4.5.3 函数模型的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦函数模型的应用核心知识点，系统梳理从实际问题中选择恰当函数模型（一次、二次、指数、对数、幂函数及分段函数）的方法，通过碳14年代检测问题引入，结合自主评测巩固模型选择依据，再以马尔萨斯人口模型、电磁波损耗计算等例题展开应用，形成“问题引入-模型选择-应用实践”的学习支架。 资料以真实情境案例（如行星距离太阳距离建模、牛奶保鲜时间计算）驱动教学，助力学生用数学眼光观察现实世界，通过散点图分析、模型检验等环节培养数据分析与数学建模素养，课中辅助教师开展情境教学提升授课效果，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化函数模型应用能力。

4．5.3　函数模型的应用　　　　► 对应学生用书P129 学习目标　1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，提升数学建模素养．(重点)　2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律，提升数据分析素养．(重点)　 3．会利用已知模型解决实际问题，提升数学运算素养．(重点、难点) 　　　2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？ 问题　应选择什么函数模型解答上述问题？ 提示：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择指数型函数模型． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P148～154，说一下面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 提示：建立函数模型解决问题的基本过程：收集数据，画散点图，选择函数模型，求函数模型，检验，利用函数模型解决问题． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．(　　 ) (2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．(　　 ) (3)在不同的范围内，变量的对应关系不同时，可以选择分段函数模型．(　　 ) (4)函数y＝×3x＋1属于幂函数模型．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 　应用已知函数模型解决实际问题 几种常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函 数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例型 函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函 数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型 函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型 函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数 型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 分段函 数模型 y＝ 例1　(链接教材：人教A版P148例3)在1798年，英国经济学家马尔萨斯提出了自然状态下人口增长模型：y＝y0ert(r为人口年自然平均增长率，t为经过的时间，y0表示当t＝0时y的值)，截至2020年5月17日，全球人口总数约为76亿，联合国人口基金会人口与发展处的负责人弗朗西斯·法拉赫博士告诉记者，过去10年中，世界人口增长率已呈下降趋势，若从2020年底开始到2100年底，世界人口将增加一倍，则从2020年底到2100年底这段时间内的人口年自然平均增长率约为(参考数据：ln 2≈0.69)(　　 ) A．0.925% B．0.862 5% C．0.256% D．0.432 5% 解析：选B.因为从2020年底开始到2100年底，世界人口将增加一倍， 所以由题意得2y0＝y0e80r，即2＝e80r，所以ln 2＝80r，r＝＝0.008 625. 类题通法 利用已知函数模型解决实际问题 (1) 首先确定已知函数模型解析式中的未知参数； (2) 利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题； (3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 已知电磁波在空间中自由传播时的损耗公式为L＝32.4＋20(lg D＋lg F)，其中D为传输距离(单位：km)，F为载波频率(单位：MHz)，L为传输损耗(单位：dB)．若载波频率变为原来的200倍，传输损耗增加90 dB，则传输距离约为原来的(　　 ) (参考数据：lg 2≈0.3) A．102.1 倍 B．102.2 倍 C．102.5 倍 D．102.7 倍 解析：选B.设原来的传输损耗、载波频率、传输距离分别为L，F，D， 变化后的传输损耗、载波频率、传输距离分别为L′，F′，D′， 则L′＝L＋90，F′＝200F， 因此90＝L′－L＝20(lg D′＋lg F′)－20(lg D＋lg F)＝20lg ＋20lg ， 于是lg ＝4.5－lg ＝4.5－lg 200＝4.5－(2＋lg 2)≈2.2，解得≈102.2. 所以传输距离约为原来的102.2 倍． 　建立函数模型解决实际问题 例2　(链接教材：人教A版P150例5)1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离(单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位)的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星(后被命名为谷神星)存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据： 行星 编号(x) 1 (金星) 2 (地球) 3 (火星) 4 (　　) 5 (木星) 6 (土星) 离太阳的 距离(y) 0.7 1.0 1.6 5.21 10.01 (1)为了描述行星离太阳的距离y与行星编号x之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型(直接给出结论)；①y＝ax＋b；②y＝a×2x＋b；③y＝alog2x＋b. (2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；(误差小于0.2的为吻合) (3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离． 解：(1)散点图如图所示， 根据散点图可知，模型②符合题意． (2)将(1，0.7)，(2，1)，(3，1.6)分别代入y＝a×2x＋b， 得解得a＝0.15，b＝0.4，所以y＝0.15×2x＋0.4(x∈N*)， 当x＝5时，y＝0.15×25＋0.4＝5.2，误差5.21－5.2＝0.01<0.2，吻合， 当x＝6时，y＝0.15×26＋0.4＝10，误差10.01－10＝0.01<0.2，吻合， 所以模型与数据吻合． (3)当x＝4时，y＝0.15×24＋0.4＝2.8，即谷神星离太阳的距离为2.8 AU. 类题通法 　 建立函数模型的四个关键点 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　 ) A．y＝ B．y＝0.957 6100x C．y＝x D．y＝ 解析：选A.设镭的衰变率为p，则x，y的函数关系是y＝(1－p)x， 当x＝100时，y＝0.957 6，即0.957 6＝(1－p)100，解得1－p＝. 即有y＝. 2．牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同．当牛奶放在0 ℃的冰箱中，保鲜时间为192 h；而放在22 ℃的厨房中，保鲜时间则为48 h．假定保鲜时间与储藏温度之间的关系为指数型函数，则牛奶温度在33 ℃的保鲜时间为(　　 ) A．12 h B．16 h C．18 h D．24 h 解析：选D.设保鲜时间y与储藏温度x的函数解析式为y＝k·ax， 由题意，得解得k＝192，a＝. 所以y＝，于是，当x＝33 ℃时，y＝＝24 h. 3．有一组实验数据如下表所示： x 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12.5 18.27 现在用下列函数近似地表示这些数据满足的规律，其中最恰当的一个是(　　) A．y＝log2x B．y＝ C．y＝ D．y＝2x－ 解析：选C.对于A选项，x＝4时，y＝2，与表格y＝7.5差距较大，故排除； 对于B选项，x＝4时，y＝－2，与表格y＝7.5差距较大，故排除； 对于C选项，x＝3时，y＝4； 对于D选项，x＝3时，y＝5.5，相对于C项误差较大，故排除． [课后分层练(四十三)]　函数模型的应用 (单选题、填空题每题5分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示． x 1 2 3 … y 1 2 5 … 下面的函数关系式中，能表达这种关系的是(　　 ) A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1 C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1 解析：选D.代入数值检验，把x＝2代入可排除A，B，C，把x＝1，2，3代入D选项，符合题意． 2．闪光指数(Guide Number，GN)是一个衡量闪光灯在感光度及视角确定的情况下照射目标的能力，是进行闪光摄影时决定适当光圈的主要依据．通常在手动闪光摄影时，由已知的闪光指数和摄影距离来计算适当的光圈，且三者存在这样的关系：F＝，其中：F——光圈；GN——闪光灯的闪光指数，单位为米(或英尺)；L——光闪灯到被摄体的距离，单位为米(或英尺)．今有ISO 100感光度的胶卷的闪光灯，其闪光指数为24米，若光圈值为8，则闪光灯到被摄体的距离为(　　 ) A．3米 B．16米 C．32米 D．192米 解析：选A.由题意知GN＝24米，F＝8，则由F＝，得L＝＝3(米)． 3．(学科融合)“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生长时间与枝数的关系用下列函数模型拟合最好的是(　　 ) A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2 解析：选A.由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长速度很快，符合指数型函数模型，且图象过点(1，2)，所以图象由指数函数y＝2t来模拟比较好． 4．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间为192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，若该食品的保鲜时间是12小时，则该食品所处的温度为(　　 ) A．24 ℃ B．33 ℃ C．44 ℃ D．55 ℃ 解析：选C.由题意得解得 所以y＝， 则＝12， 即x＋ln 192＝ln 12， 解得x＝44. 5．中国高铁技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快且噪声更小．用声强I(单位：W/m2)表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L1(单位：dB)与声强I的函数关系式为L1＝.若普通列车的声强级是95 dB，高速列车的声强级是45 dB，则普通列车的声强是高速列车声强的(　　 ) A．6倍 B．106倍 C．5倍 D．105倍 解析：选D.因为普通列车的声强级是95 dB，高速列车的声强级是45 dB， 所以95＝10lg ，45＝ 相减得5＝lg ，所以＝105. 6．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg，火箭(除燃料外)的质量m kg，它们之间的函数关系是v＝2 000当燃料质量是火箭质量的(　　 )倍时，火箭的最大速度可达到12 km/s. －1 解析：选A.由题可知，v＝2 000ln ， 当v＝12 000时，则2 000ln ＝12 000， ∴ln ＝6，则1＋＝e6，解得＝e6－1， 即当燃料质量是火箭质量的e6－1倍时，火箭的最大速度可达到12 km/s. 7．为了提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过12 800万元的年份是(　　 ) (参考数据：lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301) A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 解析：选D.设经过n年后的投入资金为y万元，则y＝5 000(1＋20%)n＝5 000×1.2n， 令5 000×1.2n>12 800，即1.2n>2.56，两边取对数，可得n lg 1.2>lg 2.56＝lg ＝lg 28－2＝8lg 2－2≈0.408，∴n>≈5.16， 故第6年即2025年的投资开始超过12 800万元． 8．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概，当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒后的高度x米可由x＝at－5t2确定．已知射出2秒后箭离地面高100米，则箭能达到的最大高度为________米． 解析：由x＝at－5t2，且t＝2时，x＝100，解得a＝60.所以x＝60t－5t2.由x＝－5t2＋60t＝－5(t－6)2＋180，知当t＝6时，x取得最大值，为180，即箭能达到的最大高度为180米． 答案：180 9．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式y＝a·0.5x＋b.现已知今年1月份、2月份该产品的产量分别为1万件、1.5万件，则3月份该产品的产量为________万件． 解析：由题意得解得所以y＝－2×0.5x＋2，所以3月份的产量为－2×0.53＋2＝1.75(万件)． 答案：1.75 10．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃，需要多长时间？(结果精确到0.1，参考数据≈2.54) 解：由题意知40－24＝，即， 解得h＝10，故T－24＝. 当T＝35时，代入上式，得35－24＝，即. 两边取对数，解得t≈25.4. 因此，咖啡降温到35 ℃约需要25.4 min. 【综合运用】 11．某辆汽车经过多次实验得到，每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的下列数据： v 0 40 60 80 120 Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下四种模型供选择： 甲：Q＝av2＋bv＋c；乙：Q＝av3＋bv2＋cv； 丙：Q＝0.5v＋a；丁：Q＝klogav＋b. 其中a，b，c均不为0，其中最符合实际的函数模型为(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：选B.依题意可知该函数必须满足三个条件： 第一，定义域为[0，120]； 第二，在定义域上单调递增； 第三，函数经过坐标原点． 当v＝0时，Q＝klogav＋b没有意义，排除丁， 函数Q＝av2＋bv＋c不经过坐标原点，排除甲， 函数Q＝0.5v＋a单调递减，排除丙， 故最符合实际的函数模型为乙． 12．(学科融合)(2025·云南昆明模拟)荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”，我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为1.01365≈37.783 4；把(1－1%)365看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为0.99365≈0.025 5，此时一年后的“进步”值是“退步”值的≈1 481倍．那么，大约经过(　　 )天，“进步”值是“退步”值的20倍．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 101≈2.004 3，lg 99≈1.995 6) A．130天 B．149天 C．120天 D．155天 解析：选B.设经过x天，“进步”值是“退步”值的20倍， 则20×0.99x＝1.01x，即＝20， 得x＝log20＝＝≈≈＝≈149. 13．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100 mL血液中酒精含量达到[20，80)mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6 mg/mL，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过(　　 ) A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 解析：选C.因为1.6×100＝160，故喝酒后驾驶员100 mL血液中酒精含量为160 mg. 不妨设喝酒后经过的时间为n，n小时后100 mL血液中酒精含量为y， 故可得y＝160(1－0.3)n. 根据题意，若想安全驾驶，则y<20， 即可得160×(1－0.3)n<20， 即0.7n<， 因为0.72＝0.49<，又＝3，0.76<，0.75>， 根据选项可知，n取整数， 所以n≥6. 【创新探索】 14．某科研小组对面积为8 000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积y(单位：平方米)与所经过月数x(x∈N)的下列数据： x 0 2 3 4 y 4 25 62.5 156.3 为描述该生物覆盖面积y(单位：平方米)与经过的月数x(x∈N)的关系，现有以下三种函数模型供选择：y＝k·ax(k>0，a>1)；y＝(p>0)；y＝ax＋b(a>0)． (1)试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式； (2)约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘？(参考数据：≈1.414，lg 2≈0.301) 解：(1)因为函数y＝k·ax(k>0，a>1)刻画的是增长速度越来越快的变化规律， 函数y＝p＋q(p>0)刻画的是增长速度越来越慢的变化规律， 函数y＝ax＋b(a>0)刻画的是增长速度不变的规律， 根据表中的数据可知该生物增长的速度越来越快， 所以函数模型y＝k·ax(k>0，a>1)更适合． 根据题意有解得 所以y＝4×x，x∈N. (2)设约经过x个月，此生物能覆盖整个池塘， 则4×x＝8 000，解得x＝＝≈8.294. 故约经过9个月，此生物能覆盖整个池塘． 学科网（北京）股份有限公司 $