1.2 集合间的基本关系（八大题型）训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.2 集合间的基本关系 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数 1．设集合，则满足的集合的子集最多个数是（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 2．适合条件的集合的个数 个. 3．设集合． (1)当时，求的真子集的个数； (2)若，求的取值范围． 题型二 求集合的子集（真子集） 4．已知集合，，则的真子集的个数为（    ） A． B． C． D． 5．集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则 . 6．设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 题型三 判断两个集合的包含关系 7．已知集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为 . 9．已知集合. (1)判断5，12，14是否属于A，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)求集合中范围在内的所有元素之和．（不需要过程，直接写答案） 题型四 根据集合的包含关系求参数 10．已知集合，，若，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D．1或2 11．设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是 ． 12．设，已知集合，. (1)当时，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 题型五 判断两个集合是否相等 13．若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 14．集合与 （填“是”或“不是”）相等集合． 15．已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合、； (2)若集合且， ①若，求证：； ②若，求证：. 题型六 根据两个集合相等求参数 16．设，，集合，，若，则（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 17．已知集合，若，则 . 18．已知，集合，． (1)若，求的值； (2)若，，求，的值． 题型七 空集的概念以及判断 19．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 20．关于的方程的解集是空集， ． 21．已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 题型八 空集的性质及应用 22．若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 23．若集合，则实数的取值范围是 . 24．已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 集合间的基本关系 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数 1．设集合，则满足的集合的子集最多个数是（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】先由并集分析集合的元素可能个数，再求子集个数即可. 【详解】因为集合，则满足， 所以集合的元素可能是2个，3个，4个， 所以集合的子集最多个数是个. 故选：C 2．适合条件的集合的个数 个. 【答案】 【分析】由题意知集合中元素的个数可以为个，分别写出符合题意的，由此即可解出答案. 【详解】由题意知集合中元素的个数可以为个， 当集合中元素的个数为个时，可以为：； 当集合中元素的个数为个时，可以为：、； 当集合中元素的个数为个时，可以为：. 综上所述：适合条件的集合有个. 故答案为：4 3．设集合． (1)当时，求的真子集的个数； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)7 (2){或} 【分析】（1）先确定集合A，，再确定，再由元素个数计算真子集的个数即可； （2）由题意，根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）当时，，， 此时，故的真子集的个数为； （2）若，则， 若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 题型二 求集合的子集（真子集） 4．已知集合，，则的真子集的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据交集的定义求出，再根据真子集个数公式求出的真子集个数. 【详解】由题意得集合，集合，因此， 根据真子集个数公式是， 因为有个元素，所以真子集个数为. 故选：C. 5．集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则 . 【答案】 【分析】将的所有非空子集进行分类，含0的，不含0却含，既不含0，也不含，只含的，进而求出答案. 【详解】的所有非空子集为分为以下几种情况， ①含0的子集个，这些子集均满足乘积为0， ②不含0，不含，但含有其他元素的子集，有（去掉空集）个， ③不含0，含有且含有其他元素的子集，有个， ④只含的子集一个，此时乘积为， 其中②③中的集合是一一对应的，且为相反数，其乘积之和为0， 综上，. 故答案为： 6．设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)1536 (2)或 【分析】（1）由题知，进而根据集合中的每个元素包含它的子集个数为计算求解即可； （2）分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素， 每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）解：当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． 题型三 判断两个集合的包含关系 7．已知集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，再根据元素与集合、集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】易得. 对于A，因，元素与集合之间不能用包含符号，故A错误； 对于B，C，因，两集合之间不能用属于符号，故B错误，C正确； 对于D，因，空集与集合之间不能用属于符号，故D错误. 故选：C. 8．已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为 . 【答案】3 【分析】确定集合，再结合子集、真子集的概念即可求解. 【详解】由题得，. 因为， 所以根据子集的定义，集合C必须含有元素2，5， 所以或或. 故答案为：3 9．已知集合. (1)判断5，12，14是否属于A，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)求集合中范围在内的所有元素之和．（不需要过程，直接写答案） 【答案】(1)，，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义可判断为中元素，利用反证法可判断不是中元素； （2）由，即可证明； （3）根据，同奇同偶和一奇一偶得中元素的特征，再求中所有元素和 【详解】（1）∵，，∴ 假设，则， 且，， ∴，或，均无整数解，∴ （2）∵集合，恒有 ∴，∴ （3）集合，成立， 当同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， 且，故， 当一奇一偶时，，均为奇数，为奇数 又由（2）知，. 综上，， 设集合中范围在内的所有元素之和为，则 . 题型四 根据集合的包含关系求参数 10．已知集合，，若，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D．1或2 【答案】B 【分析】解方程得集合，根据集合的关系即可得结果. 【详解】集合， 因为，，所以的值为2， 故选：B. 11．设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据集合非空，得出，然后根据当时，有，得到集合之间的包含关系，计算不等式即可得出答案. 【详解】解：因为非空，故； 当时，，， 当时，有，即，但，矛盾； 当时，，， 当时，有，即，即，故； 当时，，， 当时，有，即，即，解得， 综上，m的取值范围为. 故答案为： 12．设，已知集合，. (1)当时，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据元素与集合的关系列不等式并化简即可； （2）根据已知条件可知，再根据集合之间的关系列不等式，最后两种情况取并集即可. 【详解】（1），，解得：， 实数的取值范围为. （2）若，则， 解，得，集合， 当时，满足，此时，解得， 当时，满足，解得， 综上所述：实数的取值范围为 . 题型五 判断两个集合是否相等 13．若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系. 【详解】对于集合，当时，， 当时，，所以. 故选：A. 14．集合与 （填“是”或“不是”）相等集合． 【答案】是 【分析】解出集合，利用集合相等的概念可得出结果. 【详解】因为，所以或． 又，所以． 故答案为：是. 15．已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合、； (2)若集合且， ①若，求证：； ②若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合、即可； （2）根据题目定义，计算集合，再由、，分析元素之间的关系，即可证明. 【详解】（1）因为， ，， 所以. （2）且， 所以， ①证明： 因为， 所以， 所以. ②证明：因为， 又， 因为，所以， 所以， 又因为， 所以，即， 又，所以. 题型六 根据两个集合相等求参数 16．设，，集合，，若，则（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由集合相等求得的值，即可求得结果. 【详解】由题意可知，所以， 又，则，，所以． 故选：A． 17．已知集合，若，则 . 【答案】0 【分析】根据集合的相等列出方程，求解并验证即可. 【详解】由，得，解得或. 当时，，与集合中元素的互异性矛盾，经检验可知符合题意. 故答案为：0. 18．已知，集合，． (1)若，求的值； (2)若，，求，的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由可得，求解即可； （2）由，，可得即可求解． 【详解】（1）， ，解得或； （2）若，则 解得或． 题型七 空集的概念以及判断 19．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与常用数集的关系，以及集合与集合的关系，判断正确结果即可. 【详解】0是自然数，所以A正确； 是无理数，所以B错误； 中有一个元素，不是空集，所以C错误； ，都是点集，两点不同，所以集合不相等，所以D错误. 故选：A. 20．关于的方程的解集是空集， ． 【答案】/0.5 【分析】化简方程，分类讨论解方程即可求解． 【详解】由方程整理得， 当，即时，方程可化为，解集为空集，符合题意； 当，即时，由得且， 解得且，因为方程的解集为空集，故即． 故答案为：. 21．已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空集的定义即可得解； （2）利用集合的包含关系，分类讨论与两种情况即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 题型八 空集的性质及应用 22．若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 23．若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 24．已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $