03用二次函数解决问题 专项训练讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年苏科版数学九年级下册

专题03用二次函数解决问题 【题型01 二次函数应用:图形问题】..................................3 【题型02 二次函数应用:图形运动问题】..............................6 【题型03 二次函数应用:拱桥问题】..................................9 【题型04 二次函数应用:销售问题】.................................13 【题型05 二次函数应用:投球问题】.................................15 【题型06 二次函数应用:喷水问题】.................................19 【题型07 二次函数应用:增长率问题】...............................22 【题型08 二次函数应用:其他实际问题】.............................24 【题型09 二次函数综合:线段周长问题】.............................28 【题型10 二次函数综合:面积问题】.................................33 【题型11 二次函数综合:角度问题】.................................38 【题型12 二次函数综合:特殊三角形问题】...........................45 【题型13 二次函数综合:特殊四边形问题】...........................51 【题型14 二次函数综合:其他综合问题】.............................57 ★知识梳理★ 知识点01:解题通用步骤（六步法） 1.审：审清题意，明确已知量、未知量，找出变量间的等量关系。 2.设：设自变量 x、因变量 y，明确变量含义与单位。 3.列：根据等量关系，列出二次函数表达式 y=ax2+bx+c（a0）。 4.定：结合实际意义，确定自变量 x 的取值范围（关键易错点）。 5.解：利用二次函数性质（配方法、顶点公式）求最值或特定值。 6.检与答：检验结果是否符合实际，写出完整答案。 知识点02:八类实际问题核心公式 / 建模式 （均设自变量为x，因变量为y，核心为单变量表示，转化为y=ax2+bx+c(a0)） 1.图形面积最值 y=单变量表示的长单变量表示的宽（矩形）；其他图形结合对应面积公式转化 2.销售利润最值 y=(售价进价x)原销量kx（x为涨 / 降价，k为销量变化系数） 通用式：总利润 = 单件利润 × 销售量 3.抛物线型问题 优先设顶点式：顶点在原点y=ax2；顶点(h,k)则y=a(x−h)2+k 4.行程运动最值 抛体高度：y=v0x−kx2（x为时间，v0为初速度，k为定值）； 距离最值：结合路程=速度时间，单变量表示速度 / 时间后代入 5.资源调配 / 用料最值 Y=单份用料调配数量剩余用料（最省料）； Y=单份效益调配数量（最大效益） 6.增长率 / 复利问题. y=m(1+x)2（m为初始量，x为年平均增长率，二次增长） 7.几何线段 / 周长最值 线段：结合勾股定理y2=a2+(bx+c)2（消元得y2的二次函数，求y最值）； 周长：y=2(单变量表示的长宽)（结合图形边长约束） 8.费用最省问题 Y=单份费用使用数量固定费用； 多类型调配：y=单价1单价2总量（、为单份承载量） 知识点03:易错点警示 1.忽略自变量取值范围，直接取顶点为最值，尤其实际问题中自变量多为正整数 / 非负数，顶点横坐标超出范围时需在端点取最值。 2.列函数式时单位不统一（如长度米与厘米、重量千克与克）、等量关系找错（如利润计算漏减成本、面积计算漏乘系数）。 3.抛物线型问题中坐标系建立不当，增加计算难度，或关键点坐标确定错误。 计算顶点坐标 / 最值时，公式运用错误（如顶点横坐标记为、最值计算漏除 4a）。 4.实际问题中未检验结果合理性，如边长、销量、增长率为负数，或取非整数解不符合实际场景。 【题型1.二次函数应用:图形问题】 【典例】如图、利用长为50m的篱笆及一面墙围一个矩形花圃（墙足够长）为了便于打理，决定在与墙平行的边上预留出宽为2m的出口．设边的长为，花圃的面积为，则与之间的函数关系式是 ．    【答案】 【分析】根据矩形的面积公式用含x的代数式表示y即可． 【详解】解：由题意可得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 【跟踪专练1】用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． (1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 【答案】(1)，； (2)，当时，矩形实践基地的面积最大，最大为 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据篱笆的长度直接计算即可； （2）根据二次函数的性质进行解题． 【详解】（1）解：∵篱笆的长度为， ∴， ； 故答案为：，； （2）解：， 设矩形实践基地的面积为， 由题意，得， 当时，有最大值， 即当时，矩形实践基地的面积最大，最大为. 【跟踪专练3】如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； (2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】(1)； (2)自行车车棚面积最大可达到，说明见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形的面积表示出，结合题目条件求出自变量的范围； （2）根据二次函数的性质解题即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 且墙长为，在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位， ∴， 解得； 故答案为：  ；； （2）解： ， ，对称轴为直线，而， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到. 【题型2.二次函数应用:图形运动问题】 【典例】在边长为4m的正方形中间挖去一个长为xm的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，则y与x间的函数关系式为 . 【答案】 【分析】由题意用大正方形的面积减去小正方形的面积即可得到结果 【详解】解：由题意得y与x间的函数关系式为； 故答案为 【点睛】特殊四边形的判定和性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注 【跟踪专练1】如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 的面积S随出发时间t的函数关系图像大致是二次函数图像，且开口向下． 故选C． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示： ___________，___________，___________． (2)写出关于的函数解析式及的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）根据题意直接列式即可作答； （2）根据（1）中结果，结合三角形的面积公式即可作答． 【详解】（1）解：根据题意有：，， ∵，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴根据题意有：， ∵，， ∴， 故关于的函数解析式为． 【跟踪专练3.】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】(1)， (2)①是，；② 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 【题型3.二次函数应用:拱桥问题】 【典例】如图，隧道的截面是抛物线，可以用表示，该隧道内设双行道，一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为米，宽为米，如果要安全通过隧道，应满足 ．    【答案】 【分析】根据，对称轴为轴，根据汽车宽为米，则当时，，即可． 【详解】∵，汽车宽为米， ∴当时，， ∴． ∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数的对称性． 【跟踪专练1】如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离为时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的拱桥问题，二次函数的性质，先理解题意，再把代入，解得然后列式计算，得水面的宽度的值，即可作答． 【详解】解：∵其函数表达式为．水面到桥顶的距离为， ∴把代入，得 ∴， 解得 依题意，， 即水面的宽度为， 故选：B． 【跟踪专练2】有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距时，桥孔内水面宽为． (1)如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式； (2)一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为．要使该船顺利通过桥孔，水面与拱顶至少相距多少？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用． （1）设抛物线解析式为，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入，得出，进而加上船的高度，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，依题意，点在抛物线上 ∴， 解得：， ∴； （2）解：当时， ∴水面与拱顶的高度为米． 【跟踪专练3】如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为． (1)把桥拱看作一个二次函数的图像，以所在的直线为轴，以的中点为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； (2)有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为，宽为（横断面如图②），以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 【答案】(1) (2)船不能安全通过此桥，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，核心是将拱桥的几何问题转化为平面直角坐标系下的函数问题，熟练掌握二次函数表达式的求解、函数值的计算以及行程与水位变化的综合分析是解题关键． （1）以中点为原点、所在直线为轴建立坐标系，根据的长度确定、两点坐标，设出二次函数的交点式；再结合水位上升后水面的宽度，确定点坐标，代入函数式求解参数，从而得到函数表达式； （2）先根据船的宽度，计算船边缘对应的横坐标，代入函数表达式求出该位置的桥高；再根据船的行驶距离和速度，计算船行至桥时的水位上升高度，结合船露出水面的高度，得到船顶距的高度；最后通过比较桥高与船顶高度的大小，判断船能否安全通过． 【详解】（1）解：为16m，的中点为原点， 点，的坐标分别是，． 可设此函数的表达式为， 当水位上升时，水面宽为， 点的坐标为， 把，代入， ， 解得． 此函数的表达式为，即． （2）解：船不能安全通过此桥． 把，代入，得 ， 当船行至桥时水位上升高度为， 船顶距高为． ， 船不能安全通过此桥． 【题型4.二次函数应用:销售问题】 【典例】某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件，依据每件利润，销售数量，总利润之间的关系可得函数关系式，根据每件售价不能高于72元，可得自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件， ∴， ∵每件售价不能高于72元， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键． 【跟踪专练1】某商店销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价．经调查，每千克售价为60元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，设每千克售价为x元，每天利润为W元，则W与x的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设每千克的售价应定为x元，每天的销售利润为W元，根据题意得，，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：设每千克的售价应定为x元，每天的销售利润为W元，根据题意得， ， 故选：D． 【跟踪专练2】某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件． (1)在每件降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ (2)小明说：“根据薄利多销的原则，只要降价不超过44元，降价越多每天获利越大．”你认同他的说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)每件应降价4元 (2)不认同，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的最值问题，理解题意是解题的关键； （1）设每天要盈利1600元，每件应降价元，根据题意，可列方程，求解方程即可； （2）不认同，理由：设每件降价元，获利为元，由题意得，整理后再配方成顶点式得，分析后即可得到答案． 【详解】（1）解：设每天要盈利1600元，每件应降价元， 由题意得，， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：如果每天要盈利1600元，每件应降价4元； （2）解：不认同，理由如下： 设每件降价元，获利为元，由题意得， 即， 因为，所以当时，获利最大，即每件降价20元时，可获得最大利润， ∴小明的说法不正确． 【跟踪专练3】甲、乙两汽车出租公司均有100辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 若两公司租出的汽车数量均为（）辆，甲的月利润用表示，乙的月利润用表示．根据上述信息，解决下列问题： (1)分别表示出甲、乙两公司的月利润（用含的代数式表示）； (2)甲公司最多比乙公司月利润多多少元？ 