精品解析：广东省深圳市宝安第一外国语学校2025-2026学年上学期九年级数学月考卷

宝中外九上数学第14周月考试卷 一、选择题 1. 深圳本土某乳制品品牌的“屋型”牛奶盒子如图所示，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 三个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直相等的四边形是正方形 C. 正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3. 若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（ ） A. a是19的算术平方根 B. b是19的平方根 C. 是19的算术平方根 D. 是19的平方根 4. 关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点和都在该图像上 D. 当时， 5. 如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为( ) A. B. C. D. 6. 已知下列图中的虚线均为平行线，则线段，，，的数量关系为的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题 9. 已知，则___________． 10. 如图，已知直线与双曲线交于，两点，则不等式的解集为________． 11. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________． 12. 如图，在中，点在边上，，，交的延长线于点，若，，则______． 13. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 三、解答题（共7小题） 14. 计算： （1） （2） 15. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 16. 为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）、C（体操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项．为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数； （3）已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率． 17. 如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长． 18. 请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” （1）小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． （2）如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． （3）如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)． 19. 小华同学学习函数知识后，对函数通过列表﹣描点﹣连线，画出了如图所示的图象． 请根据图象解答： （1）【观察发现】 ①完成描点，把图象补充完整； ②表格中： ______， ______； ③写出函数的一条性质：______； ④若函数图象上的两点，满足，则．______（填“对或错”） （2）【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n（）个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接，． ①求当时，直线l的解析式和的面积； ②直接用含n的代数式表示的面积． 20. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝中外九上数学第14周月考试卷 一、选择题 1. 深圳本土某乳制品品牌的“屋型”牛奶盒子如图所示，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图．掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应体现在三视图中． 左视图是从物体的左边看，所得的图形．据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得：该立体图形的左视图是： 故选：C． 2. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 三个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直相等的四边形是正方形 C. 正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了真假命题，涉及了轴对称与中心对称图形，矩形，菱形，正方形的判定定理，熟练掌握有关定理是解题的关键． 根据矩形，菱形，正方形的判定定理以及轴对称与中心对称图形即可作出判断． 【详解】解：A、三个角是直角的四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、正方形是轴对称图形是轴对轴图形，但也是中心对称图形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题正确，是真命题，符合题意． 故选D． 3. 若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（ ） A. a是19的算术平方根 B. b是19的平方根 C. 是19的算术平方根 D. 是19的平方根 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据求平方根的方法解方程，求一个数的算术平方根和平方根，先解方程得到，再根据平方根和算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是19的算术平方根， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意， 故选：C． 4. 关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点和都在该图像上 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由于，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意； B、由于，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意； C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意； D、当时，，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意； 故选：D． 5. 如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作于H，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出． 【详解】如图，， 作于H， ∴，， ∵， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 、 【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 6. 已知下列图中的虚线均为平行线，则线段，，，的数量关系为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【详解】解：A、由图知，，即，故选项不符合题意； B、由图知，，即，故选项不符合题意； C、由图知，，即，故选项符合题意； D、由图知，，即，故选项不符合题意； 故选：C． 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得知二次函数与轴的交点为，从而可以排除B、C选项，再根据的取值即可得出答案 【详解】解：二次函数的解析式为， 二次函数与轴的交点为， 故B、C选项错误，不符合题意； 当时，反比例函数的图象经过一、三象限，二次函数开口向上，故A选项错误，不符合题意； 当时，反比例函数的图象经过二、四象限，二次函数开口向下，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解题的关键． 8. 如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，，根据已知条件分别证明，，四边形，四边形和四边形为矩形，即可得出，，，根据已知条件可以证明，得出，设点A的坐标为：，即可得出，得出，根据勾股定理，结合正方形的面积，列出，最后将代入求出k的值即可． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ，， ∴， ∴， ， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 同理可得：四边形和四边形为矩形， ，，， 设点A的坐标为：， ，， ， ，即， ∵正方形的面积为12， ， 在中，由勾股定理得，即， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定等等，设出点A的坐标，找出m与k的两个关系式，是解题的关键． 二、填空题 9. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等式推导得到与的数量关系，再代入所求分式，约分后得到计算结果. 【详解】解：由交叉相乘得， 移项合并同类项得， 将代入得， . 10. 如图，已知直线与双曲线交于，两点，则不等式的解集为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及数形结合的思想，求出点的坐标是解题的关键． 根据对称性求出点坐标，然后找出正比例函数落在反比例函数图象上方或相交时对应的的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴由图象可得，当或时，正比例函数在反比例函数图象上方或相交，即， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 11. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长． 【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分， ∴AC⊥BD，在Rt△AOE中， ∵OE=3，OA=4， ∴根据勾股定理得， ∵AE=BE， ∴， 在Rt△AOB中， 即菱形的边长为， ∵点F为的中点，点O为DB中点， ∴ ． 故答案为 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键． 12. 如图，在中，点在边上，，，交的延长线于点，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】延长至使，作交于，根据等腰三角形的性质得到，由得到，由，得到，由，得到，从而即可得到，再通过边的转换求出的长，最后通过勾股定理先算出的长，最后再用一次勾股定理即可算出答案． 【详解】解：如图所示，延长至使，作交于， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、边和角度的转换、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质、平行线的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 13. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 三、解答题（共7小题） 14. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值及零次幂，绝对值，有理数的乘方，二次根式的加减，熟练掌握特殊三角函数值及零次幂是解题的关键； （1）先算特殊三角函数值及零次幂，绝对值，有理数的乘方，最后进行二次根式的加减即可； （2）根据特殊三角函数值及零次幂进行计算，最后进行二次根式的加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 15. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）首先转化成一般式，然后利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ，，， ， ， 解得，． 16. 为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）、C（体操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项．为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数； （3）已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率． 【答案】（1）80； 完整条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的关联，以及用画树状图或列表法求概率，解题关键是理解题意，能结合两种图形获取有效信息． （1）已知A项目所占圆心角度数为，可根据，先求出其占总人数的比例，再根据A项目人数为32人，即可求出总人数；进而根据总人数求出 C类人数，即可完成条形统计图； （2）由（1）中 C类人数，可先求出其占总人数的比例，再用比例与相乘即可求出对应圆心角的度数； （3）首先画出树状图，由图可得所有等可能的结果数量，以及恰好两名性别相同的学生的结果数量，再根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知，本次被调查的学生共有：（人） C项目人数为：（人）； 【小问2详解】 C类对应的圆心角的度数为：． 【小问3详解】 画出树状图如下所示： 由上图可得，共有12种等可能的结果，其中两名性别相同的学生的结果有4种， ∴恰好两名性别相同的学生的概率为：． 17. 如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝EC， ∴四边形AECF是菱形； （2）DG＝． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质判定四边形AECF是平行四边形，根据AF=FC，即可得结论； （2）根据矩形和菱形的性质证明△ADG∽△EAB，对应边成比例即可求出DG的长． 【详解】解：（1） 略 （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD＝BC， 在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3， 根据勾股定理，得 AE＝＝＝5， ∵四边形AECF是菱形， ∴EC＝AE＝5， ∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠AEB， ∵DG⊥AE， ∴∠DGA＝∠B＝90°， ∴△ADG∽△EAB， ∴＝，即＝， ∴DG＝． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 18. 请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” （1）小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． （2）如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． （3）如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)． 【答案】（1）正确， 证明如下： 由，可得． 又， ， ， ． （2） 证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则； 又，， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ； （3）k 【解析】 【分析】（1）由，可得，求证，即可求解； （2）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则，推出四边形和四边形都是平行四边形，即可求解； （3）根据反比例函数的几何意义求解面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图（2），连接，，则． 又， ， ，， ， ． 19. 小华同学学习函数知识后，对函数通过列表﹣描点﹣连线，画出了如图所示的图象． 请根据图象解答： （1）【观察发现】 ①完成描点，把图象补充完整； ②表格中： ______， ______； ③写出函数的一条性质：______； ④若函数图象上的两点，满足，则．______（填“对或错”） （2）【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n（）个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接，． ①求当时，直线l的解析式和的面积； ②直接用含n的代数式表示的面积． 【答案】（1） ①根据表格描点连线，如图： ②，； ③函数有最大值为4（答案不唯一）； ④错； （2）①，；②． 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，三角形的面积等知识，利用平行线进行等面积转化是解题的关键． （1）①根据表格描点连线即可；②把x，代入函数解析式分别求得a、b的值；③根据函数图象可得性质；④观察表格，当时，，求得，代入解析式求得，进行验证即可求解； （2）①首先利用待定系数法求出直线的解析式，当时，直线的解析式为设直线与轴交于，利用平行线之间的距离相等，可得的面积的面积，从而得出答案；②设直线与轴交于，同理得的面积的面积，即可解决问题． 【小问1详解】 解：①略 ②把x，代入函数解析得， ∴； 把代入函数解析式得y， ∴； 故答案为：，； ③由图象知：函数有最大值为4，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； 故答案为：函数有最大值为4（答案不唯一）； ④观察表格，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴不成立； 故答案为：错； 【小问2详解】 解：①设直线的表达式为，则， 解得． ∴直线的表达式为， 当时，直线l的表达式为， 设直线与y轴交于，则的面积的面积， ∴， ∴的面积为； ②．设直线与轴交于， ∵， ∴的面积的面积， 由题意知，， ∴ ， ∴． 20. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】 （1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）3 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $