专题01 集合（12大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题01 集合（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 集合的概念】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【知识清单2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【知识清单3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【知识清单4 集合的子集】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识清单5 集合相等与空集】 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【知识清单6 集合间关系的性质】 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【知识清单7 交集、并集与补集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识点8 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 题型1 对集合概念的理解 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·甘肃白银·期末）已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 题型2 元素与集合的关系 6．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高一上·广西玉林·期末）若，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．0 8．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 9．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 10．（25-26高一上·福建漳州·阶段练习）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 题型3 集合中元素的个数问题 11．（24-25高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 12．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 14．（24-25高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 15．（24-25高一上·广东中山·月考）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 题型4 有限集合子集、真子集的确定 16．（24-25高一上·河南开封·期末）集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 17．（24-25高一上·广东梅州·期末）设集合，，则满足的集合有（    ）种情况 A．1 B．2 C．3 D．4 18．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 19．（24-25高一上·河南开封·期末）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 20．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 题型5 判断集合间的关系 21．（24-25高一上·广东·期末）若，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·天津·阶段练习）以下关系①；②；③；④；⑤中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 24．（24-25高一上·上海·阶段练习）给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 25．（24-25高一上·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 题型6 根据集合间的关系求参数 26．（24-25高一上·云南·期末）已知集合，，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 27．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 28．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·重庆·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 30．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围． 题型7 交集、并集、补集运算 31．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）集合，，则（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·新疆喀什·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 35．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 题型8 交、并、补集的混合运算 36．（24-25高一上·山东威海·期末）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D．或 39．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知全集，集合，集合.求： (1)； (2)； (3). 题型9 集合的基本运算中的参数问题 41．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D．-2 42．（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知集合，，若，则的可能取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（24-25高一下·福建福州·期末）已知集合，则 . 44．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 45．（24-25高一上·四川广元·期末）已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 题型10 Venn图表达集合的关系和运算 46．（24-25高一上·重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知全集，集合，，则Venn图中的阴影部分如图表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 48．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，已知全集，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 49．（24-25高一上·陕西榆林·期末）如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 50．（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 题型11 容斥原理的应用 51．（24-25高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 52．（25-26高一上·江西·期中）现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 53．（25-26高一上·宁夏吴忠·月考）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 54．（24-25高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 55．（2025高三·全国·专题练习）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 题型12 集合中的新定义问题 56．（24-25高一上·河南南阳·期末）已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 58．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 59．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 60．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 集合的概念】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【知识清单2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【知识清单3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【知识清单4 集合的子集】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识清单5 集合相等与空集】 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【知识清单6 集合间关系的性质】 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【知识清单7 交集、并集与补集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识点8 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 题型1 对集合概念的理解 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，结合得的值即可求解. 【解答过程】由得，，即， 又，∴ 故 . 故选：C. 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合中的元素特征可得出集合. 【解答过程】因为，，则， 故选：B. 3．（24-25高一上·甘肃白银·期末）已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】变量分别从集合中取值即可，要做到不重不漏. 【解答过程】当时，； 当时，； 当或时，； 所以. 故选：B. 4．（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 【答案】 【解题思路】联立消元求解，用列举法表示集合. 【解答过程】由消去可得：， 可得：，， 所以解集为， 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 【答案】(1)能组成集合，为有限集 (2)能组成集合，为无限集 (3)能组成集合，为 (4)不能组成集合，理由见解析 【解题思路】根据对象是否确定判断能否构成集合，由元素的个数判断集合类型. 【解答过程】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集. （2）所给对象确定，能组成集合，为无限集. （3）所给对象确定，能组成集合，为空集. （4）所给对象不确定，不能组成集合. 题型2 元素与集合的关系 6．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【解答过程】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C. 7．（24-25高一上·广西玉林·期末）若，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．0 【答案】C 【解题思路】根据元素与集合的关系，即可根据求解. 【解答过程】因为，所以， 故选：C. 8．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【答案】B 【解题思路】分别令和，求得a值，根据集合的互异性，分析即可得答案. 【解答过程】因为，当，即时， 集合，不满足互异性，不符合题意， 当时，解得或（舍）， 当时，集合，满足题意. 故选：B. 9．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 【答案】 【解题思路】根据元素与集合关系及互异性求参数即可. 【解答过程】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为：. 10．（25-26高一上·福建漳州·阶段练习）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据集合元素的三要素即可求解； （2）由得或，分类讨论，验证是否满足集合即可； （3）由得或，分类讨论，最后验证是否满足题意即可. 【解答过程】（1）由题意有：，即，解得， 所以； （2）由，所以或， 当时，，又因为，不满足元素的互异性， 当时，即，解得或（舍去）， 所以； （3）由有或， 当时，化简有，又，所以该方程无解； 当时，化简有，解得或， 当时，，所以满足题意， 当时，，所以满足题意， 所以存在或，使得. 题型3 集合中元素的个数问题 11．（24-25高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【答案】A 【解题思路】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求. 【解答过程】若集合只有一个元素，则方程只有一个解， 当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得， 所以或. 故选：. 12．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解. 【解答过程】因为集合，， 所以, 故选：D. 13．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 【答案】 【解题思路】分，两种情况讨论可求的取值集合. 【解答过程】①若，则，解得，满足集合 中只有一个元素，所以符合题意； ②若，则为一元二次方程，因为集合有且只有一个元素， 所以，解得. 综上所述：的取值集合为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【解题思路】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案. 【解答过程】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 15．（24-25高一上·广东中山·月考）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【解答过程】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 题型4 有限集合子集、真子集的确定 16．（24-25高一上·河南开封·期末）集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【解题思路】计算出该集合后，可得元素个数，从而得到真子集个数. 【解答过程】，共有两个元素， 故其真子集的个数为. 故选：A. 17．（24-25高一上·广东梅州·期末）设集合，，则满足的集合有（    ）种情况 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】列举集合含有两个元素的子集，可得结果. 【解答过程】因为集合含有两个元素的子集有：，，共3个， 所以集合有3中情况. 故选：C. 18．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】根据真子集的个数得 ，即可求解. 【解答过程】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 故答案为：. 19．（24-25高一上·河南开封·期末）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 【答案】32 【解题思路】直接根据定义求出集合中的元素，再根据元素个数求出集合的子集个数即可. 【解答过程】因为定义集合，且，， 又， 所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，5共5个， 则集合的子集的个数为. 故答案为：32． 20．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【解题思路】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 题型5 判断集合间的关系 21．（24-25高一上·广东·期末）若，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断即可 【解答过程】对于A，为元素，为集合，所以，故A错误； 对于B，为集合，为集合，且，所以，故B正确； 对于C，为集合，是有序数对，故C错误； 对于D，为集合，为集合，且，故，故D错误. 故选：B. 22．（24-25高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【解答过程】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 23．（24-25高一上·天津·阶段练习）以下关系①；②；③；④；⑤中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【解题思路】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可. 【解答过程】对于①：因为0是集合的元素，所以，故①正确； 对于②：因为是集合的元素，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为，两个集合的元素全不相同，所以与之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为，两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 对于⑤，空集是任何集合的子集，则，故⑤对； 综上所述：正确的个数为3. 故选：C. 24．（24-25高一上·上海·阶段练习）给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【解题思路】利用空集的性质判断①，⑤，利用元素和集合的关系判断②，利用集合和集合的关系判断④，利用子集的性质判断③即可. 【解答过程】因为空集是任何集合的子集，所以①，⑤正确， 由元素和集合的关系得，故②错误， 一个集合是自身的子集，故③正确， 由集合和集合的关系得，故④错误. 故答案为：①③⑤. 25．（24-25高一上·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【答案】(1)，是的真子集； (2)． 【解题思路】（1）当时求出集合A与B，再判断关系； （2）求出集合B，注意对与分类讨论，根据，列方程求解． 【解答过程】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 题型6 根据集合间的关系求参数 26．（24-25高一上·云南·期末）已知集合，，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 【答案】B 【解题思路】根据包含关系可知，分或两种情况讨论，结合元素互异性可得. 【解答过程】因为，，， 所以，所以或，即或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，，满足. 综上，. 故选：B. 27．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】由集合相等的定义建立方程求得结果. 【解答过程】∵， ∴，解得， 故选：B. 28．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【解答过程】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 29．（24-25高一上·重庆·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用集合的包含关系直接求出范围. 【解答过程】集合，，，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 30．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）由为非空数集，得，即，结合子集的概念，得到不等式，算出实数的取值范围； （2）由为非空数集，得，即，结合真子集的概念，得到不等式，算出实数的取值范围； 【解答过程】（1）因为为非空数集，得，解得， 若，则，解得，即实数的取值范围是； （2）因为为非空数集，得，解得， 若⫋，则或， 解得，即实数的取值范围是． 题型7 交集、并集、补集运算 31．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先化简集合B，然后由交集的概念即可判断. 【解答过程】由题得，又，所以． 故选：D. 32．（24-25高一下·新疆喀什·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据并集的定义计算即可求解. 【解答过程】因为集合，，所以 . 故选：B. 33．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解出不等式后可得，再利用补集定义计算即可得. 【解答过程】由可得，则， 则. 故选：B. 34．（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 【答案】 【解题思路】根据集合的交集以及并集的定义即可求解. 【解答过程】由知， . 故答案为：. 35．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时， （2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围. 【解答过程】（1）若，则， 所以， （2）因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为. 题型8 交、并、补集的混合运算 36．（24-25高一上·山东威海·期末）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合交并补运算的定义直接运算即可. 【解答过程】因为 ，所以. 又，所以 . 故选：D. 37．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意结合集合的补集和并集运算求解即可. 【解答过程】因为全集，集合，则 所以 故选：A. 38．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】根据交集、补集的定义计算可得. 【解答过程】因为，， 所以， 所以 或. 故选：C. 39．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合venn图即可求解； 【解答过程】 由图可知，，不是空集， ， 故选：C. 40．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知全集，集合，集合.求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用交集的定义可求得集合； （2）（3）利用并集和补集的定义可求得结果. 【解答过程】（1）因为集合，集合，则. （2）因为全集， 则，故. （3）由题意可得，则. 题型9 集合的基本运算中的参数问题 41．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D．-2 【答案】A 【解题思路】由得.易知且不符合题意，则，解之即可求解. 【解答过程】由，得. 若，则，不符合题意； 又，所以，解得. 故选：A. 42．（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知集合，，若，则的可能取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据集合的并运算,结合集合的元素满足互异性即可求解. 【解答过程】由于，，，所以或, 故选：B. 43．（24-25高一下·福建福州·期末）已知集合，则 . 【答案】3 【解题思路】直接由交集的定义即可求解. 【解答过程】因为，所以，所以. 故答案为：3. 44．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【解题思路】（1）先计算，再计算； （2）由得，再分类讨论. 【解答过程】（1）当时，，则或， 则或. （2）若，则, 当时，，即； 当时，，得， 则实数m的取值范围为. 45．（24-25高一上·四川广元·期末）已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1) ， 或； (2) 【解题思路】（1）利用交集和并集概念求出答案； （2）先得到，，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）时，，又或， 故 或 ， 或 或； （2），故， ， 当时，，解得，与矛盾，舍去， 当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 题型10 Venn图表达集合的关系和运算 46．（24-25高一上·重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定的图形，利用韦恩图，结合集合的运算判断即可. 【解答过程】由韦恩图知，阴影部分不在集合中，在集合中，其集合表示为. 故选：C. 47．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知全集，集合，，则Venn图中的阴影部分如图表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据图中表示的集合，利用集合间的运算可得结果. 【解答过程】集合，集合， 易知图中阴影部分表示的集合是， 故选：A. 48．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，已知全集，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据韦恩图得出阴影部分表示的集合是，利用集合的交并补运算即得. 【解答过程】由图知阴影部分表示的集合是, 因， ， 则，故. 故选：D. 49．（24-25高一上·陕西榆林·期末）如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系即可. 【解答过程】在阴影部分区域内任取一个元素，则，且， 所以阴影部分可表示为 . 故选：D． 50．（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【解答过程】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 题型11 容斥原理的应用 51．（24-25高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 【解题思路】利用容斥原理可得. 【解答过程】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 52．（25-26高一上·江西·期中）现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 【答案】A 【解题思路】利用容斥原理即可得到答案. 【解答过程】该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为． 故选：A. 53．（25-26高一上·宁夏吴忠·月考）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【解答过程】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C. 54．（24-25高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【答案】6 【解题思路】根据韦恩图计算得到答案. 【解答过程】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人， 可得，解得． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6. 55．（2025高三·全国·专题练习）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【解题思路】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【解答过程】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 题型12 集合中的新定义问题 56．（24-25高一上·河南南阳·期末）已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据集合对元素的要求，求得集合,再根据交集并集的定义判断A,B两项，根据集合新定义和的元素要求，分别求出集合判断即得. 【解答过程】由可得可能的取值有，即，均满足，故. 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，因，故，故C项正确； 对于D项，依题有，,则，故D项错误. 故选：C. 57．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】C 【解题思路】ABD举反例即可，C选项给出证明. 【解答过程】取，则，故A错误； 取，则，不是无理数，故B错误； 设，，则，，故C正确； 取，， 由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被整除或被整除的全体整数集， 取，则，不能被或整除，即，故D错误. 故选：C. 58．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 【答案】 【解题思路】求出集合，利用题中定义可得出集合，利用并集的定义可得出集合，确定集合的元素个数，由此可得出该集合的真子集个数. 【解答过程】因为，则， 又因为，故， 所以，集合有个元素，故集合的真子集个数. 故答案为：. 59．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 【答案】(1)答案见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）根据“完美子集类”的定义，写出集合U的所有“完美子集类”即可； （2）（i）由A是U的“完美子集类”，可知对于任意的，从而，即可证得；（ii）由A是U的“完美子集类”及“完美子集类”得定义可得，则，通过证明，即可得证. 【解答过程】（1）集合U的“完美子集类”有: ,, ,,. （2）（i）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的， 从而， 所以. （ii）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的，， 从而                      下证： 一方面，且或， 即； 另一方面， 或且，即 故. 60．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)至多只有5个，理由见解析 【解题思路】（1）根据新定义判断是否具有性质即可； （2）利用反证法，假设具有性质，可得集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾，从而得证； （3）分①5，6，7同时选，②5，6，7选2个，③5，6，7中只选1个，三种情况讨论，分别利用新定义求解即可. 【解答过程】（1）∵，，，，， ∴具有性质． （2）假设具有性质，那么有1不能有4，有2不能有5，有3不能有6， 那么集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾， ∴不可能具有性质． （3）．将这11个数分为，，，，，，，7个集合， ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10； 选7则不选3，11；则只剩4，8，又不能同时选，故1，2，3．．．，11中属于集合的元素个数不超过5个． ②5，6，7选2个， 若选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选5，7，则1，3，9，11，6不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． ③5，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个， 由上可知，属于集合的元素至多只有5个. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $