1.1 集合的概念（七大题型）训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1 集合的概念 题型一 根据集合中元素的个数求参数 1．集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 2．如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为 . 3．已知实数集，定义. (1)若，求； (2)若均为正数，，求的元素个数的取值范围； (3)若，求集合. 题型二 集合元素互异性的应用 4．已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 5．如图，线段相交于O，且长度构成集合，，则x的取值个数为 . 6．已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 题型三 利用集合中元素的性质求集合元素个数 7．集合中的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知集合，，记且.则 ， . 9．设数集A由实数构成，且满足：若且，则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. （提示：） 题型四 列举法求集合中元素的个数 10．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 11．若集合，则集合的元素个数为 ． 12．已知非空集合．用表示集合中元素的个数．设且，且． (1)若，直接写出以及的值． (2)若，求的取值范围． 题型五 常用数集或数集关系应用 13．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，则将化为的形式为 ． 15．（1）已知集合，试用列举法表示集合； （2）已知集合，试用列举法表示集合． 题型六 集合的分类 16．设集合M＝{大于0小于1的有理数}， N＝{小于1050的正整数}， P＝{定圆C的内接三角形}， Q＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是（    ） A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q 17．有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是 . ①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数 18．下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 题型七 根据集合相等关系进行计算 19．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 20．若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 21．已知集合，则不等式的解集为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合的概念 题型一 根据集合中元素的个数求参数 1．集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的元素可求得的范围. 【详解】若集合中恰有5个元素，则， 所以. 故选：C. 2．如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为 . 【答案】4 【分析】集合只有1个元素，即方程只有1个解，分一元一次、一元二次方程进行讨论即可. 【详解】当时，只有1个解，符合题意； 当时，对于一元二次方程只有1解，则，解得. 综上实数的所有可能值的和为， 故答案为：4. 3．已知实数集，定义. (1)若，求； (2)若均为正数，，求的元素个数的取值范围； (3)若，求集合. 【答案】(1) (2) (3)或者 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据集合中的元素具有互异性，分类讨论互不相等且不成比例和中存在比例关系，求的元素个数的取值范围. （3）根据可得，然后分中个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； 【详解】（1）根据题意可得. （2）若均为正数，，集合中的元素具有互异性， 不妨设，则，故中至少有5个元素， 而中共有对不同的元素，因此最多有6个不同的乘积. 取,此时，此时的元素个数， 取，则，此时的元素个数， 故的元素个数的取值范围为， （3）若，可得， 其次中有个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者 ①当时， 则，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到， 进而，从而. 所以或者. 题型二 集合元素互异性的应用 4．已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】分类讨论，得到方程组，结合元素互异性，得到，求出答案. 【详解】由， 若，解得，此时中元素不满足互异性，舍去； 若，解得或， 当时，中元素不满足互异性，舍去； 当时，中元素满足互异性，所以. 故选：A 5．如图，线段相交于O，且长度构成集合，，则x的取值个数为 . 【答案】6 【分析】画出等效图形，分和两种情况由勾股定理求出对应值即可； 【详解】 如图， 因为，且长度构成集合， 因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和， 所以或， 当时，可分为 ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； 当，可分为 ，解得； ，解得； ，解得； 所以x的取值个数为6， 故答案为：6. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答. 6．已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 题型三 利用集合中元素的性质求集合元素个数 7．集合中的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】讨论的值，从而得到的值即可求解. 【详解】因为集合，所以，， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，不是整数，不满足条件； 当时，，满足条件； 综上：共有3个元素； 故选：C 8．已知集合，，记且.则 ， . 【答案】 【详解】由及可得可能的取值有1，2，3，6，即，4，3，0，故.因为且，所以；又且，则. 9．设数集A由实数构成，且满足：若且，则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. （提示：） 【答案】(1)证明见解析； (2)不是，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据集合的性质代入3计算可得集合中还含有两个元素； （2）根据集合中元素的互异性，易证明集合中至少含有三个元素； （3）利用（2）中的结论可知集合中的元素个数需为3的倍数，再由元素个数不超过8个以及所有元素的积可确定A中的元素个数必为6个，再由所有元素的和为即可得出结论. 【详解】（1）证明：根据题意若，则， 若，则， 若，则， 因此可得集合， 即可知集合中除了含有3之外，还含有两个元素. （2）由且，可得， 由可得， 由可得，且，易知方程均无解； 所以； 即可得集合中至少含有3个元素， 所以集合A不可能为只含有两个元素的集合. （3）由（2）可知，若，则， 易知集合中的元素个数需为3的倍数， 若A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 由可知集合A中不可能只有3个元素，则集合A中的元素个数必为6个； 因此6个元素的积必为1，不妨取，解得或(舍)； 可知， 又所有元素的和为，不妨设， 根据提供解析式可解得或或, 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据集合A中的元素性质，证明得出集合A中的元素个数必是3的倍数，再由元素个数以及所有元素的和及其积的性质计算即可得出集合A. 题型四 列举法求集合中元素的个数 10．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】先由不等式得出或的范围，进而根据取整数值要求得到其可能的值，再结合不等式求解. 【详解】因为 所以，又， 所以，结合，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 所以， 所以中元素的个数为， 故选：C. 11．若集合，则集合的元素个数为 ． 【答案】 【分析】令，，分别求出对应的，即可写出集合. 【详解】由题意可知，当时，可取； 当时，可取；当时，不存在， 故，元素个数为 故答案为： 12．已知非空集合．用表示集合中元素的个数．设且，且． (1)若，直接写出以及的值． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据题意可得，，从而可得，再分别求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）根据题意可得，, 所以. （2）令，且， 任取两个元素作和，可得：，共个， 任取两个元素作差，可得：，共个， 因此，，则有； 显然，当时，， 此时集合T中只有3个元素，因此， 对于是满足的任意4个实数， 必有， 显然，当时，集合S中只有5个元素， 因此，所以， 综上所述，的取值范围为. 题型五 常用数集或数集关系应用 13．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据常见数集的表示方式，逐一判断，即可得答案. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，所以①正确； 对于②，为整数，而表示整数集合，所以，所以②错误； 对于③，为正整数，而表示正整数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，所以④正确． 故选：C 14．有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，则将化为的形式为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，建立方程求解即得. 【详解】依题意，，令，则，解得， 所以. 故答案为： 15．（1）已知集合，试用列举法表示集合； （2）已知集合，试用列举法表示集合． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由，，可列举出的值，得出的值，即可写出集合； （2）由且，可列举出的值，得出相应的的值，即可写出集合． 【详解】解：（1）由，，知可为3，4，6，12，即为0，1，3，9， 所以集合用列举法表示为； （2）因为且，所以，则相应的值为4，3，2，1， 所以集合用列举法表示为． 题型六 集合的分类 16．设集合M＝{大于0小于1的有理数}， N＝{小于1050的正整数}， P＝{定圆C的内接三角形}， Q＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是（    ） A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q 【答案】B 【分析】利用集合中元素的个数有限与无限进行判断，即可得出结论． 【详解】解：集合M＝{大于0小于1的有理数}，是无限集， N＝{小于1050的正整数}，是有限集， P＝{定圆C的内接三角形}，是无限集， Q＝{所有能被7整除的数}，是无限集， 故选：B． 17．有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是 . ①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数 【答案】②③④ 【分析】根据有理数的定义，将无限循环小数整理为分数性质，逐项检验，可得答案. 【详解】由于，设，得， 两式相减得，解得，于是得，故③正确； 因为，可以化为的形式，故是有理数，故①错误，②正确； 无限循环小数也可以化成，且，m与n互质）的形式，故无限循环小数是有理数，故④正确． 故答案为：②③④． 18．下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 【答案】(1)是有限集 (2)是无限集 (3)是空集 (4)是有限集 【分析】（1）利用判别式判断即可； （2）根据二次一次方程的性质分析判断； （3）解不等式组判断； （4）根据有限集的定义判断. 【详解】（1）因为，所以有两个不相等的实根， 所以一元二次方程的全体实数根组成的集合有两个元素，为有限集； （2）因为方程有无数组解， 所以满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合为无限集； （3）由，得，不等式组无解， 所以满足条件和的实数x组成的集合为空集； （4）因为我国的少数民族的个数是有限的， 所以我国的少数民族组成的集合为有限集. 题型七 根据集合相等关系进行计算 19．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 20．若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 21．已知集合，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】集合，由集合相等及集合的互异性可得的值，代入即可得解集． 【详解】解： 若，则无意义， 故有 此时有， 或（舍去，因为中不满足集合的互异性） 代入得 ，解得此不等式解集为R， 故答案为R． 【点睛】本题考查集合相的条件，要特别注意求得的值不能使集合中的元素相同，本题难度不大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $