精品解析：福建省宁德市霞浦县2025-2026学年九年级上学期数学期中卷

霞浦县2025-2026学年第一学期九年级阶段性训练 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 2. 如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 3. 如图，在中，，是的中线，，则的长等于（ ） A. 5 B. 4 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵，是的中线，， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理，熟练掌握直角三角形斜边中线定理是解题的关键． 4. 如图，在中，点、分别为、上的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位线，比例的性质．熟练掌握中位线，比例的性质是解题的关键． 由题意知，，，，则，即． 【详解】解：∵点、分别为、上的中点， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 5. 已知代数式与的部分对应值如下表．根据表格中的数据，估算一元二次方程的一个解的取值范围是（ ） 1 2 3 4 2 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于的一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 6. 某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及甲与乙恰好选择同一项活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故选：C． 7. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ） A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米 【答案】A 【解析】 【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解． 【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2， ∴a≈2×0.618=1.236≈1.24． 故答案为：A 【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题． 8. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形肯定是相似图形，位似比等于相似比，相似图形的面积比等于相似比的平方，由此可解． 【详解】解：， ， 和的相似比为， 和的面积之比为， 故选C． 9. 如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染．设平均每台电脑传染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有64台电脑被感染，再建立方程即可． 【详解】解：根据题意得，第一轮被感染的电脑有台， 第二轮被感染的电脑有台， 则方程可列为． 故选：B． 10. 如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 12. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的变形代入求值，准确的计算是解决本题的关键． 将所求表达式拆分为，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 13. 如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，该几何体的体积为________． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查四棱柱，三视图，熟练掌握四棱柱的性质是解题的关键； 根据三视图得出棱柱底面菱形的对角线长分别为，，然后根据菱形的面积公式和棱柱的体积公式计算即可． 【详解】解：由三视图知，该几何体的形状是直四棱柱，棱柱底面菱形的对角线长分别为，． 所以棱柱的体积． 故答案为：48． 14. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约________（结果精确到0.1） 【答案】 【解析】 【分析】由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目部分数目相应频率．部分的具体数目总体数目相应频率． 15. 如图，点O是矩形的对角线的中点，交于点M，若，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，可得，，由勾股定理可得，进而解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，且，， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，求的长度是本题的关键． 16. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，，，则下列所有正确结论的序号是______． ①平分②③④ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． ①根据平行四边形的性质得，则是线段的垂直平分线，进而得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论结论①进行判断；②根据得是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；③过点作于点，先求出， ，证明是等腰直角三角形，可求出，证明和相似得，据此可对结论③进行判断，④分别求出，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴平分，故①符合题意； ②∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ③过点作于点，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形， 又∵， 由勾股定理得：， ∵， ， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； ， ， ， ， ， ， ，故④不符合题意， 综上所述：所有正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有配方法、因式分解法和公式法，选择正确的解法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 18. 如图，的对角线、相交于点．求证：是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理逆定理，熟练掌握菱形的几种判定定理是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为， ， ，若与关于点O位似，且点A的对应点坐标为． （1）请在图中做出（点B的对应点为点，点C的对应点为点）． （2）若中边上的高为m，则中边上的高为_________（用关于m的代数式表示）． （3）连接 则与四边形的面积比为________． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，与的相似比为，结合位似的性质作图即可． （2）根据相似三角形的性质：相似三角形的高的比等于相似比，可得答案． （3）结合位似的性质以及相似三角形的判定可得，相似比为，则可得与的面积比为，进而可得答案． 本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与的相似比为，中边上的高为， 中边上的高为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：与关于点位似，相似比为， ． ， ，相似比为， 与的面积比为， 与四边形的面积比为． 故答案为：． 20. 小明、小芳做一个“配色”的游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘转出了红色，转盘转出了蓝色，或者转盘转出了蓝色，转盘转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明获胜；在其他情况下不分胜负． （1）转动转盘一次，请直接写出转到红色的概率； （2）此游戏的规则，对小明、小芳是否公平？请利用列表或画树状图的方法解释说明． 【答案】（1） （2） 不公平，理由如下， 用列表法将所有可能出现的结果表示如下， 红 蓝 黄 红 （红，红） （蓝，红） （黄，红） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （黄，蓝） 红 （红，红） （蓝，红） （黄，红） 黄 （红，黄） （蓝，黄） （黄，黄） 上面等可能出现的种结果中，有种情况可能得到紫色，故配成紫色的概率是，即小芳获胜的概率是；但只有种情况才可能得到绿色，配成绿色的概率是，即小明获胜的概率是．而，故小芳获胜的可能性大，这个“配色”游戏对双方是不公平的． 【解析】 【分析】（1）转动转盘一次，可能出现的结果有种，其中红色的有种，由此即可求解； （2）用列表法将所有可能出现的结果表示出来，有种情况可能得到紫色，有种情况才可能得到绿色，由此即可求解． 【小问1详解】 解：转动转盘一次，可能出现的结果有种，其中红色的有种， ∴， 故转到红色的概率为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查用列表法或列举法求概率，理清题意，找出事件可能出现的结果，利用概率公式计算概率是解题的关键． 21. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 23. 如图，已知，为的中点． （1）求作线段，使得点在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的前提下，连接，相交于点，若，求． 【答案】（1） 解：如图所示，为所求； （2）32 【解析】 【分析】此题考查了作平行线与三角形中位线的性质，垂直平分线，相似三角形的判定与性质． （1）分别以点A点C为圆心，大于为半径画弧，连接两条弧的交点，交于点E，连接即可； （2）根据，易证，再根据相似三角形的性质结合三角形中位线的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，相交于点， ， ， 为的中点， 为的中点， 是的中位线， ， ， ， ． 24. 综合与实践 已知关于的一元二次方程（），且方程的两根为，． （1）当时，求方程的根． （2）若，，，且，恰好的两条直角边的长，求此的斜边的长． （3）若，且，求的值． （温馨提示：若一元二次方程的两个根为、，则有，） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理； （1）根据题意得原方程为：，解方程，即可求解； （2）根据题意得出原方程为：，根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据勾股定理即可求解； （3）根据题意得出原方程为：，设得出，根与系数的关系：根据已知，得出或，再求得原方程的判别式，进而求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴原方程为：， 可得： 【小问2详解】 解：∵，，， ∴原方程为： ∵方程的两根为，，且，恰好的两条直角边的长， ∴ ∴此的斜边的长为 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∴原方程为： ∴ 设 ∴ 由根与系数的关系： ∵，代入得：. ∴即 解得：或 ∵中， 当时， ∴当时，， 当时，，原方程无实根，舍去， 综上所述， 25. 如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题： （1）求的长； （2）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （3）是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （4）如图③，点是点关于的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？ 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）可证得，从而得出，进而得出； （2）根据点在线段的垂直平分线上得出，从而，从而求得结果； （3）过作于，可得出，从而得出，求得，根据的面积是矩形面积的列方程求解，得出结果； （4）连接，可推出当，，共线时，的值最小，连接，，设交于，作于，作于，可推出，，从而得出．利用相似三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故当为时，点在线段的垂直平分线上； 【小问3详解】 解：存在的值，使得的面积是矩形面积的，理由如下∶ 如图，过作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴， ∴， 解得负值舍去， ∴当时，的面积是矩形面积的， 【小问4详解】 解：如图，连接， ∵点是点关于的对称点， ∴， ∵， ∴当，，共线时，的值最小， 如图，连接，，设交于，作于，作于， 由知，，， 同理可得，， ∵点是点关于的对称点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形， '∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定及性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线表示出关键的数量． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 霞浦县2025-2026学年第一学期九年级阶段性训练 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，是的中线，，则的长等于（ ） A. 5 B. 4 C. 8 D. 6 4. 如图，在中，点、分别为、上的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知代数式与的部分对应值如下表．根据表格中的数据，估算一元二次方程的一个解的取值范围是（ ） 1 2 3 4 2 A. B. C. D. 6. 某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ） A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米 8. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染．设平均每台电脑传染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 12. 已知，则的值为___________． 13. 如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，该几何体的体积为________． 14. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约________（结果精确到0.1） 15. 如图，点O是矩形的对角线的中点，交于点M，若，，则的长为___________． 16. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，，，则下列所有正确结论的序号是______． ①平分②③④ 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解下列方程 （1） （2） 18. 如图，的对角线、相交于点．求证：是菱形． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为， ， ，若与关于点O位似，且点A的对应点坐标为． （1）请在图中做出（点B的对应点为点，点C的对应点为点）． （2）若中边上的高为m，则中边上的高为_________（用关于m的代数式表示）． （3）连接 则与四边形的面积比为________． 20. 小明、小芳做一个“配色”的游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘转出了红色，转盘转出了蓝色，或者转盘转出了蓝色，转盘转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明获胜；在其他情况下不分胜负． （1）转动转盘一次，请直接写出转到红色的概率； （2）此游戏的规则，对小明、小芳是否公平？请利用列表或画树状图的方法解释说明． 21. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 23. 如图，已知，为的中点． （1）求作线段，使得点在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的前提下，连接，相交于点，若，求． 24. 综合与实践 已知关于的一元二次方程（），且方程的两根为，． （1）当时，求方程的根． （2）若，，，且，恰好的两条直角边的长，求此的斜边的长． （3）若，且，求的值． （温馨提示：若一元二次方程的两个根为、，则有，） 25. 如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题： （1）求的长； （2）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （3）是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （4）如图③，点是点关于的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $