精品解析：江西省赣州市兴国县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷 说明： 1．本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案一律写在答题卷上，否则无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 直径是一个圆中最长的弦 C. 两个相等的圆心角所对的弧一定相等 D. 长度相等的两条弧是等弧 3. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，是弦，若，则等于（ ） A. 68° B. 64° C. 58° D. 32° 6. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分．共18分） 7. 抛物线的顶点坐标为 _____． 8. 已知点与是关于原点的对称点，则的值是______． 9. 如图，四边形是的内接四边形，是它的一个外角，若，则的度数是___________． 10. 如图，将绕点A顺时针旋转，得到，若点B的对应点D在线段上，则的大小为_____． 11. 如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为______． 12. 如图，一副直角三角板ABC和DEF，∠F＝30°，将ABC和DEF放置如图2的位置，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上，ABC固定不动，当EDF绕点D逆时针旋转至180°的过程中（不含180°），当旋转角为_____时，EF与ABC的边垂直． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1）； （2）． 14. 如图，正方形内接于，M为的中点,连接．求证：． 15. 列方程解应用题：如图，在一块边长为的正方形铁皮的四角各截去一边长为的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是，求边长x． 16. 如图，锐角是⊙的内接三角形，E为边的中点，D在边的延长线上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作出的平分线； （2）在图2中，作出的平分线． 17. 已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求函数的最小值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程x2﹣2(m﹣2)x+m2＝0有实根． (1)求m的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝56，求m的值． 19. 【问题原型】 （1）如图①，正方形的边长为a．将对角线绕点C顺时针旋转得到线段，连接，过点E作，交的延长线于点F，易证，从而得到的面积为　　　　；（用含a的代数式表示） 【变式探究】 （2）如图②，在矩形中，，将对角线绕点C顺时针旋转得到线段，连接，求的面积．（用含m的代数式表示） 20. 如图1，圆形拱门屏风是家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图2是一款拱门的示意图，其中C为的中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端． （1）求拱门最高点D到地面的距离； （2）现需要给房间内搬进一张长和宽均为、高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）当，时，写出该“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 22. 根据下表素材，解决实际问题． 背景 《哪吒之魔童闹海》热映，哪吒与敖丙联名玩偶成为消费市场热门商品，某知名网购平台商家抓住热度开展系列销售活动，希望通过科学的数据分析与策略制定，实现销量与利润的双重提升． 素材1 该网络平台商家3月4日首批上架销售哪吒与敖丙联名玩偶共200个，凭借热度，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个； 素材2 经成本核算，玩偶每个生产成本为30元，前期市场调研显示，当售价为每个60元时，日销量稳定可达100个； 素材3 为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家计划推出降价优惠活动，并且通过小范围试点发现：每降价1元，日销量可相应增加10个． 基于上述材料，完成以下任务 任务一 计算3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； 任务二 当每个玩偶降价多少元时，当日销售总利润可达到3640元？ 任务三 若商家以日销售利润最大化为核心目标，应将每个玩偶降价多少元？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，抛物线的对称轴为 ；当时，抛物线的对称轴为 ； 当a为任意负实数时，抛物线的对称轴为 ． （2）求证：无论a取什么值，抛物线恒过两个定点，并求出这两个定点的坐标． （3）当时，如图2，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．Q是抛物线上的一个动点，且在第二象限内，过点Q作直线轴，交于点M，P是y轴上一点，当时，求出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷 说明： 1．本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案一律写在答题卷上，否则无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形的概念：如果一个图形绕着一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 直径是一个圆中最长的弦 C. 两个相等的圆心角所对的弧一定相等 D. 长度相等的两条弧是等弧 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，垂径定理，根据圆的定义和性质，逐一判断各选项的正确性． 【详解】A．∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但弦可能是直径，此时不一定垂直，∴A错误； B．∵直径是通过圆心的弦，且是圆中最长的弦，∴B正确； C．∵只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，∴C错误； D．∵等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定等弧，∴D错误． 故选：B． 3. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位， 根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为， 故答案选：A． 4. 已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将，，三个点分别代入抛物线求得，，，即可得到答案 【详解】将，，三个点分别代入抛物线得：，，， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 5. 如图，是的直径，是弦，若，则等于（ ） A. 68° B. 64° C. 58° D. 32° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是90°，求出∠ADC，再根据圆周角的性质，求出∠ABC． 【详解】解：∵是的直径， ∴∠ADB=90°， ∵， ∴∠ADC=90°-32°=58°， ∴∠ABC=∠ADC=58°， 故选：C． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角是90°和圆周角的性质，解题关键是根据同弧把要求的角转化为与已知有关系的角． 6. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况可以判断，根据抛物线顶点纵坐标大于，可以判断，二次函数的图象经过点，再根据图象当时可以判断，由得，即函数与的交点，可以判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴，故正确； 由得：， 即函数与的交点， 如图， ∴，，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分．共18分） 7. 抛物线的顶点坐标为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式顶点坐标：，直接进行作答即可． 【详解】解：的顶点坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标．熟记顶点式的顶点坐标为：是解题的关键． 8. 已知点与是关于原点的对称点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标各互为相反数，求出和的值，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴它们的横坐标和纵坐标各互为相反数， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 9. 如图，四边形是的内接四边形，是它的一个外角，若，则的度数是___________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，对角互补，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴ 故答案为： 10. 如图，将绕点A顺时针旋转，得到，若点B的对应点D在线段上，则的大小为_____． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：由旋转可得：， ， ． 故答案为：． 11. 如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设球的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设球的半径为，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即球的半径为， 故答案为：5． 12. 如图，一副直角三角板ABC和DEF，∠F＝30°，将ABC和DEF放置如图2的位置，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上，ABC固定不动，当EDF绕点D逆时针旋转至180°的过程中（不含180°），当旋转角为_____时，EF与ABC的边垂直． 【答案】75°或120°或165° 【解析】 【分析】分EF⊥AC，EF⊥BC，EF⊥AB三种情况利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图1所示，当EF⊥AC时，延长CA交EF于G， ∵∠F=30°，EF⊥AC，即∠FGH=90°， ∴∠GHF=60°， ∴∠DHC=60°， 又∵∠ACB=45°， ∴∠HDC=180°-∠HCD-∠DHC=75°， ∴当旋转角为75°时，EF⊥AC； 如图2所示，当EF⊥BC时，延长CB交EF于G， ∴∠EGD=90°， ∵∠F=30°，∠EDF=90°， ∴∠E=60°， ∴∠EDG=180°-∠EGD-∠E=30°， ∴∠FDG=60°， ∴∠FDC=120°， ∴当旋转角为120°时，EF⊥BC； 如图3所示，当EF⊥AB时，延长AB交EF于G，设DF与AB交于H， ∴∠FGH=90°， ∵∠F=30°， ∴∠FHG=60°， ∴∠BHD=120°， 又∵∠ABC=45°， ∴∠BDH=180°-∠BHD-∠HBD=15°， ∴∠HDC=165°， ∴当旋转角为165°时，EF⊥AB； 综上所述，当旋转角为75°或120°或165°时，EF与△ABC的边垂直， 故答案为：75°或120°或165°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，三角板中角度的计算，熟练运用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解是解决问题的关键． （1）根据因式分解求解一元二次方程即可； （2）移项，提取公因式，再根据因式分解求解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 即， 或， 解得或； 【小问2详解】 解：移项， 即， ， 或， 解得或． 14. 如图，正方形内接于，M为的中点,连接．求证：． 【答案】 证明：正方形中，, ∴, ∵M为的中点, ∴. ∴. ∴. ∴. 【解析】 【分析】正方形中，,故,可证得，相应的. 【详解】略 【点睛】本题考查正方形的性质，圆的弧、弦、圆心角关系定理；同圆内，由弧的相等关系导出弦的相等关系是解题的关键． 15. 列方程解应用题：如图，在一块边长为的正方形铁皮的四角各截去一边长为的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是，求边长x． 【答案】原正方形铁皮的边长为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．然后根据题意列出方程，再解方程即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得（不合题意，舍去）． 答：原正方形铁皮的边长为． 16. 如图，锐角是⊙的内接三角形，E为边的中点，D在边的延长线上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作出的平分线； （2）在图2中，作出的平分线． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查作图－复杂作图，圆周角定理，圆内接四边形的性质及垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）连接并延长交于点F，连接，根据垂径定理可知F为中点，再根据圆周角定理可知，为所求； （2）连接并延长交于点G，连接，，由圆内接四边形的性质可得，由圆周角定理可得，由垂径定理可得，从而得出，即射线平分． 【小问1详解】 解：如图，连接并延长交于点F，连接，即为所求； ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：连接并延长交于点G，连接并延长交于点F，连接，作射线，为所求， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形（四点共圆）， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即平分． 17. 已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1） （2）最小值为 【解析】 【分析】本题考查了抛物线解析式的求解及二次函数的最值问题，熟练掌握抛物线的表达式形式和二次函数的性质是解题的关键． （1）利用抛物线的交点式，结合与坐标轴的交点坐标，代入求解得到抛物线的解析式； （2）将抛物线解析式化为顶点式，结合抛物线的开口方向与对称轴，分析给定区间内函数的增减性，进而求出函数的最小值． 【小问1详解】 解：与轴交于、两点，与y轴交于点， 解得： 故该抛物线的解析式是． 【小问2详解】 解：， 抛物线的对称轴为，开口向上， 当时，随的增大而增大， 当时，时取得最小值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程x2﹣2(m﹣2)x+m2＝0有实根． (1)求m的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝56，求m的值． 【答案】(1)m≤1；(2)m＝﹣2． 【解析】 【分析】（1）由方程有实根，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围； （2）利用根与系数的关系可分别表示出x1＋x2与x1x2的值，利用条件可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣2(m﹣2)x+m2＝0有实根， ∴△≥0，即[﹣2(m﹣2)]2﹣4m2≥0，解得m≤1； (2)∵方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝2(m﹣2)，x1x2＝m2， ∴x12+x22＝(x1+x2)2﹣2x1x2＝4(m﹣2)2﹣2m2＝2m2﹣16m+16， ∵x12+x22＝56， ∴2m2﹣16m+16＝56，解得m＝﹣2或m＝10， ∵m≤1， ∴m＝﹣2． 【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根判别式与方程根的关系是解题的关键． 19. 【问题原型】 （1）如图①，正方形的边长为a．将对角线绕点C顺时针旋转得到线段，连接，过点E作，交的延长线于点F，易证，从而得到的面积为　　　　；（用含a的代数式表示） 【变式探究】 （2）如图②，在矩形中，，将对角线绕点C顺时针旋转得到线段，连接，求的面积．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先根据正方形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可得； （2）根据旋转的定义和线段的定义画出图形即可；过点作，交的延长线于点，先证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可得； 【详解】（1）正方形的边长为， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：． （2）过点作，交的延长线于点，    四边形是矩形， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中，， ， ， 则的面积为． 20. 如图1，圆形拱门屏风是家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图2是一款拱门的示意图，其中C为的中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端． （1）求拱门最高点D到地面的距离； （2）现需要给房间内搬进一张长和宽均为、高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：） 【答案】（1）拱门最高点D到地面的距离为 （2）搬运该桌子时能够通过拱门 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键． （1）连接．由垂径定理可得，再用勾股定理解求出，即可求解； （2）如图2，连接，由垂径定理可得，用勾股定理解求出，比较与抬起后桌子的高度即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图1，连接． ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∴拱门最高点D到地面的距离为． 【小问2详解】 解：如图2， 为桌子的宽度，分别交于点P，Q，连接， 则，，， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）， ∴． ∵， ∴搬运该桌子时能够通过拱门． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）当，时，写出该“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）9 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式： （1）先根据勾股定理求出的值，再代入方程求解即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴“勾系一元二次方程”为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 22. 根据下表素材，解决实际问题． 背景 《哪吒之魔童闹海》热映，哪吒与敖丙联名玩偶成为消费市场热门商品，某知名网购平台商家抓住热度开展系列销售活动，希望通过科学的数据分析与策略制定，实现销量与利润的双重提升． 素材1 该网络平台商家3月4日首批上架销售哪吒与敖丙联名玩偶共200个，凭借热度，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个； 素材2 经成本核算，玩偶每个生产成本为30元，前期市场调研显示，当售价为每个60元时，日销量稳定可达100个； 素材3 为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家计划推出降价优惠活动，并且通过小范围试点发现：每降价1元，日销量可相应增加10个． 基于上述材料，完成以下任务 任务一 计算3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； 任务二 当每个玩偶降价多少元时，当日销售总利润可达到3640元？ 任务三 若商家以日销售利润最大化为核心目标，应将每个玩偶降价多少元？ 【答案】任务一：；任务二：4或16；任务三：10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务二：设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到3640 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 任务三：设日销售利润为w，根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】任务一：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：日平均增长率为； 任务二：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：，， 答：每个玩偶降价4或16元； 任务三：设日销售利润为w， 根据题意得， ∵ ∴当时，w有最大值4000． ∴应将每个玩偶降价10元． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，抛物线的对称轴为 ；当时，抛物线的对称轴为 ； 当a为任意负实数时，抛物线的对称轴为 ． （2）求证：无论a取什么值，抛物线恒过两个定点，并求出这两个定点的坐标． （3）当时，如图2，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．Q是抛物线上的一个动点，且在第二象限内，过点Q作直线轴，交于点M，P是y轴上一点，当时，求出点M的坐标． 【答案】（1）直线；直线；直线 （2）抛物线恒过两个定点，定点坐标为，； （3）点M的坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式，代入数据求解即可； （2）二次函数整理得，当时，取值与无关，解方程即可证明； （3）设，则，由，结合平行线的性质推出，得到，利用两点之间的距离公式列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：当时，抛物线为，对称轴为直线； 当时，抛物线，对称轴为直线； 当a为任意负实数时，抛物线的对称轴为直线； 故答案为：直线；直线；直线； 【小问2详解】 证明：， 当时，取值与无关，， 解得，， ∴抛物线恒过两个定点，定点坐标为，； 【小问3详解】 解：当时，抛物线的解析式为， 令，则， 令，则， 解得或， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 整理得， 解得（舍去），， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合问题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，全等三角形的性质，理解题意是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $