 掌握函数的概念，理解非空性、任意性、唯一性，掌握函数的三要素，提升数学抽象素养． 例1　(多选)已知函数f(x)＝下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域是R B．f(x)的值域是(－∞，5) C．若f(x)＝3，则x＝ D．f(x)的图象与直线y＝2有一个交点 解析：选BCD.A选项，f(x)的定义域是(－∞，2)，所以A选项错误． B选项，当x≤－1时，x＋2≤1， 当－1<x<2时，0≤x2<4，1≤x2＋1<5， 所以f(x)的值域是(－∞，5)，所以B选项正确． C选项，由B选项的分析可知，若f(x)＝3， 则解得x＝，所以C选项正确． D选项，画出f(x)的图象如下图所示，由图可知，D选项正确． 类题通法 求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等；由几个式子构成的函数，其定义域是使各式子有意义的集合的交集；函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.(多选)(2025·重庆期中)下列说法正确的是(　　) A．已知f(＋2)＝x＋1，则f(x)＝x2－4x＋5(x≥2) B．函数f(x)＝×与g(x)＝是同一函数 C．函数f(x)＝的单调递增区间是(3，＋∞) D．已知f(x)的定义域为[－2，2]，则函数f(x－1)的定义域为[－1，3] 解析：选AD.对于A：令＋2＝t，则t≥2，＝t－2，所以x＝(t－2)2， 则f(t)＝(t－2)2＋1＝t2－4t＋5，t≥2， 所以f(x)＝x2－4x＋5(x≥2)，故A正确； 对于B：因为函数f(x)＝×，所以解得x≥1， 所以函数f(x)的定义域为[1，＋∞)， 因为g(x)＝，则(x＋1)(x－1)≥0，解得x≤－1或x≥1， 故g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 函数f(x)和函数g(x)的定义域不同，故不是同一函数，故B错误； 对于C：由x2－6x－7≥0，解得x≥7或x≤－1， 即函数f(x)＝的定义域为(－∞，－1]∪[7，＋∞)，故C错误； 对于D：因为函数f(x)的定义域为[－2，2]，所以－2≤x－1≤2， 得－1≤x≤3，故函数f(x－1)的定义域为[－1，3]，故D正确． 题型二　函数的图象 会根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观的观察函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点的是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象． 例2　已知函数f(x)＝方程f2(x)－bf(x)＝0，b∈(0，1)，则方程的根的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选D.因为f2(x)－bf(x)＝0， 所以f(x)＝0或f(x)＝b， 作函数f(x)＝的图象如图， 结合图象可知，f(x)＝0有两个不同的根，f(x)＝b(0<b<1)有三个不同的根，且5个根都不相同，故方程的根的个数是5. 类题通法 作函数图象的方法 (1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线． (2)变换法——熟知函数图象的平移、对称、翻转． ①平移：y＝f(x)y＝f(x±h)； y＝f(x)y＝f(x)±k(其中h>0，k>0). ②对称：y＝f(x)y＝f(－x)； y＝f(x)y＝－f(x)； y＝f(x)y＝－f(－x). 【迁移运用】 2.(2025·广东清远期中)max{f(x)，g(x)}表示f(x)与g(x)中的较大者，设h(x)＝max{|x＋1|，－x2＋2x＋3}，则函数h(x)的最小值是______． 解析：令－x2＋2x＋3＝x＋1，解得x＝2或－1， 令－x2＋2x＋3＝－x－1，解得x＝4或－1， 画出h(x)＝max{|x＋1|，－x2＋2x＋3}的图象，如下： 显然h(x)的最小值为0. 答案：0 题型三　函数的性质 掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养． 例3　(2025·云南昆明期中)函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数． (1)求f(x)的解析式； (2)用定义证明函数f(x)在(－1，1)上为增函数； (3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0. 解：(1)因为f(x)＝在(－1，1)上为奇函数， 故f(－x)＝－f(x)，即＝－. 所以－x＋b＝－x－b，解得b＝0. 故f(x)＝. (2)任取x1，x2∈(－1，1)，令x1<x2， f(x1)－f(x2)＝－＝＝， 因为x1，x2∈(－1，1)，x1<x2，所以1－x1x2>0，x1－x2<0， 故f(x1)－f(x2)＝<0，f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在(－1，1)上为增函数． (3)f(t－1)＋f(t)<0⇒f(t－1)<－f(t)＝f(－t)， 由(2)知，以函数f(x)在(－1，1)上为增函数， 所以解得0<t<， 故不等式解集为(0，). 类题通法 函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响。 【迁移运用】 3.(2025·广东佛山期末)已知函数y＝f的图象关于点P成中心对称图形的充要条件是函数y＝f－b为奇函数，若函数f＝x＋. (1)求曲线y＝f的对称中心； (2)判断f在区间上的单调性，并用定义证明． 解：(1)设g＝f(x＋1)－1＝x＋1＋－1＝x＋， 则函数g的定义域为，其定义域关于原点对称， 且g＝－x＋＝－(x＋)＝－g， 所以g＝f－1为奇函数， 所以函数f的对称中心为. (2)函数f在上单调递减． 证明：∀x1，x2∈，且x1<x2， 则f－f＝x1＋－＝＋(－)＝(x1－x2)＋＝[1－]＝(x1－x2)， 因为x1，x2∈，所以x1－1，x2－1∈，∈，(x1－1)(x2－1)－4<0， 又x1<x2，所以x1－x2<0， 所以f－f>0， 即f>f， 所以函数f在上单调递减． 题型四　函数的应用 例4　近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展成具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒x年 (x为正整数)所用的各种费用总计为2x2＋10x万元． (1)该公司第几年首次盈利(总收入超过总支出，今年为第一年)? (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 解：(1)设利润为y，则y＝50x－(98＋2x2＋10x)＝－2x2＋40x－98(x∈N*)， 由－2x2＋40x－98>0整理得x2－20x＋49<0， 解得10－<x<10＋，由于x∈N*， 所以x∈{x∈N*|3≤x≤17}，所以第3年首次盈利． (2)首先x∈{x∈N*|3≤x≤17}， 由(1)得平均利润＝－2(x＋)＋40≤－2×2＋40＝12万元， 当且仅当x＝，即x＝7万元时等号成立， 综上，第7年，年平均利润最大，为12万元． 类题通法 建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤 (1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主动、被动关系，并用x，y分别表示． (2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域． (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解． 　1．(2022·天津卷)函数y＝的图象大致为(　　) 　人教A版必修第一册P69练习2与P86T5(2)相结合． 　该题型先利用函数的奇偶性、单调性等性质判断图象，如本题利用奇函数图象关于原点对称排除C、D，再通过分析函数的零点、最值点、与坐标轴的交点等特殊点来筛选图象，有时还要考虑x趋近于正无穷、负无穷或某些特定值时函数的变化趋势，以此排除不符合的图象． 　分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在(－∞，0)上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项． 　选A.函数y＝f(x)＝的定义域为{x|x≠0}， 且f(－x)＝＝－＝－f(x)，函数f(x)为奇函数，C、D错误；当x<0时，f(x)＝≤0，B错误． 2．(2024·上海卷)已知f(x)＝x3＋a，且f(x)是奇函数，则a＝______． 　沪教版必修第一册P133B组T1. 　函数的奇偶性是高考数学的重要考点，常以小题出现，和函数单调性、对称性、函数图象等综合考查，难度较小． 　利用奇函数性质f(－x)＝－f(x)代入即可，因为本题函数定义域为R，也可以使用f(0)＝0解得． 　 因为f(x)是奇函数，故f(x)＋f(－x)＝0即x3＋a＋(－x)3＋a＝0，故a＝0. 答案：0 学科网（北京）股份有限公司 $