新疆实验中学2025-2026学年高三上学期攻坚突破质量检测（第三次月考）数学试题

2023级新疆实验中学高三攻坚突破质量检测（第三次月考) 数学试卷（答案卷） 1 2 3 5 6 8 9 10 11 D A D B B B C ACD ABC AD 一、单选题 1.已知复数z满足z=(2-i)i,则z=() A.8 B.2√5 C.5 D.5 【答案】D 【分析】先利用？=-1对z进行化简，再根据复数模的计算公式求解. 【详解】i2=-1,.=(2-i)i=2i-i2=1+2i, H=2+22=V5, 故选：D. 2.“x>2”是“x2-2x>0”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解出二次不等式后利用充分条件与必要条件定义即可得. 【详解】x2-2x=x(x-2)>0,解得x<0或x>2, 故“x>2”是“x2-2x>0”的充分不必要条件 故选：A, 3.已知集合A={2,4,816,B={y|y=1og2x,x∈A},则A∩B=() A.1,2 B.{0,1,2,3} C.1,2,3} D.{2,4} 【答案】D 【分析】求对数函数的值域可得集合B,再应用集合的交运算求A⌒B 【详解】由题设，B=1,2,3,4},又A={2,4,8,16,所以A∩B={2,4.故选：D 试卷第1页，共17页 4.给定三点A(1,0)、B(-1,0)、C(1,2),则过点A且与直线BC垂直的直线经过点() A.(0,0) B.(0,1) C.(-1,0) D.(0,-1) 【答案】B 【分析】先求出直线BC的斜率，再通过点斜式写出该直线的方程，最后将选项中的点代入 方程验证，确定符合条件的点 详解】k:乙，设过点A且与直线BC垂直的直线斜率为k 由k.kc=-1,得k=-1, 过点A(1,0)、斜率为1的直线方程是y-0=-1×(x-1),即y=-x+1 对A:代入(0,0)：0≠-0+1，不满足： 对B:代入(0,1)：1=-0+1，满足； 对C:代入(-1,0)：0≠-（-1)+1=2，不满足： 对D:代入(0，-1)：-1≠-0+1，不满足. 故选：B 5.如图，己知空间四边形OABC,M,N分别是边OA,BC的中点，点G满足MG=2GN, 设OA=a,OB=i,O元=c,则OG=() B ++B.名+5+ A. C. a+i+1 33 3 66 D.2++28 6 6 61 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算一步步将向量O化为关于OA,OB,OC，即可整理得出答 案 高三数学答案卷第2页，共17页 【详解】OG=OM+MG=1oA+M=OA+(MA+AB+BW) ai+a1+oe-ai+c āa远a丽】， 6 3 3c. 故选：B 6.已知ā=(2,2,1)，b=(1,1,0),则ā在b上的投影向量的坐标关于x0z平面对称的向量坐 标为 A.（-1,1,0) B.（-2,-2,0) C.(2,-2,0) D.(-2,-2,1) 【答案】C 【分析】先求出a在上的投影向量坐标，再求其关于xOz平面对称的向量，即得答案 【详解】由题意知a=(2,2,1),b=(1,1,0),则a6=2×1+2×1+1×0=4, aB B 4 b 则a在五上的投影向量为万可万 =26=(22,0, 故a在b上的投影向量的坐标关于xOz平面对称的向量坐标为(2，-2,0)， 故选：C 7.如图，圆锥PO的底面直径为2，高为4，过线段PO上的一点O作平行于底面的截面， 以截面为底面挖出一个圆柱，则该圆柱表面积的最大值为() A.2元 B.8n C. 5π 3 D.4π 【答案】B 试卷第3页，共17页 【分析】首先根据相似三角形的性质求出圆柱的高与圆柱半径之间的关系，然后列出圆柱表 面积的表达式，根据一元二次函数的性质即可求出最大值， 【详解】设P0h,根据相似三角形的性质可得：4力_5 ,得到h=4-4r,0<r<1. 41 为：9=2加2+2mh=2加+2加(4-4)=-6w+8m=-6m 所以当？=2时，圆柱取最大值 8 3 故选：B 8.己知EF是棱长为6的正方体的一条体对角线，点M在正方体表面上运动，则M匠.M厅的 最小值为() A.0 B.-9 C.-18 D.36 【答案】C 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得M征M的表达式 OM-27,确定O☑的最小值，即得答案 【详解】如图， M EF是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一 条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为√6+6+6 =3√5，设外接球球心为O,则 2 OF=-OE, 则M匝·M派=(Mo+0E(Mo+o列=(M0+o羽(Mo-o -MOI -OF=MO-(33)-OM-27, 由于点M在正方体表面上运动，故OMP的最小值为球心O与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为氵3，所以远Mm的最小值为-27=18 故选：C 二、多选题 高三数学答案卷第4页，共17页 9.若m,n均为正数，且满足m+2n=2,则() A.mm的最大值为2 B. 1+1的最小值为3+22 nn C.2+4的最小值为4 D. 2+严的最小值为1+22 m n 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1的妙用，逐项计算判断即可. 【详解】正数m,n满足m+2n=2, 对于A,由2=m+21≥2√21，得m1≤行当且仅当m=21=1时取等号，A正确： 1l1 当且仅当2”=”，即m=√51=2V5-2时取等号，B错误： nn 对于C,2m+4≥2√2.4”=2√2m2m=4,当且仅当2"=4”，即=2n=1取等号，C正确： 对于D,2+=+2+-1+2m≥1+2， 2u-1+25, m n m n m n m n 当且仅当2-"，即m=√1=2V2-2时取等号，D正确 故选：ACD 10.己知平面向量OA、OB、OC为三个单位向量，且OA.OB=0,若OC=xOA+vOB (x,y∈R),则x+y的可能取值为() A.0 B.1 c.√2 D.2 【答案】ABC 【解析】以向量OA、OB方向为x,y轴建立坐标系，则终点在单位圆上的向量 OC=(cos6,sin日)，可计算x+y=cos6+sin6取值范围，即得结果 【详解】依题意，OA、OB是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量OA、OB作为 一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C(cos8,sin)(0表示由x轴非负半轴旋转到 OC所形成的角)构成的向量OC,8e[0,2r), 试卷第5页，共17页 4=(1,0),OB=(0,1),OC=(cose,sine),OC=x04+yoB, 所以x=6os8y=m8,故x+y=cos8+m6=5n6+4到，92， 故x+y∈「-V2,√2，故可以是选项中的0,1，√， 故选：ABC 11.在直三棱柱ABC-ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=AA,=4,E,F分别是BC,AC 的中点，D在线段B,C上，则() A.EF//平面AABB B.直线BF与平面ABC所成角的正弦值为Y5 C.直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为22 D.直三棱柱ABC-AB,C的外接球半径为25 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系利用空间位置关系的向量证明判断A:由线面角的向量求法计 算判断B:利用异面直线向量求法求出直线BD与直线EF所成角最小时点D的位置判断C: 确定直三棱柱ABC-AB,C的外接球球心位置并计算半径，D正确。 【详解】在ABC-AB,C直三棱柱中，AA⊥平面ABC,又AB,ACC平面ABC, 则AA⊥AB,AA⊥AC,又∠BAC=90°，因此AB,AC,AA两两垂直， 以A为坐标原点，AB,AC,AA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图： 高三数学答案卷第6页，共17页 B B E 对于A,点E(2,2,0),F(0,2,4),EF=(-2,0,4),平面A4BB的一个法向量为m=(0,1,0), 则EF.L=0,又EF丈平面AABB,因此EF∥平面AABB,A正确： 对于B,平面ABC的一个法向量为i=(0,0,1),设直线EF与平面ABC所成的角为O, 则sin0=cos(EF,)= 1EF.列425 元2V5x1)，B错误： 对于C,点B(4,0,0),B(4,0,4),C(0,4,4),B,C=(-4,4,0), 由D在线段B,C上，设B,D=2B,C=(←4,4,0)，其中1∈[0,1]， 则BD=BB,+BD=(0,0,4)H（4242,0上（4242,4)， 因此直线BD与直线BP所成的角的余弦值为cos(亚，BD上丽BD 8(1+2) |EFI‖BD12√5.V16+3222 1+2 √5 2+4元+4 V5V1+25 222+1 令函数fa)=2+42+4,[0,1求导得f=-2(2+24-D 222+1 (222+1)2 当e0时，f()>0,当e(年时，)<0， 因此f()在0上单调递增，在]上单调递减，则当=时，()取得最大值， 由余弦函数单调性得此时直线BD与直线B所成的角最小，因此D=G,BD=V万， 线段BD长为√4+(2)2=3√2，C错误： 对于D,由AB=AC=4,∠BAC=90°，得△ABC为等腰直角三角形， △ABC外接圆圆心为BC的中点，外接圆半径为2√2， 因此直三棱柱ABC-AB,C的外接球球心即为CCB,B的中心O,OE=2, 试卷第7页，共17页 则外接球半径为AE2+0B2=V(2√2}+2=25，D正确 A C D E 故选：ABD 三、填空题 3,则cos2a= 12.若coS= 【答案】名 【分析】利用诱导公式求出cos,再由二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】因为cosa=}所以csa=2oa-1=2×(引 1)2 故答案为：弓 13.若酒数()-hxam-2x在[ ,2 上存在单调递减区间，则实数α的取值范围 为」 【答案】（仁1，+∞) 【分行1利州小0.经等价转化得到a~是车区同行)1有架，放只需求是子 在（合2上的最小值即可 【详解】依题意，N(x)=1--2<0在区间 上有解， 故只需求f()=tP-2t在t (仁2上的最小值， 21 而ft)=t2-2t=(t-1)-1,当t=1时，取得最小值-1，故得a>-1, 则实数a的取值范围为(-1，+∞). 故答案为：（-1，+0) 高三数学答案卷第8页，共17页 14.已知一球内切于棱长为45的正四面体，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一 个小球，则这样一个小球的体积最大为 【答案】2m 3 【分析】根据题意作图，利用正四面体的结构性质，计算相关线段长度（如高AG),结合 体积法（将正四面体体积分解为四个以内切球心为顶点的小三棱锥体积之和）求出内切球半 径R,通过分析空隙处小球的位置，构造相似三角形△AO,H和△AOF,利用相似三角形对应 边成比例求出空隙处小球的最大半径”，最后根据球的体积公式计算小球体积即可. 【详解】如图，由题意知球和正四面体A-BCD的三个侧面以及内切球都相切时半径最大， 设内切球球心为O,半径为R,空隙处的最大球球心为O, 半径为？，由正四面体结构特征可知G为△BCD的中心，AG⊥面BCD,设E为CD中点， 球O和球O分别与面ACD相切于F和H. 易得B服-4(2可=6BG子B=4AG3A-: 由s=n+e+m+4a,可得R-0+Soe+S知+4m 3VA-BCD 又侵45x6小水45-16w6,8w=8ae=8=8e-方4N5x6=1w5 故R=3x166-5,A0=4G-G0=4W5-2x2-r=2N2-r. 4x12W3 A0=AG-G0=4W2-√2=3√5， 3解得， 又由△4OH∽△AOF,可得A0=Dp,即2二I-r ,即空隙处的最大 2 球的半径为2 2 试卷第9页，共17页 所以空隙处的最大球的体积为管 2 3 故答案为： √2π 3 四、解答题 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD=4, AB=2,M是PD中点. A B (1)求证：直线PB∥平面ACM; (2)求三棱锥D-ACM的体积. 【答案】0明见解折：e 【分析】(I)连接AC与BD交于点N,连接MN,由中位线定理可得PB∥MN,进而得证； 1 (2)由PA⊥平面ABCD,M是PD中点，可得M到平面ABCD的距离为二PA=2,再根 据等体积法求解即可。 【详解】(I)连接AC与BD交于点N,连接MN, M D B 则MN为△PBD的中位线，所以PB∥N 又PB丈平面ACM,MNC平面ACM, 所以直线PB∥平面ACM (2)'PA⊥平面ABCD,M是PD中点， 高三数学答案卷第10页，共17页2023级新疆实验中学高三攻坚突破质量检测（第三次月考） 数学试卷（问卷） （卷面分值：150分考试时间：120分钟) 注意事项： 1.本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷4页，答卷4页。答题前请考生务必将自 己的班级、姓名、准考证号的信息填写在答题卡上。 2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择 题必须用2B铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选 涂其它答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损、不能使用涂改液、修正带。 3.考试结束后，请将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题只有一项是符合题目要求的， 。已知复数：满足z=(2-)i,则= A.8 B.2W5 C.5 D.5 2.“x>2”是“x2-2x>0”的 A,充分不必要条件B.必要不充分条件C,充要条件D.既不充分也不必要条件 3.己知集合A={2,4,8,16,B={y川y=logx,x∈A,则A∩B= A.{1,2 B.{0,12,3 C.{1,2.3 D.{2,4 4.给定三点A1,0)、B(-1.0)、C(1,2),则过点A且与直线BC垂直的直线经过点 A.(0,0) B.(0,) C.（-1,0) D.(0.-1 5.如图，已知空间四边形OABC,M,N分别是边OA,BC的中点，点G满足MG=2G 设0A=a,O8=b,0C=c,则0G= A5+特 B点+时 c+2+ 6.已知a=(2,2,),6=(11,0),则a在i上的投影向量的坐标关于x0z平面对称的向舞坐 标为 A.（-1l,0 B.(-2,-2,0) c.(2,-2.0) D、（-2-2) 高三数学第1页共4页 7.如图，圆锥P0的底面直径为2，高为4，过线段P0上的一点0作平行于底面的截面 以截面为底面挖出一个圆柱，则该圆柱表面积的最大值为 A.2元 3 c号 D.4元 8.已知EF是棱长为6的正方体的一条体对角线，点M在正方体表面上运动，则MEM派的 最小值为 A.0 B.9 C.-18 D.-36 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若m,n均为正数.且满足m+2n=2,则 A.m的最大假为时 B.L+的最小值为3+2N5 m n C.2+4"的最小值为4 D.2+四的最小值为1+25 m n 10.已知平面向量OA、0B、O元为三个单位向量，且O.OB=0,若0C=x0A+y0 (x,yER),则x+y的可能取值为 A.0 B.1 c.5 D.2 11.在直三棱柱ABC-ABG中，∠BAC=90°，AB=AC=AM.=4,E,F分别是BC,AC 的中点，D在线段B8C,上，则 A.EFII平面AABB B.直线EF与平面ABC所成角的正弦值为Y5 C,直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为2√5 D.直三棱柱ABC-A4B,G的外接球半径为2y5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2.若co5a-7,则0s2a2 「11 13.若函数()=hx-ar-2x在72上存在单调递减区间，则实数a的取值范周 为 岛兰数学第2页共4页 1g已知球内切于棱长为43的正四面体，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一 个小球，则这样·个小球的体积最大为、一 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骡. 15.(本题满分13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2, M是PD中点 (I)求证：直线PBH平面ACM: (2)求三棱锥D-ACM的体积. 16.(本题满分15分) 已知正项数列{a}的前n项和为S,且a元，=2Sn+n+1,a,=2. (1)求数列{a}的通项公式a. (2)若b。=a。·2”,数列{也}的前n项和为T,求使T,>2025的最小的正整数n的值. 17.(本题满分15分) 记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2b+c=2 acosC. ()求角A的大小：(2若△ABC的面积为y5 ∠BAC的角Ψ分线AM交BC于点M,且 AM=2,求△ABC的岗长 高三数学 第3页共4页 18.(本题满分17，分) 如图，四棱推P-ACD的底面ABCD足正方形，.PD⊥平面ABCD,PD=AD=2,已知E,F 分别为PAPC的中点，平面DEF与棱PB交于点G (I)求证：DE⊥平面PAB: (2)求平面CDG与平面ABCD的火角的余弦值： (3)判断线段EF上是否存在一点H,使得点H到平面CDG的距离为点？若存在，请求出 18 点H的位置：若不存在，请说明理由. 19.(本题满分17分) 已知函数f(x)=ae--lnr-x. ()当a=2时，求f(x)任x=】处的切线与坐标轴围成的三角形面积： (2)若对任意的x>1,f(x)20恒成立，求a的取值范围. 高三数学第4页共4页