1.3 集合的基本运算-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学集合的基本运算，先系统讲解并集、交集的概念及运算性质，通过实例引入和性质归纳构建基础，再延伸到补集及综合应用，结合参数问题和集合关系探究形成完整知识体系。 资料以校运动会参赛人数等情境引入概念，培养数学抽象素养，用Venn图和数轴辅助理解提升直观想象，分层练习强化数学运算。课中“类题通法”帮助教师高效授课，课后分层设计助力学生巩固，弥补知识盲点。

1．3　集合的基本运算 第1课时　并集与交集 ► 对应学生用书P8 学习目标　1.理解并集、交集的概念，提升数学抽象素养．(重点)　2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集，提升直观想象素养．(重点、难点)　3.会求简单集合的并集和交集，提升数学运算素养．(重点) 　　　某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛． 问题1　若没有人两项都报，你能算出高一(1)班参赛的人数吗？ 提示：22人． 问题2　若两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛的人数吗？ 提示：19人． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P10，分析思考：集合的并集和实数的加法运算有什么联系和区别？为什么？ 提示：实数的并集是把两个集合合起来，类似于实数加法运算，但由于集合元素的互异性，重复元素只能算一次． (2)请认真阅读教材P10，分析思考：集合A∪B的元素个数等于集合A与集合B的元素个数和吗？为什么？ 提示：不一定．当集合A，B没有公共元素时，A∪B的元素个数等于集合A，B的元素个数和；当集合A，B有公共元素时，A∪B的元素个数小于集合A，B的元素个数和． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若A∪B＝A∪C，则B＝C.(　　 ) (2)集合A，B中分别有3个元素，则A∪B中必有6个元素．(　　 ) (3)若A∩B＝∅，则A，B均为空集．(　　 ) (4)若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B).(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)　×　(4)√ 　并集 　　　请同学们观察下列三组集合： ①A＝{－1，0}，B＝{1，3}，C＝{－1，0，1，3}； ②A＝{x|x是偶数}，B＝{x|x是奇数}，C＝{x|x是整数}； ③A＝{1，2}，B＝{1，3，4}，C＝{1，2，3，4}． 问题3　集合C中的元素与集合A，B中元素的关系是什么？ 提示：集合C中元素是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成． 问题4　①中集合C的元素个数等于集合A，B的元素个数的和吗？③中呢？ 提示：等于，不等于． 温馨提示 对并集中“或”的理解: “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况:x∈A，但x∉B;x∈B，但x∉A;x∈A，且x∈B. 例1　(链接教材：人教A版P10例2)设集合A＝{x∈N*|－1≤x≤2}，B＝{2，3}，则A∪B＝(　　 ) A．{－1，0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{－1，2} D．{－1，3} 解析：选B.集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∪B＝{1，2，3}． 类题通法 求集合并集的方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解． (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解． 【迁移运用】 1.已知集合A＝{－1，0，1}，则满足A∪B＝{－1，0，1，2，3}的集合B可能是(　　 ) A．{－1，2} B．{－1，0，1，3} C．{－1，0，1} D. {0，2，3} 解析：选D.{－1，0，1}∪ {0，2，3}＝{－1，0，1，2，3}，故D符合题意． 　交集 　　　观察下面的例子： (1)A＝{1，2，3}，B＝{1，3，5}，C＝{1，3}； (2)A＝{x|x为菱形}，B＝{x|x为矩形}，C＝{x|x为正方形}． 问题5　集合A，B和C之间有什么关系？ 提示：A∩B＝C. 问题6　怎样用 Venn 图表示集合A与B的交集？ 提示： 问题7　并集A∪B和交集A∩B有什么联系和区别？ 提示：联系：并集A∪B和交集A∩B都是由集合A和B的元素组成的新集合． 区别：并集A∪B是把集合A和B的元素合并在一起，由合并后的所有元素组成的新集合；交集A∩B是由A和B的公共元素组成的新集合． 温馨提示 “且”字的意义：A∩B中的元素既属于A又属于B. 例2　设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|0≤x<}，则A∩B＝(　　 ) A．{0，1，2} B．{－2，－1，0} C．{0，1} D．{1，2} 解析：选A.因为A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|0≤x<}，所以A∩B＝{0，1，2}． 类题通法 交集运算的关注点 (1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为定义法和数形结合法． (2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示． 【迁移运用】 2.若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|0<x<2}，则集合A∩B＝(　　 ) A．{x|－1<x<1} B．{x|－2<x<1} C．{x|－2<x<2} D．{x|0<x<1} 解析：选D.如图所示： 公共范围是0<x<1，即A∩B＝{x|0<x<1}． 　并集、交集的运算性质及应用 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A A∪A＝A A∩A＝A A∪∅＝A A∩∅＝∅ A⊆B⇔A∪B＝B A⊆B⇔A∩B＝A 例3　已知集合A＝{x|x≤－1，或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是(　　 ) A．{a|3≤a<4} B．{a|－1<a<4} C．{a|a≤－1} D．{a|a<－1} 解析：选C.利用数轴，画出满足A∪B＝R的图形，如图所示． 由图可知，a≤－1. 变式探究　(1)(变条件)若把“A∪B＝R”改为“A∩B＝∅”，求实数a的取值范围． 解：当a≥4时，集合B为空集，满足题意；当a<4时，集合B不是空集，不满足A∩B＝∅.综上可知，实数a的取值范围是{a|a≥4}． (2)(变条件)若把“A∪B＝R”改为“A∪B＝A”，求实数a的取值范围． 解：当a≥4时，集合B为空集，满足题意；当a<4时，若要满足A∪B＝A，必有a≥3，即3≤a<4. 综上可知，实数a的取值范围是{a|a≥3}． 类题通法 由集合的运算性质求参数值(范围)的注意事项 (1)要考虑因参数的影响是否需要分类讨论． (2)要有数形结合思想的意识，有时借助数轴会更方便求解． (3)对于A∩B＝A，要考虑A是否为∅的情况． 1．集合M＝{1，2，3，4，5}，集合N＝{1，3，5}，则(　　 ) A．N∈M B．M∪N＝M C．M∩N＝M D．M>N 解析：选B.因为NM，所以M∪N＝M. 2．若集合A＝{x|0<x<4}，B＝{x|－4<x≤2}，则A∩B等于(　　 ) A．{x|0<x<4} B．{x|－4<x≤2} C．{x|0<x≤2} D．{x|－4<x<4} 解析：选C.利用数轴(图略)得A∩B＝{x|0<x≤2}． 3．满足{1，3}∪B＝{1，3，5}的所有集合B的个数是(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D.由条件{1，3}∪B＝{1，3，5}，得5∈B，而1，3是否在集合B不确定，所以集合B可能为{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}，共4个． 4．集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，A∩B＝B，则a＝________． 解析：A＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}， ∵A∩B＝B，∴B＝{1}或B＝∅， ∴a＝1或a＝0. 答案：1或0 [课后分层练(三)]　并集与交集 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．(人教A必修一P14习题 1.3T1改编)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　 ) A．{x|0≤x≤2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|－1≤x≤4} 解析：选A.在数轴上表示出集合A与集合B，如图所示． 由交集的定义，知A∩B＝{x|0≤x≤2}． 2．(人教A必修一P12练习T2改编)设A＝{x|x2－4x－5＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∪B等于(　　 ) A．{－1，1，5} B．{－1，5} C．{1，5} D．{－1} 解析：选A.∵A＝{x|x2－4x－5＝0}＝{x|(x－5)(x＋1)＝0}＝{－1，5}，B＝{x|x2＝1}＝{－1，1}，∴A∪B＝{－1，1，5}． 3．已知集合A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|0<x≤a}，若A∪B＝{x|－2<x≤3}，A∩B等于(　　 ) A．{x|－2<x<0} B．{x|0<x≤1} C．{x|1<x≤3} D．{x|－2<x≤3} 解析：选B.因为A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|0<x≤a}，A∪B＝{x|－2<x≤3}，所以a＝3，B＝{x|0<x≤3}，所以A∩B＝{x|0<x≤1}． 4．(数学文化)中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知 A＝{x|x＝3n＋2，n∈N*}，B＝{x|x＝5n＋3，n∈N*}，C＝{x|x＝7n＋2，n∈N*}，若x∈A∩B∩C，则下列选项中符合题意的整数x为(　　 ) A．8 B．127 C．37 D．23 解析：选D.因为8＝7×1＋1，则8∉C，选项A不合题意． 127＝3×42＋1，则127∉A，选项B不合题意． 37＝3×12＋1，则37∉A，选项C不合题意． 23＝3×7＋2，故23∈A；23＝5×4＋3，故23∈B；23＝7×3＋2，故23∈C，则23∈A∩B∩C，选项D符合题意． 5．(多选)已知集合A＝{x|x2－x＝0}，集合B中有两个元素，且满足A∪B＝{0，1，2}，则集合B可以是(　　 ) A．{0，1} B．{0，2} C．{0，3} D．{1，2} 解析：选BD.因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，且满足A∪B＝{0，1，2}，所以集合B中必有元素 2.又集合B中有两个元素，所以集合B可以是{0，2}或{1，2}． 6．(多选)已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}，则(　　 ) A．A∩B＝{1，2} B．A∪B＝{－1，0，1，2，3} C．0∈B D．－1∈B 解析：选ACD.因为集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}，所以B＝{－2，－1，0，1，2}，所以A∩B＝{1，2}，所以A选项正确；所以A∪B＝{－2，－1，0，1，2，3}，所以B选项错误；所以0∈B，所以C选项正确；所以－1∈B，所以D选项正确． 7．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________． 解析：A∩B＝{1，2，3}∩{y|y＝2x－1，x∈A}＝{1，2，3}∩{1，3，5}＝{1，3}． 答案：{1，3} 8．已知集合M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个． 解析：M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1，3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素． 答案：2 9．某网店统计连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店： (1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种； (2)这三天售出的商品最少有________种． 解析：设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示． 由图可知，(1)第一天售出但第二天未售出的商品有16－y＋y＝16(种). (2)这三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋(3－x)＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝(43－y)种． 因为所以0≤y≤14，所以(43－y)min＝43－14＝29， 即这三天售出的商品最少有29种． 答案：(1)16　(2)29 10．已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值． 解：因为A∩B＝{3}，所以3∈A， 从而可得p＝8，所以A＝{3，5}． 又由于3∈B，且A∪B＝{2，3，5}， 所以B＝{2，3}， 所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3. 由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6. 综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6. 【综合运用】 11．(版本融合：人教B必修一P20练习BT5(1)改编)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是(　　 ) A．{a|a<2} B．{a|a>－2} C．{a|a>－1} D．{a|－1<a≤2} 解析：选C.在数轴上表示出集合A，B，可知a的取值范围是{a|a>－1}． 12．(新背景)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(M，N)，下列选项中不可能成立的是(　　 ) A．M没有最大元素，N有一个最小元素 B．M没有最大元素，N也没有最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M有一个最大元素，N没有最小元素 解析：选C.若M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故A不符合题意； 若M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，则M没有最大元素，N也没有最小元素，故B不符合题意； 若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x>0}，M有一个最大元素，N没有最小元素，故D不符合题意； M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C符合题意． 13．已知集合 A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}． (1)求A∪B，A∩B； (2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围． 解：(1)因为A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，所以A∪B＝{x|x≥1}，A∩B＝{x|3≤x≤7}． (2)因为C∪A＝A，A＝{x|x≥3}，C＝{x|x≥a－1}，所以C⊆A，所以a－1≥3，即a≥4，所以实数a的取值范围是{a|a≥4}． 14．已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}． (1)若A∪B＝B，求实数a的值； (2)若A∩B＝B，求实数a的值或取值范围． 解：(1)由题意，知A＝{－4，0}． 若A∪B＝B，则B＝A＝{－4，0}． 由解得a＝1. (2)由题意，知A＝{－4，0}． 若A∩B＝B，则B⊆A. ①若B为空集，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8<0，解得a<－1； ②若B只有一个元素，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8＝0，解得a＝－1. 将a＝－1代入方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，得x2＝0，即x＝0，则B＝{0}，符合要求； ③若B＝A＝{－4，0}，由(1)可知a＝1. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1，或a＝1}． 【创新探索】 15．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，若A∪B＝A，A∩C＝C，则实数a，m的取值集合分别为________________________________________________________________________． 解析：依题意，得A＝{1，2}， 由x2－ax＋a－1＝0，解得x＝a－1或x＝1. 因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a－1∈A， 所以a－1＝1或a－1＝2，所以a＝2或a＝3. 因为A∩C＝C，所以C⊆A. 当C＝∅时，Δ＝m2－8<0，即－2<m<2； 当C为单元素集合时，Δ＝0，m＝±2，此时C＝{}或C＝{－}，不满足题意； 当C为双元素集合时，C只能为{1，2}，此时m＝3. 综上，实数a的取值集合为{2，3}，实数m的取值集合为{m|m＝3或－2<m<2}． 答案：{2，3}，{m|m＝3，或－2<m<2} 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 第2课时　补集及综合应用 ► 对应学生用书P11 学习目标　1.理解全集、补集的概念，提升数学抽象素养．(重点)　2.准确使用补集符号和Venn图，提升直观想象素养．(重点)　3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题，提升数学运算素养．(重点、难点) 　补集的概念 问题　若集合U＝{2，，－}，A＝{2}，B＝{，－}，集合U与集合 A，B之间有什么关系？ 提示：集合U是我们研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B＝∅，A∪B＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系． 1．全集 (1)定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 3．运算性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝A； (4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅. 例1　(链接教材：人教A版P13例5)(1)已知全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{－1，1}，则∁UA＝_________________. 解析：由题意，得∁UA＝{－2，0，2}． 答案：{－2，0，2} (2)已知全集U＝{x|－4≤x≤1}，集合A＝{x|－1≤x<1}，则∁UA＝________． 解析：把集合U和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁UA＝{x|－4≤x<－1，或x＝1}． 答案：{x|－4≤x<－1，或x＝1} 类题通法 求补集的方法 (1)若所给集合中的元素连续且无限，则常借助于数轴，注意端点值的取舍． (2)若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解． 【迁移运用】 1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(　　 ) A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3，或x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3} 解析：选D.由题意得，阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}． 　集合的交、并、补的综合应用 角度一　集合的交、并、补的综合运算 例2　(2024·新高考Ⅰ卷T1改编)已知集合U＝{x∈Z|－3<x<3}，A＝{－2，1}，B＝{－2，2}，则(∁UA)∪B等于(　　 ) A．{－2，1，2} B．{－2，0，2} C．{－2，－1，0，2} D．{－2，－1，2} 解析：选C.∵集合U＝{x∈Z|－3<x<3}＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，1}，∴∁UA＝{－1，0，2}，∴(∁UA)∪B＝{－2，－1，0，2}． 类题通法 集合混合运算的一般思路 (1)明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式； (2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算； (3)注意对运算结果进行检验． 【迁移运用】 2.(2025·陕西西安模拟)已知全集U＝N，集合A＝{x|x＝2k，k∈N}，B＝{x|x＝4k，k∈N}，则(　　 ) A．A∩B＝A B．A∩∁UB＝∅ C．A∪∁UB＝U D．∁UA∪∁UB＝U 解析：选C.对于A，因为A＝，当k是偶数，令k＝2n，n∈N，此时A＝{x|x＝4n，n∈N}， 当k是奇数，令k＝2n－1，n∈N*，此时A＝， 所以BA，所以A∩B＝B，故A错误； 对于B，因为集合A表示非负偶数的集合，集合B表示能被4整除的非负整数，∁UB表示自然数中除去被4整除的数，所以A∩∁UB≠∅，故B错误； 对于C，因为BA，所以A∪∁UB＝U，故C正确； 对于D，因为∁UA不含偶数，∁UB不含被4整除的数，所以∁UA∪∁UB不含被4整除的数，故D错误． 角度二　与集合运算有关的求参数问题 例3　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解：法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m).因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅， 所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是{m|m≥2}． 法二(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知 B⊆A，又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，结合数轴： 得－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是{m|m≥2}． 变式探究　(1)(变条件)若将本例中的条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B＝B，所以B⊆∁UA，所以－m≥4，解得m≤－4. 故m的取值范围为{m|m≤－4}． (2)(变条件)若将本例中的条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：由已知得A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2，或x≥4}，又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.故m的取值范围为{m|m≥2}． 类题通法 由集合的补集求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解． (2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补集运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解． 1．设U＝R，A＝{x|－1<x≤0}，则∁UA＝(　　) A．{x|x≤－1，或x>0} B．{x|－1≤x<0} C．{x|x<－1，或x≥0} D．{x|x≤－1，或x≥0} 答案：A 2．(2023·全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝(　　) A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U 解析：选A.因为U＝{0，1，2，4，6，8}，M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，所以∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}． 3．已知全集U＝{2，4，a2－a＋1}，A＝{a＋4，4}，∁UA＝{7}，则a＝________. 解析：∵全集U＝{2，4，a2－a＋1}，A＝{a＋4，4}，∁UA＝{7}，∴a＋4＝2，a2－a＋1＝7，即(a－3)(a＋2)＝0，解得a＝－2或a＝3.当a＝3时，A＝{4，7}，U＝{2，4，7}，∁UA＝{2}，不合题意，舍去，则a＝－2. 答案：－2 4．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B). 解：把集合A，B在数轴上表示如图． 由图知∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}， 所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}． 德·摩根定律 (链接教材：人教A版P13练习T3 ) 设集合U为全集，集合A，B是集合U的子集，则： (1)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； (2)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). [课后分层练(四)]　补集及综合应用 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　 ) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 解析：选D.∵∈A，A＝{1，2，3，4，5，9}，∴B＝{1，4，9，16，25，81}，∴A∩B＝{1，4，9}，∴∁A(A∩B)＝{2，3，5}． 2．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x<－3}，则∁R(A∪B)＝(　　 ) A．R B．{x|－3<x≤2} C．{x|－3≤x<2} D．{x|x<－3或x≥2} 解析：选C.因为A＝{x|x≥2}，B＝{x|x<－3}，所以A∪B＝{x|x≥2，或x<－3}，则∁R(A∪B)＝{x|－3≤x<2}． 3．(多选)已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则下列运算正确的是(　　 ) A．A∩(∁UB)＝{x|x>0} B．A∪(∁UB)＝{x|x>－1} C．B∩(∁UA)＝{x|x≤－1} D．B∪(∁UA)＝{x|x>0} 解析：选ABC.因为∁UA＝{x|x≤0}，∁UB＝{x|x>－1}，所以A∩(∁UB)＝{x|x>0}，A∪(∁UB)＝{x|x>－1}，B∩(∁UA)＝{x|x≤－1}，B∪(∁UA)＝{x|x≤0}． 4．(版本融合：人教B必修一P21习题1－1BT6改编)设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1，或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠∅，则(　　 ) A．k<0或k>3 B．2<k<3 C．0<k<3 D．－1<k<3 解析：选C.∵A＝{x|x≤1，或x≥3}，全集U＝R，∴∁UA＝{x|1<x<3}． 若B∩(∁UA)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3， ∴若B∩(∁UA)≠∅，则0<k<3. 5．(多选)已知全集U＝R，集合A，B满足AB，则下列选项正确的有(　　 ) A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．∩B＝∅ D．A∩∁UB＝∅ 解析：选BD.∵AB，∴A∩B＝A，A∪B＝B，∩B≠∅，A∩∁UB＝∅. 6．(多选)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|－1≤x≤2}，则下列结论正确的是(　　 ) A．M⊆N B．N⊆M C．M∪N＝{－1，0，1，2} D．M∩(∁RN)＝∅ 解析：选AD.因为M＝{－1，0，1}，N＝{x|－1≤x≤2}，所以M⊆N，所以A正确，B错误； 因为M∪N＝{x|－1≤x≤2}，所以C错误；因为M⊆N，所以M∩(∁RN)＝∅，所以D正确． 7．(版本融合：人教B必修一P20练习BT3改编)设全集U＝Z，A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，那么∁UA＝________，∁UB＝________． 解析：集合A表示所有偶数构成的集合，集合B表示所有奇数构成的集合，所以集合A在整数集中的补集是奇数集，即∁UA＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}；集合B在整数集中的补集是偶数集，即∁UB＝{x|x＝2k，k∈Z}． 答案：{x|x＝2k＋1，k∈Z}　{x|x＝2k，k∈Z} 8．(人教A 必修一P14习题1.3T4)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，(∁RA)∩B，A∪(∁RB ). 解：因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}， 所以A∪B＝{x|2<x<10}，A∩B＝{x|3≤x<7}，∁RA＝{x|x<3，或x≥7}，∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}， 所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}，∁R(A∩B)＝{x|x<3，或x≥7}，(∁RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}，A∪(∁RB )＝{x|x≤2，或3≤x<7，或x≥10}． 9．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁UA)＝R，B∩(∁UA)＝{x|0<x<1，或2<x<3}，求集合B. 解：∵A＝{x|1≤x≤2}， ∴∁UA＝{x|x<1，或x>2}． 又B∪(∁UA)＝R，B∩(∁UA)＝{x|0<x<1，或2<x<3}，借助数轴(如图所示)， 可得B＝{x|0<x<3}． 【综合运用】 10．设U＝{1，2，3，4，5}，若A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝{4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1，5}，则下列结论正确的是(　　 ) A．3∉A且3∉B B．3∈A且3∉B C．3∉A且3∈B D．3∈A且3∈B 解析：选B.由题意，画出Venn图如图所示， 所以A＝{2，3}，B＝{2，4}，故3∈A且3∉B. 11．(新定义)设全集为U，定义集合M与N的运算：M*N＝{x|x∈(M∪N)且x∉(M∩N)}，则N*(N*M)＝(　　) A．M B．N C．M∩∁UN D．N∩∁UM 解析：选A.如图所示，由定义可知N*M为图中的阴影区域， 所以N*(N*M)为图中阴影Ⅰ和空白的区域，即N*(N*M)＝M. 12．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2，或x≥3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若(∁UA)∩B＝B，则实数m的取值范围是________． 解析：因为A＝{x|x≤－2，或x≥3}，全集U＝R，所以∁UA＝{x|－2<x<3}， 因为(∁UA)∩B＝B，所以B⊆∁UA. 当B＝∅时，2m＋1≥m＋7，所以m≥6，满足(∁UA)∩B＝B. 当B≠∅时，无解． 故实数m的取值范围是{m|m≥6}． 答案：{m|m≥6} 13．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2，或x≥5}，B＝{x|x≤2}． (1)求∁U(A∪B )； (2)记∁U(A∪B )＝D，C＝{x|2a－3≤x≤－a}，且C∩D＝C，求实数a的取值范围． 解：(1)因为A＝{x|x≤－2，或x≥5}，B＝{x|x≤2}， 所以A∪B＝{x|x≤2，或x≥5}． 又全集U＝R，则∁U(A∪B )＝{x|2<x<5}． (2)由(1)得D＝{x|2<x<5}． 由C∩D＝C得C⊆D. ①当C＝∅时，有－a<2a－3，解得a>1； ②当C≠∅时，有无解． 综上，实数a的取值范围为{a|a>1}． 【创新探索】 14．(思维拓展)设A，B是R的两个子集，对于任意x∈R，定义：m＝n＝若A⊆B，则对任意x∈R，m(1－n)＝__________；若对任意x∈R，m＋n＝1，则A，B的关系为__________． 解析：因为A⊆B，所以当x∉A时，m＝0，m(1－n)＝0； 当x∈A时，必有x∈B，即m＝n＝1，m(1－n)＝0. 综上，m(1－n)＝0. 因为对任意x∈R，m＋n＝1， 所以m，n的值一个为0，另一个为1，即当x∈A时，必有x∉B，或当x∈B时，必有x∉A， 所以A，B的关系为A＝∁RB. 答案：0　A＝∁RB 学科网（北京）股份有限公司 $