1.3 集合的基本计算（十二大题型）训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.3 集合的基本计算 题型一 交集的概念及运算 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．若集合，，求 3．已知集合，集合． (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围． 题型二 根据交集结果求集合或参数 4．已知集合，，若，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 5．已知集合，，若，则实数的所有取值组成的集合为 ． 6．已知非空集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型三 并集的概念及运算 7．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，集合满足：①每个集合恰有8个元素②.若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值与最小值之和为 . 9．设，，.求： (1)和； (2). 题型四 根据并集结果求集合或参数 10．满足的所有集合的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．设，，且，则实数组成的集合是 . 12．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 题型五 补集的概念及运算 13．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 14．设全集，若集合，，则 . 15．已知集合或，． (1)求，； (2)若，且，求实数k的取值范围． 题型六 根据补集运算确定集合或参数 16．全集，，，则a的值为（    ） A．2 B．8 C．3或5 D．2或8 17．已知，，且，则的值等于 . 18．已知集合，． (1)若，求集合； (2)设，若，求实数a的值． 题型七 交并补混合运算 19．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 20．全集，集合，，则 ． 21．已知集合，，实数集为全集. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 题型八 根据交并补混合运算确定集合或参数 22．集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 23．已知集合，求实数的取值范围 ． 24．已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 题型九 容斥原理的应用 25．现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 26．现有20个函数，其中奇函数的个数为12，偶函数的个数为10，既不是奇函数也不是偶函数的函数个数为2，则既是奇函数又是偶函数的函数个数为 . 27．已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 题型十 根据并集结果求集合元素个数 28．已知，，则中元素个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．以上都不对 29．集合满足，，则中元素个数的和为 ． 30．设集合，． (1)若，求，； (2)设，若集合C有8个子集，求a的取值集合． 题型十一 集合新定义 31．已知集合，集合，若对于中的任意两个不同的元素和，都有，则中元素个数的最大值是（    ）． A．676 B．675 C．672 D．671 32．用表示非空集合中的元素的个数，定义．已知，且，若的所有可能取值构成集合，则 ． 33．已知集合.对于集合的非空子集，如果存在两个元素，，满足，则称集合为集合的“好集合”. (1)试判断，是否为的“好集合”，并说明理由； (2)为的子集，且中元素均为偶数，证明：是的“好集合”； (3)若的任意含有个元素的子集都是的“好集合”，求的最小值. 题型十二 利用Venn图求集合 34．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 35．如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是 （填区域编号）. 36．已知，.    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 集合的基本计算 题型一 交集的概念及运算 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由交集定义计算即可得. 【详解】由，，则. 故选：D. 2．若集合，，求 【答案】 【分析】因为两集合均为点集，所以其交集为两曲线交点坐标. 【详解】由，解得或， 故， 故答案为：. 3．已知集合，集合． (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或或 (2) 【分析】（1）利用集合的运算即可得到答案； （2）根据集合间的包含关系，即可求解. 【详解】（1）若，集合，集合， 则， 或， 则或或； （2）集合，集合， 若，则. 题型二 根据交集结果求集合或参数 4．已知集合，，若，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由可得，进而根据元素与集合的关系求解即可. 【详解】由，则， 所以，此时，，满足， 则. 故选：C 5．已知集合，，若，则实数的所有取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】由，得，再根据集合中元素的互异性和集合的包含关系列方程组求解即可. 【详解】由，得，即， 或或， 实数的所有取值组成的集合为． 故答案为：． 6．已知非空集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合的补集与交集运算即可求解； （2）将转化为是的子集即可求解. 【详解】（1）当时，，或，或， 则或. （2）若，则集合是集合的子集，且，则有， 解得，故实数的取值范围为． 题型三 并集的概念及运算 7．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解出绝对值不等式，求出集合，再利用并集的运算求出. 【详解】，或， 或， 或，， ，所以. 故选：D. 8．已知集合，集合满足：①每个集合恰有8个元素②.若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值与最小值之和为 . 【答案】210 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照幸运数的定义求解即可. 【详解】因集合满足：①每个集合恰有8个元素②.故集合中一定分别含有8个不同数值. 当集合中元素的最小值分别是6，7，8时，最大值为29，22，15时，幸运数的和最小， 此时，，幸运数为；，幸运数为；幸运数为， 则取得最小值为； 当集合中元素的最小值分别是6，13，20时，最大值为29，28，27时，幸运数的和最大， 此时，，幸运数为；，幸运数为；幸运数为， 则取得最大值为. 故的最大值与最小值之和为. 故答案为：210. 9．设，，.求： (1)和； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用集合的交集与并集运算直接写出答案； （2）利用补集运算出与，再求交集即可. 【详解】（1）， ； （2）因为，， 所以. 题型四 根据并集结果求集合或参数 10．满足的所有集合的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，得到，结合列举法，即可求解. 【详解】由，可得， 则集合可能为，共有8个. 故选：D 11．设，，且，则实数组成的集合是 . 【答案】 【分析】先求出集合，再由可知，通过对参数进行分类讨论求出的取值集合. 【详解】由， 当时，，满足，故； 当时，，由可得：， 所以或解得或， 即实数组成的集合是， 故答案为： 12．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）利用交集的定义直接求解. （2）利用交集的结果，列式求解. （3）利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）当时，，或， 所以. （2）当时，则，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由，得，则或，解得或， 所以实数的取值范围是或. 题型五 补集的概念及运算 13．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用集合的并、补运算求解可得. 【详解】由题设，且，则. 故选：B 14．设全集，若集合，，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解. 【详解】依题意，或，而， 所以. 故答案为： 15．已知集合或，． (1)求，； (2)若，且，求实数k的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）先求出集合，再利用并集的定义求出，根据补集的定义求出； （2）根据集合包含关系，分和两种情况讨论，列不等式组求出实数k的取值范围． 【详解】（1）集合， 或或， ． （2），， 由（1）知，， 当集合时，需满足，无实数解； 当时， 需满足，解得， 实数k的取值范围是． 题型六 根据补集运算确定集合或参数 16．全集，，，则a的值为（    ） A．2 B．8 C．3或5 D．2或8 【答案】D 【分析】由补集的概念即可得出. 【详解】∵全集，，， ∴，得或． 故选：D． 17．已知，，且，则的值等于 . 【答案】/ 【分析】由交集结果得到，从而得到方程，求出，得到，，代入计算得到，求出答案. 【详解】，故， 所以，解得， 故， 又，故，， 所以，解得， . 故答案为； 18．已知集合，． (1)若，求集合； (2)设，若，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到且，列出方程组，求得的值，得到集合，利用集合并集的运算即可求解； （2）根据题意，得到，求得的值，验证集合元素的互异性，进而得到答案. 【详解】（1）由集合，， 若，可得且，则，解得， 所以，可得． （2）由集合，，， 若，则，解得或， 当时，，满足； 当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去. 综上所述，实数的值为． 题型七 交并补混合运算 19．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集、交集的知识求得正确答案. 【详解】由题意，或，所以. 故选：C 20．全集，集合，，则 ． 【答案】 【分析】先求出,再根据交集的定义求出结果. 【详解】因为全集，集合， 所以， 因为， 所以. 故答案为：. 21．已知集合，，实数集为全集. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；或. (2) 【分析】（1）由集合的交集、并集、补集运算即可求解； （2）由求解即可. 【详解】（1）当时，，或， 所以或； 又或， 所以或 （2），或， 因为，所以，解得：， 所以实数的取值范围为 题型八 根据交并补混合运算确定集合或参数 22．集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 23．已知集合，求实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】分析可知，分类讨论的符号，结合包含关系运算求解. 【详解】因为集合，， 若，则， 对于方程，则， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则中有两个元素， 可知，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 24．已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）直接根据补集定义求解； （2）分、、三种情况讨论集合的范围，结合子集关系求解； （3）分和两种情况，结合交集为空的条件求解. 【详解】（1）因为，，所以. （2）当时，，满足； 当时，，由得，解得； 当时，，由得，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）当时，，解得； 当时，，由得或，即或. 结合，得或. 综上，实数的取值范围是. 题型九 容斥原理的应用 25．现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 【答案】A 【分析】利用容斥原理即可得到答案. 【详解】该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为． 故选：A 26．现有20个函数，其中奇函数的个数为12，偶函数的个数为10，既不是奇函数也不是偶函数的函数个数为2，则既是奇函数又是偶函数的函数个数为 . 【答案】4 【分析】根据集合的容斥原理求解. 【详解】既是奇函数又是偶函数的函数个数为. 故答案为：4 27．已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)67. 【分析】（1）根据给定的定义，直接计算即得集合. （2）根据给定的定义求出集合，再利用集合相等求出. （3）设集合，求出对应的集合，再由建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）集合，则， ， 所以. （2）集合，，则集合中元素为： 显然，由，得，解得， 此时，所以. （3）设满足题意，其中， 则， 则，又，则， 由，由容斥原理，得， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 事实上当时满足题意， 理由如下：设，， 则，， 由，得，解得， 因此m的最小值为34，即当时，中元素最多，时满足题意， 所以的最大值是67. 题型十 根据并集结果求集合元素个数 28．已知，，则中元素个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．以上都不对 【答案】C 【分析】求得，即可求解. 【详解】， 所以中元素个数为8， 故选：C 29．集合满足，，则中元素个数的和为 ． 【答案】13 【分析】先求出，再结合利用容斥原理计算即可. 【详解】由题意，，， 则3，5，6均只属于A、B中的一个，一共3个数， 不妨设有x（）个属于A，则有个属于B， A中元素个数为， B中元素个数为， 所以A、B中元素个数的和为； 故答案为：13. 30．设集合，． (1)若，求，； (2)设，若集合C有8个子集，求a的取值集合． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）解方程得、，应用集合的交并运算求结果； （2）由题设集合C有3个元素，讨论、满足题设情况下的取值，即可得结果. 【详解】（1）由题设，， 所以，. （2）由，且集合C有8个子集，故集合C有3个元素， 当时，此时或满足题设； 当时，满足题设； 综上，. 题型十一 集合新定义 31．已知集合，集合，若对于中的任意两个不同的元素和，都有，则中元素个数的最大值是（    ）． A．676 B．675 C．672 D．671 【答案】A 【分析】根据题意可以得到M中的任意两个不同的元素x，y，若，都有，进而得到的最小值为3，进而求解即可. 【详解】对于中的任意两个不同的元素和，都有 不妨设，都有. 要想M所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3. 将1~2027这2027个元素按如下分组： ，，……，，， 故应在前组中按周期每组取一个元素，且第一组中不能取3， 第一组中取1时，可得或这样的集合， 第一组取2可得， 其中任意两元素差值都大于2，满足题意， 故M所含元素个数的最大值为. 故选：A 32．用表示非空集合中的元素的个数，定义．已知，且，若的所有可能取值构成集合，则 ． 【答案】1 【分析】解方程得到，由定义知道的值，再分类讨论得出结果. 【详解】解得或，即， ∵，∴或， 当时，方程，只有实数根， 所以且，得； 当时，方程， 时，方程有个不等的实数根，分别为和， 0不是方程的实数根， 若是方程的实数根，则， 若，则方程整理为， 方程的实数根，分别为，，此时，不满足条件， 若，则方程整理为， 方程的实数根，分别为，，此时，不满足条件， 若不是方程的实数根， 所以方程有个相等的实数根，即，得， 由上可知不符合题意， 综上：符合题意，. 故答案为：1 33．已知集合.对于集合的非空子集，如果存在两个元素，，满足，则称集合为集合的“好集合”. (1)试判断，是否为的“好集合”，并说明理由； (2)为的子集，且中元素均为偶数，证明：是的“好集合”； (3)若的任意含有个元素的子集都是的“好集合”，求的最小值. 【答案】(1)不是“好集合”， 是“好集合”. (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据好集合的定义判断即可； （2）先就、分类讨论，后者再就不同的取值分类讨论后可得是的“好集合”； （3）先由特例得，再利用反证法证明任意个元素的子集必定为 “好集合”，从而可得的最小值. 【详解】（1）由题设有， 对于，任意两个元素的差的绝对值的最大值为， 故不存在两个元素，，满足，故不是“好集合”. 对于，因为，而， 故存在元素，满足，故是“好集合”. （2），中所有的偶数为， 对于，不妨设， 则，故， 若，则为“好集合”. 若，则， 若，则，此时， 若，则；若，则， 若，则或， 若，则， 若，则；若，则， 若，则， 若，则，若，则， 若，则， 若，则；若，则， 综上，是的“好集合”. （3）我们首先证明：， 取，此时中元素的差的绝对值的最大值为， 即此集合中没有相异元素差的绝对值大于，不合题设，故； 下证：当时，任意个元素的子集必定为 “好集合”. 假设存在一个个元素的子集，它不是好集合， 设该集合为，且， 由平移对称性，不妨设，则， 因为，故存在即非空， 取为集合中的最小元素， 若，则， 故中无元素， 此时中元素最多为：，这些元素共个， 而中元素个数恰为，故， 但，与假设矛盾，故 若，则， 故中无元素， 此时中元素最多为：，这些元素共个， 而中元素个数恰为，矛盾，故， 同理可证，这与非空矛盾， 故当时，任意个元素的子集必定为 “好集合”. 题型十二 利用Venn图求集合 34．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简两个集合，即可根据补集和交集的定义，结合图形求解. 【详解】由，可得或，， 故或 由图可知阴影部分表示的集合为， 故选：D 35．如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是 （填区域编号）. 【答案】4 【分析】结合事件所表示的意义和韦恩图求出答案. 【详解】事件表示喜欢数学兴趣小组，且喜欢语文兴趣小组， 但不喜欢英语兴趣小组，故表示的区域为4. 故答案为：4 36．已知，.    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出. 【答案】(1)， (2)阴影涂黑见解析过程， 【分析】（1）根据集合交集、补集、并集的定义进行求解即可； （2）根据集合的描述性质，结合集合交集和补集的定义进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，或，， 因此， . （2）因为且， 所以“集合”的部分用阴影涂黑如下图所示：   . 1 学科网（北京）股份有限公司 $