2.3有理数的乘除运算 融汇贯通讲义 2025-2026学年北师大版 七年级数学上册

本讲义聚焦有理数乘除运算核心知识点，系统梳理乘法法则（含同号异号判定、多个数相乘符号规则、倒数概念）、乘法运算律，衔接除法法则及乘除混合运算顺序，最终延伸至实际应用，构建“法则-运算律-混合运算-应用”的完整学习支架。 资料特色鲜明，采用口诀化记忆（如乘法“同号得正异号得负”口诀）、表格化技巧（倒数求法表）辅助理解，融入各地期中真题练习，结合温度变化、行程问题等多场景应用培养模型意识，通过分层设计提升抽象能力与运算能力，课中助力教学，课后便于学生查漏补缺。

2.3 有理数的乘除运算（融汇贯通讲义） 北师大版（2024）七年级数学上册 知识目录 【知识点1：有理数乘法】 1 【知识点2：有理数乘法运算律】 3 【知识点3：有理数除法】 4 【知识点4：有理数乘除混合运算】 5 【知识点5：有理数乘除法的实际应用】 6 巩固与提升 【知识点1：有理数乘法】 · 基本法则：两数相乘时，同号得正，异号得负，同时把两个数的绝对值相乘；任何数与0相乘，结果都为0。比如，，。 有理数乘法运算口诀: 1.同号相乘得正，异号相乘得负； 2.绝对值先相乘，符号再按规则定； 3.任何数乘 0 得 0，0 无倒数要记牢； 4.多个非 0 数相乘，负因数个数定符号： 5.负因数奇个得负，偶个得正； 6.1 乘任何数不变，-1 乘得相反数； 7.倒数乘积为 1，正负保持一致（如正倒数正，负倒数负）。 · 多个有理数相乘规则：几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定。负因数个数为奇数时，积为负；负因数个数为偶数时，积为正；若相乘的数中有一个因数是0，那么整个积就为0。例如: ，，。 · 倒数概念：乘积是1的两个有理数互为倒数。要注意0没有倒数，而1和 -1的倒数是它们本身。比如:的倒数是，的倒数是。 数的类型 求倒数技巧 示例 非0整数 整数作分母，分子为1，符号与原数一致 的倒数： 分数（真/假） 直接交换分子、分母位置，符号保持不变 的倒数： 小数（有限/循环） 先转化为最简分数，再按分数求倒数的方法计算 （化为）的倒数： 带分数 先转化为假分数，再交换分子、分母位置 （化为）的倒数： 通用验证技巧 求完倒数后，用“原数×倒数”验证结果是否为1，确保正确 验证： 【练习加强：有理数乘法】 （25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知算式的值为，则“”内应填入的运算符号为（ ） A． B． C． D． （25-26六年级上·上海青浦·期中）若，，且，则的值为() A． B． C．1或 D．5或． （25-26七年级上·河北衡水·期中）对于，若，则其结果为（   ） A．负数 B．0 C．正数 D．无法确定 （25-26七年级上·安徽滁州·期中）下列运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． （25-26七年级上·贵州铜仁·期中）一个数的倒数为，则这个数是（   ） A． B． C． D． （2024七年级上·四川成都·专题练习）已知：，并且a、b、c都不等于0，把a、b、c 三个数按从大到小排列是（    ） A． B． C． D． 【知识点2：有理数乘法运算律】 有理数乘法运算律： 运算律名称 定义 表达式 示例 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把所得的积相加 【练习加强：有理数乘法运算律】 （25-26六年级上·全国·课后作业）计算下列各题时，运用的方法和乘法分配律一样的是(    ) A． B．计算后，用验算 C．想，得出 D．竖式计算(如图) （25-26七年级上·河北保定·期中）下表是嘉淇的解题过程，下列说法正确的是（　　） 第一步 第二步 第三步 A．解题运用了乘法交换律 B．从第一步开始出错 C．从第二步开始出错 D．从第三步开始出错 （25-26七年级上·广东湛江·期中）计算：的值为（   ） A． B． C． D． （25-26六年级上·黑龙江绥化·期中），应用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 【知识点3：有理数除法】 · 核心法则：一是除以一个不为0的数，等同于乘这个数的倒数，公式表示为；二是两数相除，同号得正，异号得负，且把绝对值相除。另外，0除以任何一个不为0的数，结果都为0，但0不能作为除数。比如： ，，。 有理数除法运算口诀 1. 除法转乘法，倒数来当家（a÷b=a×b1​，b=0）； 2. 同号相除得正，异号相除得负； 3. 绝对值相除，结果要记牢； 4. 0 除以非 0 得 0，0 作除数可不行； 5. 小数、带分数先转化，最简形式再计算。 【练习加强：有理数除法】 （25-26七年级上·湖北孝感·期中）如下表，x、y两个量成正比例关系，则“Δ”处应填（    ） x 7 Δ y 5 10 A．2.5 B．3.5 C．12 D．14 （25-26七年级上·陕西渭南·期中）计算（   ） A．3 B． C．4 D． （25-26九年级上·湖北武汉·期中）你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄，把树干的横截面看成圆形的，如果一棵20年树龄的树的树干直径是，这棵树的半径平均每年增加（    ） A． B． C． D． （25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，直尺上的刻度对应数轴上的数是（   ） A． B． C． D．0 【知识点4：有理数乘除混合运算】 · 同级运算规则： 核心要点 具体说明 示例步骤 运算级别 乘和除属于同一级运算 —— 运算顺序 按照从左到右的顺序进行 —— 计算技巧 先把除法转化为乘法（乘除数的倒数），再确定积的符号，最后计算绝对值乘积 1. 转化： 2. 定符号：负因数个数为2（偶数），积为正 3. 3算结果： · 与加减混合运算规则： 运算规则 具体说明 示例 计算步骤 无括号（含加减和乘除） 先算乘除，后算加减 1. 先算乘除： 2. 再算加减： 有括号（含加减和乘除） 先算括号内的内容，再算括号外的乘除 1. 先算括号内： 2. 再算括号外乘除（从左到右）： 【练习加强：有理数乘除混合运算】 （25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算：结果是（   ） A． B．4 C．1 D．64 （25-26七年级上·云南曲靖·期中）计算的结果是（  ） A． B． C．2 D．10 （25-26七年级上·广西桂林·期中）如图所示的程序，若开始输入的数是2，则最后输出的结果为（   ） A．2 B． C． D．6 （25-26七年级上·山东德州·阶段练习）下列算式运算正确的是（   ） A． B． C． D． （25-26七年级上·天津·阶段练习）计算的结果为（　　） A． B．1 C． D． 【知识点5：有理数乘除法的实际应用】 有理数乘除法的实际应用核心是利用“正负数表示相反意义的量”，结合乘除法法则解决增减、方向、盈亏、平均分等特征的问题。乘法侧重“相同变化量的累计”，除法侧重“总量的平均分或倍数关系”，常见场景如下： 应用场景 核心原理（含乘除法适用情况） 例题解析 温度变化与平均变化问题 正数表上升、负数表下降；求累计变化用乘法（变化量×时间），求平均变化用除法（总变化量÷时间） 1. 乘法应用：早晨气温5℃，每小时下降2℃，3小时后气温？ 解析：下降记为-2℃，总变化量=(-2)×3=-6℃，最终气温=5+(-6)=-1℃ 答案：-1℃ 2. 除法应用：气温从12℃降至3℃，用了3小时，平均每小时降多少？ 解析：总变化量=3-12=-9℃，平均变化量=(-9)÷3=-3℃ 答案：平均每小时下降3℃ 行程方向与速度计算问题 正数表一个方向（如向东）、负数表相反方向（如向西）；求路程用乘法（速度×时间），求速度/时间用除法（路程÷时间/速度） 1. 乘法应用：汽车向西行驶，速度60千米/时（向西记为-60），2小时后位置？ 解析：路程=(-60)×2=-120千米，负号表向西 答案：起点西侧120千米处 2. 除法应用：汽车从起点向西行驶180千米（记为-180），用了3小时，平均速度？ 解析：速度=(-180)÷3=-60千米/时 答案：向西行驶，速度60千米/时 经济收支与平均盈亏问题 正数表收入、负数表支出；求总收支用乘法（单次收支×次数），求平均收支用除法（总收支÷次数） 1. 乘法应用：商店每天亏损150元（记为-150），7天后总盈亏？ 解析：总盈亏=(-150)×7=-1050元 答案：亏损1050元 2. 除法应用：商店一周（7天）总亏损840元（记为-840），平均每天盈亏？ 解析：日均盈亏=(-840)÷7=-120元 答案：平均每天亏损120元 数量增减与平均分问题 正数表增加、负数表减少；求累计变化用乘法（单次变化×次数），求每份数量用除法（总数量÷份数） 1. 乘法应用：苹果每天减少1.5千克（记为-1.5），4天后总减少量？ 解析：总减少量=(-1.5)×4=-6千克，剩余量=20+(-6)=14千克 答案：剩余14千克 2. 除法应用：4筐苹果共减少6千克（记为-6），平均每筐减少多少？ 解析：每筐减少量=(-6)÷4=-1.5千克 答案：平均每筐减少1.5千克 工程总量与效率问题 正数表完成工作量、负数表未完成/损耗量；求总工作量用乘法（效率×时间），求效率用除法（总工作量÷时间） 1. 乘法应用：工人每小时加工零件5个（记为+5），6小时加工总量？ 解析：总量=5×6=30个 答案：30个 2. 除法应用：工人6小时加工30个零件，中途损耗2个（记为-2），实际平均效率？ 解析：实际工作量=30-2=28个，效率=28÷6≈4.67个/时 答案：约4.67个/时 应用关键：①定正负：明确相反意义的量，标注对应正负数（如“盈”正“亏”负、“东”正“西”负）；②选运算：相同变化累计用乘法，总量拆分/求平均用除法；③算结果：遵循“同号得正、异号得负，绝对值乘除”法则；④解意义：结合实际场景解读结果的正负（表方向/增减）与数值（表具体量）。 【练习加强：有理数乘除法的实际应用】 （25-26七年级上·湖北荆州·期中）甲、乙、丙、丁四家体育用品商店同款足球的单价都是80元，但优惠方式各不相同（如下表），张老师要为学校购买22个足球，要使支付的金额最少，应选择的商店是（    ） 商店 甲 乙 丙 丁 优惠方式 买10个送1个 每满100元，返还现金20元 全场九折 每满200元，返还现金40元 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 （25-26七年级上·江苏·期中）江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）于2025年5月10日拉开帷幕，第一轮常规赛由代表各地级市的13支球队进行单循环比赛，即每支球队都要与其他球队比赛一场，则“苏超”第一轮常规赛共比赛（    ） A．12场 B．24场 C．78场 D．85场 （25-26六年级上·山东东营·期中）已知酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里（平均每分钟温度可降低），则要使这杯酒精刚好冻结，需要（   ） A．88分钟 B．78分钟 C．70分钟 D．68分钟 （24-25七年级上·全国·随堂练习）水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天下降，今天的水位为，那么2天后的水位用算式表示正确的是（   ） A． B． C． D． （24-25六年级下·上海长宁·期末）小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（   ） A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜杨 （24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）某地推出“筑梦学子，共享未来”共享单车租赁服务计划，具体资费规则如下： 租赁类型 基础费用（元） 免费时长（分钟） 超时每分钟收费（元） 标准租赁 1.5 15 0.2 学生会员租赁 1.5 30 0.1 包日畅骑 10 不限时长 / 以上资费有以下补充说明： ①学生会员需缴纳月费5元，租赁时出示有效学生证即可享受优惠． ②包日畅骑仅限当日有效，不限使用次数． 小明骑行共享单车（标准租赁）共28分钟，需支付租金（   ） A．1.5元 B．3.1元 C．4.1元 D．5.5元 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 有理数的乘除运算（融汇贯通讲义） 北师大版（2024）七年级数学上册 知识目录 【知识点1：有理数乘法】 1 【知识点2：有理数乘法运算律】 4 【知识点3：有理数除法】 7 【知识点4：有理数乘除混合运算】 9 【知识点5：有理数乘除法的实际应用】 12 巩固与提升 【知识点1：有理数乘法】 · 基本法则：两数相乘时，同号得正，异号得负，同时把两个数的绝对值相乘；任何数与0相乘，结果都为0。比如，，。 有理数乘法运算口诀: 1.同号相乘得正，异号相乘得负； 2.绝对值先相乘，符号再按规则定； 3.任何数乘 0 得 0，0 无倒数要记牢； 4.多个非 0 数相乘，负因数个数定符号： 5.负因数奇个得负，偶个得正； 6.1 乘任何数不变，-1 乘得相反数； 7.倒数乘积为 1，正负保持一致（如正倒数正，负倒数负）。 · 多个有理数相乘规则：几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定。负因数个数为奇数时，积为负；负因数个数为偶数时，积为正；若相乘的数中有一个因数是0，那么整个积就为0。例如: ，，。 · 倒数概念：乘积是1的两个有理数互为倒数。要注意0没有倒数，而1和 -1的倒数是它们本身。比如:的倒数是，的倒数是。 数的类型 求倒数技巧 示例 非0整数 整数作分母，分子为1，符号与原数一致 的倒数： 分数（真/假） 直接交换分子、分母位置，符号保持不变 的倒数： 小数（有限/循环） 先转化为最简分数，再按分数求倒数的方法计算 （化为）的倒数： 带分数 先转化为假分数，再交换分子、分母位置 （化为）的倒数： 通用验证技巧 求完倒数后，用“原数×倒数”验证结果是否为1，确保正确 验证： 【练习加强：有理数乘法】 （25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知算式的值为，则“”内应填入的运算符号为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，通过逐一验证每个运算符号的结果，找出使等式成立的符号即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ “”内应填入“”， 故选：． （25-26六年级上·上海青浦·期中）若，，且，则的值为() A． B． C．1或 D．5或． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法运算法则；由绝对值的意义，和各有两种取值，但根据可知和异号，因此只有两种可能组合，分别计算即可得到结果． 【详解】解：，或， ，或， 又，和异号． 当，时，， 当，时，， 的值为或． 故选：C． （25-26七年级上·河北衡水·期中）对于，若，则其结果为（   ） A．负数 B．0 C．正数 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算符号法则是解题关键．根据负数的乘法符号规律：奇数个负数相乘结果为负数，偶数个负数相乘结果为正数，即可判断． 【详解】解：由题意个相乘，当时，有奇数个负数相乘，所以结果为负． 故选：A． （25-26七年级上·安徽滁州·期中）下列运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘法符号规则，根据乘法符号规则，乘积为负数的条件是乘数中有奇数个负数且没有零． 【详解】解： A：三个负数相乘，负数个数为奇数，故结果为负数，符合题意； B：两个负数相乘再乘正数，负数个数为偶数，故结果为正数，不符合题意； C：有乘数0，故结果为0，既不是正数也不是负数，不符合题意； D：两个负数相乘再乘正数，负数个数为偶数，故结果为正数，不符合题意． 故选：A． （25-26七年级上·贵州铜仁·期中）一个数的倒数为，则这个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵一个数的倒数为， ∴这个数是， 故选：C （2024七年级上·四川成都·专题练习）已知：，并且a、b、c都不等于0，把a、b、c 三个数按从大到小排列是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分数的大小比较、倒数，假设，则，，，通分比较出，再利用绝对值比较a、b、c 三个数的大小即可． 【详解】解：假设， 则，，， 所以，，， 因为，，． 所以，即， 所以， 所以， 故选：A． 【知识点2：有理数乘法运算律】 有理数乘法运算律： 运算律名称 定义 表达式 示例 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把所得的积相加 【练习加强：有理数乘法运算律】 （25-26六年级上·全国·课后作业）计算下列各题时，运用的方法和乘法分配律一样的是(    ) A． B．计算后，用验算 C．想，得出 D．竖式计算(如图) 【答案】D 【分析】本题考查乘法分配率，根据题意，结合乘法分配律的定义：两个数的和或差与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加或相减．据此判断即可． 【详解】解：A．，运用了乘法交换律和结合律； B．计算后，用验算，运用了乘法交换律； C．想，得出，运用了“商不变的规律”； D．竖式计算，把看作，分别用和1乘，再将两个积相加，运用了乘法分配律． 故选：D． （25-26七年级上·河北保定·期中）下表是嘉淇的解题过程，下列说法正确的是（　　） 第一步 第二步 第三步 A．解题运用了乘法交换律 B．从第一步开始出错 C．从第二步开始出错 D．从第三步开始出错 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法运算及乘法分配律的应用，解题的关键是正确运用乘法分配律计算． 嘉淇将带分数拆分为整数与分数的差，运用了乘法分配律，但第二步计算时符号出现错误，导致结果错误． 【详解】解：第一步：将写成，这一步是正确的，利用了带分数的拆分，为后续用乘法分配律计算做准备， 第二步：根据乘法分配律，正确计算应为： 但嘉淇计算成了，所以从第二步开始出错． 故选：C． （25-26七年级上·广东湛江·期中）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 利用乘法分配律将36分别与括号内的数相乘，再进行加减运算即可． 【详解】解： ， 故选：． （25-26六年级上·黑龙江绥化·期中），应用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】C 【分析】本题考查了乘法的分配律，根据乘法的分配律即可得出答案，掌握乘法的分配律是解题的关键． 【详解】解：根据乘法分配律可得：， 故选：C． 【知识点3：有理数除法】 · 核心法则：一是除以一个不为0的数，等同于乘这个数的倒数，公式表示为；二是两数相除，同号得正，异号得负，且把绝对值相除。另外，0除以任何一个不为0的数，结果都为0，但0不能作为除数。比如： ，，。 有理数除法运算口诀 1. 除法转乘法，倒数来当家（a÷b=a×b1​，b=0）； 2. 同号相除得正，异号相除得负； 3. 绝对值相除，结果要记牢； 4. 0 除以非 0 得 0，0 作除数可不行； 5. 小数、带分数先转化，最简形式再计算。 【练习加强：有理数除法】 （25-26七年级上·湖北孝感·期中）如下表，x、y两个量成正比例关系，则“Δ”处应填（    ） x 7 Δ y 5 10 A．2.5 B．3.5 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的除法运算，解题的关键是理解正比例关系；根据正比例关系，y与x的比值恒定，利用已知数据求比例常数，再求未知的值即可． 【详解】解：根据正比例关系可得： ∴Δ处应填14； 故选D． （25-26七年级上·陕西渭南·期中）计算（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，由此计算即可． 【详解】解： 故选：B． （25-26九年级上·湖北武汉·期中）你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄，把树干的横截面看成圆形的，如果一棵20年树龄的树的树干直径是，这棵树的半径平均每年增加（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数除法的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据年轮的特点即可列式求解． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． （25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，直尺上的刻度对应数轴上的数是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、有理数的除法，理解题意是解题的关键．由数轴可知，1个单位长度为，再结合刻度对应数轴上的数与1的距离为，即2个单位长度，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，1个单位长度为， 刻度对应数轴上的数与1的距离为个单位长度， ∴刻度对应数轴上的数是， 故选：C． 【知识点4：有理数乘除混合运算】 · 同级运算规则： 核心要点 具体说明 示例步骤 运算级别 乘和除属于同一级运算 —— 运算顺序 按照从左到右的顺序进行 —— 计算技巧 先把除法转化为乘法（乘除数的倒数），再确定积的符号，最后计算绝对值乘积 1. 转化： 2. 定符号：负因数个数为2（偶数），积为正 3. 3算结果： · 与加减混合运算规则： 运算规则 具体说明 示例 计算步骤 无括号（含加减和乘除） 先算乘除，后算加减 1. 先算乘除： 2. 再算加减： 有括号（含加减和乘除） 先算括号内的内容，再算括号外的乘除 1. 先算括号内： 2. 再算括号外乘除（从左到右）： 【练习加强：有理数乘除混合运算】 （25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算：结果是（   ） A． B．4 C．1 D．64 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据有理数乘除混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：D． （25-26七年级上·云南曲靖·期中）计算的结果是（  ） A． B． C．2 D．10 【答案】B 【分析】本题考查有理数的四则运算，根据运算优先级，先计算乘法和除法，再计算加法，注意负数的乘除法则：负数乘以正数为负，负数除以负数为正． 【详解】解： ． 故选：B． （25-26七年级上·广西桂林·期中）如图所示的程序，若开始输入的数是2，则最后输出的结果为（   ） A．2 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 由题意列式计算，直至结果大于0即可． 【详解】解：开始输入的数为2， 解：返回继续运算； 输出结果； 故选A． （25-26七年级上·山东德州·阶段练习）下列算式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．根据有理数乘除运算法则逐一判断即可． 【详解】解：，故选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项符合题意； ，故D选项不符合题意． 故选：C． （25-26七年级上·天津·阶段练习）计算的结果为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查有理数的混合运算，先计算每个括号内的值，再计算乘积即可 【详解】解：原式 故选：C 【知识点5：有理数乘除法的实际应用】 有理数乘除法的实际应用核心是利用“正负数表示相反意义的量”，结合乘除法法则解决增减、方向、盈亏、平均分等特征的问题。乘法侧重“相同变化量的累计”，除法侧重“总量的平均分或倍数关系”，常见场景如下： 应用场景 核心原理（含乘除法适用情况） 例题解析 温度变化与平均变化问题 正数表上升、负数表下降；求累计变化用乘法（变化量×时间），求平均变化用除法（总变化量÷时间） 1. 乘法应用：早晨气温5℃，每小时下降2℃，3小时后气温？ 解析：下降记为-2℃，总变化量=(-2)×3=-6℃，最终气温=5+(-6)=-1℃ 答案：-1℃ 2. 除法应用：气温从12℃降至3℃，用了3小时，平均每小时降多少？ 解析：总变化量=3-12=-9℃，平均变化量=(-9)÷3=-3℃ 答案：平均每小时下降3℃ 行程方向与速度计算问题 正数表一个方向（如向东）、负数表相反方向（如向西）；求路程用乘法（速度×时间），求速度/时间用除法（路程÷时间/速度） 1. 乘法应用：汽车向西行驶，速度60千米/时（向西记为-60），2小时后位置？ 解析：路程=(-60)×2=-120千米，负号表向西 答案：起点西侧120千米处 2. 除法应用：汽车从起点向西行驶180千米（记为-180），用了3小时，平均速度？ 解析：速度=(-180)÷3=-60千米/时 答案：向西行驶，速度60千米/时 经济收支与平均盈亏问题 正数表收入、负数表支出；求总收支用乘法（单次收支×次数），求平均收支用除法（总收支÷次数） 1. 乘法应用：商店每天亏损150元（记为-150），7天后总盈亏？ 解析：总盈亏=(-150)×7=-1050元 答案：亏损1050元 2. 除法应用：商店一周（7天）总亏损840元（记为-840），平均每天盈亏？ 解析：日均盈亏=(-840)÷7=-120元 答案：平均每天亏损120元 数量增减与平均分问题 正数表增加、负数表减少；求累计变化用乘法（单次变化×次数），求每份数量用除法（总数量÷份数） 1. 乘法应用：苹果每天减少1.5千克（记为-1.5），4天后总减少量？ 解析：总减少量=(-1.5)×4=-6千克，剩余量=20+(-6)=14千克 答案：剩余14千克 2. 除法应用：4筐苹果共减少6千克（记为-6），平均每筐减少多少？ 解析：每筐减少量=(-6)÷4=-1.5千克 答案：平均每筐减少1.5千克 工程总量与效率问题 正数表完成工作量、负数表未完成/损耗量；求总工作量用乘法（效率×时间），求效率用除法（总工作量÷时间） 1. 乘法应用：工人每小时加工零件5个（记为+5），6小时加工总量？ 解析：总量=5×6=30个 答案：30个 2. 除法应用：工人6小时加工30个零件，中途损耗2个（记为-2），实际平均效率？ 解析：实际工作量=30-2=28个，效率=28÷6≈4.67个/时 答案：约4.67个/时 应用关键：①定正负：明确相反意义的量，标注对应正负数（如“盈”正“亏”负、“东”正“西”负）；②选运算：相同变化累计用乘法，总量拆分/求平均用除法；③算结果：遵循“同号得正、异号得负，绝对值乘除”法则；④解意义：结合实际场景解读结果的正负（表方向/增减）与数值（表具体量）。 【练习加强：有理数乘除法的实际应用】 （25-26七年级上·湖北荆州·期中）甲、乙、丙、丁四家体育用品商店同款足球的单价都是80元，但优惠方式各不相同（如下表），张老师要为学校购买22个足球，要使支付的金额最少，应选择的商店是（    ） 商店 甲 乙 丙 丁 优惠方式 买10个送1个 每满100元，返还现金20元 全场九折 每满200元，返还现金40元 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】此题考查了有理数运算的实际应用，计算四家商店购买22个足球的实际支付金额，比较后选择支付最少的商店． 【详解】∵足球单价80元，购买22个，原总价为22 × 80 = 1760元． 甲商店：买10送1，22个中需支付20个费用， ∵元． 乙商店：每满100元返20元， ∵，取整17次， ∴返现元， ∴实际支付元． 丙商店：全场九折， ∴ 实际支付元． 丁商店：每满200元返40元， ∵，取整8次， ∴返现元， ∴实际支付元． ∴乙商店支付最少． 故选：B． （25-26七年级上·江苏·期中）江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）于2025年5月10日拉开帷幕，第一轮常规赛由代表各地级市的13支球队进行单循环比赛，即每支球队都要与其他球队比赛一场，则“苏超”第一轮常规赛共比赛（    ） A．12场 B．24场 C．78场 D．85场 【答案】C 【分析】本题考查了握手问题的实际应用，单循环比赛的总场次计算公式为：总场次球队数 (球队数) ． 【详解】解：∵ 有13支球队，每支球队需要与其他12支球队各比赛一场， ∴ 总比赛场次为（场）． 故选：C． （25-26六年级上·山东东营·期中）已知酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里（平均每分钟温度可降低），则要使这杯酒精刚好冻结，需要（   ） A．88分钟 B．78分钟 C．70分钟 D．68分钟 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的减法的实际应用，除法的实际应用，理解题意，列出正确的算式是解本题的关键. 先求解温度差，再利用这个温差除以下降的速度即可. 【详解】解：， （分）. 故选：A. （24-25七年级上·全国·随堂练习）水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天下降，今天的水位为，那么2天后的水位用算式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘法，正数与负数，以及有理数的减法，根据题中的规定，列出正确的算式即可． 【详解】解：根据题意：2天后的水位用算式表示：． 故选：B． （24-25六年级下·上海长宁·期末）小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（   ） A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜杨 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法和减法的实际应用，先求出小海所看电影的实际票价，再分别求出四个场次的实际票价即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小海所看电影的实际票价为元， 上午场的实际票价为元， 中午场的实际票价为元， 下午场的实际票价为元， 夜场的实际票价为元， ∴可判断小海看的场次是下午场， 故选：C． （24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）某地推出“筑梦学子，共享未来”共享单车租赁服务计划，具体资费规则如下： 租赁类型 基础费用（元） 免费时长（分钟） 超时每分钟收费（元） 标准租赁 1.5 15 0.2 学生会员租赁 1.5 30 0.1 包日畅骑 10 不限时长 / 以上资费有以下补充说明： ①学生会员需缴纳月费5元，租赁时出示有效学生证即可享受优惠． ②包日畅骑仅限当日有效，不限使用次数． 小明骑行共享单车（标准租赁）共28分钟，需支付租金（   ） A．1.5元 B．3.1元 C．4.1元 D．5.5元 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘法及加减法的实际应用，根据标准租赁的收费标准列式计算即可． 【详解】解：根据题意：小明需支付租金： （元）， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $