第四章 创新培优（三）抽象函数及其性质的常见考法-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦抽象函数性质及应用核心知识点，构建从求函数值、解析式等基础问题，到单调性、奇偶性证明，再到值域求解的递进式学习支架，系统梳理抽象函数问题的解决路径。 该资料以典型例题为载体，通过赋值法、变量构造等具体方法培养学生抽象能力与推理意识，类题通法总结规律形成结构化思维。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生强化知识应用，有效查漏补缺。

培优一　求抽象函数的函数值 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－2)等于________． 解析：∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2， ∴令x＝y＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2＝6， 再令x＝2，y＝－1，得f(2－1)＝f(2)＋f(－1)－4＝2， ∴f(－1)＝0，∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＋2＝2. 答案：2 培优二　求抽象函数的解析式 已知函数f(x)对于一切实数x，y都有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0. (1)求f(0)的值； (2)求f(x)的解析式． 解：(1)令x＝1，y＝0，因为f(1)＝0，f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x， 所以f(1)－f(0)＝(1＋1)×1，即f(0)＝－2. (2)因为f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x， 令y＝0，则f(x)－f(0)＝(x＋1)x＝x2＋x， 所以f(x)＝x2＋x－2. 培优三　证明抽象函数的单调性和解抽象不等式 已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1. (1)判断并证明f(x)的单调性； (2)若f(4)＝3，解不等式f(3m2－m－2)<2. 解：(1)函数f(x)在R上为增函数，证明如下： 设x1，x2是R上任意两个不等的实数，且x1<x2，则x2－x1>0， f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1， 由已知条件当x>0时，f(x)>1， 所以f(x2－x1)>1，即f(x2)－f(x1)>0， 所以函数f(x)在R上为增函数． (2)f(4)＝2f(2)－1＝3， ∴f(2)＝2， ∴f(3m2－m－2)<f(2)， ∴3m2－m－2<2， ∴－1<m<. 培优四　证明抽象函数的奇偶性(对称性) 已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，证明函数f(x)在R上的奇偶性． 证明：因为函数f(x)的定义域为R， 令x＝1，y＝0，所以f(1)＝f(1)＋f(0)，即f(0)＝0， 令y＝－x，所以f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0 ，即f(－x)＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． 培优五　求抽象函数的值域 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意x>0，y>0都有f＝f(x)－f(y)＋1，且f(2)＝2，当x>1时，有f(x)>1. (1)求f(1)，f(4)的值； (2)判断f(x)的单调性并加以证明； (3)求f(x)在[1，16]上的值域． 解：(1)可令x＝y＝1时，f(1)＝f(1)－f(1) ＋1＝1， 令x＝4，y＝2可得f(2)＝f(4)－f(2)＋1，即f(4)＝3. (2)函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数． 证明：当x>1时，有f(x)>1， 可令0<x1<x2，即有>1，则＋1>1， 可得f(x2)>f(x1)， 则f(x)在(0，＋∞)上为增函数． (3)由f(x)在(0，＋∞)上为增函数，可得f(x)在[1，16]递增， 可得f(1)＝1为最小值，f(16)为最大值， 由f(4)＝f(16)－f(4)＋1，可得f(16)＝2f(4)－1＝5， 则f(x)的值域为[1，5]. 类题通法 　 (1)先判断抽象函数的单调性，再根据单调性求函数的值域。 (2)利用函数的奇偶性，通过奇（偶）函数的图象性质，结合已知部分的函数的值域来确定. (3)通过给抽象函数中自变量赋予特殊值，得到函数的一些特殊值和关系，再经过推理分析来确定值域。 学科网（北京）股份有限公司 $