【答案】(1)； (2)当时，甲公司最多比乙公司月利润多元 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确用表示两个公司的利润是解题的关键． （1）根据月利润月租车费月维护费即可得到与的函数关系式，与的函数关系式； （2）根据题意表示出，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设每个公司租出的汽车为辆， 由题意可得：， ； （2）解：， ， 当时，甲公司最多比乙公司月利润多元． 【题型5.二次函数应用:投球问题】 【典例】在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度与水平距离之间满足关系式，则实心球投出的水平距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入，即可求出x的值即可得到结果． 【详解】解：令，则， 解得或（舍去）， ∴实心球从起点到落地点的水平距离为， 故答案为：8． 【跟踪专练1】如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用．足球能射进球门，球射向球门的路线应经过轴上点和点之间的部分，取时的值，根据列出不等式组求得合适的的取值范围，即可判断正确选项． 【详解】解：当时，， ∵足球能射进球门， ∴， ∴， 解得， 则的值可能是． 故选：B． 【跟踪专练2】一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求该运动员推铅球的成绩． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键． （1）根据题意知，抛物线顶点坐标为，可设该抛物线对应的函数表达式为，将点A坐标代入即可求出二次函数的解析式， （2）把代入（1）解析式中，即可求出运动员的成绩． 【详解】（1）解：根据题意知，抛物线顶点坐标为， 可设该抛物线对应的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：． ∴函数表达式为； （2）解：当时，即， 解得，（舍去）． 答：该运动员推铅球的成绩为． 【跟踪专练3】篮球运动是同学们非常喜爱的一项体育运动，某天下午的课外活动时间，九年级的小宇同学代表班级参加了学校举办的班级对抗赛．比赛中，小宇在三分线外果断出手，篮球划过一道优美的抛物线．由此我们得出如下实际问题：已知篮球出手时的高度约为，飞行后精准落入高度为的篮筐中；篮球在空中飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度． (1)如图，建立平面直角坐标系，抛物线的最高点的坐标为，请你求出篮球飞行过程中的最大高度h． (2)此时，如果对方球队的防守队员在小宇身前处提前起跳试图拦截，已知该队员的最大摸高为，那么这名防守队员能否成功拦截小宇的这次投球？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）设函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式为，则篮球在空中飞行的最大高度h为； （2）将代入函数解析式得，据此判断这名防守队员能否成功拦截小宇的这次投球即可． 【详解】（1）解：由顶点坐标为，可设函数解析式为， 将点，代入函数解析式， 得 解得 函数解析式为， 篮球在空中飞行的最大高度h为； （2）解：由（1）知函数解析式为， 将代入函数，得， ， 这名防守队员不能成功拦截小宇的这次投球． 【题型6.二次函数应用:喷水问题】 【典例】某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点之间的距离为 m．    【答案】10 【分析】利用二次函数图象上顶点坐标特征可求出点N的坐标，利用对称性即可求出最高点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴点, ∴水柱的最高点到y轴距离为， ∴两个水柱的最高点之间的距离为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查顶点坐标，利用图形的对称性计算是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） . A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 【跟踪专练2】2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)水流不会碰到这棵景观树，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的解析式，再与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：水流运行轨迹的最高点的坐标为，过点， 设水流运行轨迹的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流运行轨迹的函数解析式为； （2）解：水流不会碰到这棵景观树，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵景观树． 【跟踪专练3.】小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）当时，，解得或，进而可得结论． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 【题型7.二次函数应用:增长率问题】 【典例】据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得2020年的蔬菜产量为，2021年的蔬菜产量为，2021年的蔬菜产量为y万吨，由此即可得． 【详解】解：根据题意可得：2020年的蔬菜产量为， 2021年的蔬菜产量为， ∴， 故答案为： ． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，熟练掌握增长率问题是解题关键． 【跟踪专练1】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 【跟踪专练3】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【题型8.二次函数应用:其他实际问题】 【典例】东台鱼汤面是“中华名小吃”．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽cm，碗深cm，则当满碗汤面的竖直高度下降cm时，碗中汤面的水平宽度为 cm（碗的厚度不计）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，用待系数法求出函数解析式是解题的关键. 设抛物线解析式为，用待系数法求出函数解析式，当汤面高度为时，代入解析式计算即可得到答案. 【详解】解：设抛物线解析式为， 根据题意得， ， ， 抛物线解析式为， 当满碗汤面的竖直高度下降cm时，汤面高度为， ， ， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为：. 【跟踪专练1】若小敏骑单车的时间（单位：）受骑车速度（单位：）的影响，其关系可以用描述，则小敏从奥体中心回到家里所需的时间最短为（　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质，即可得出最短时间． 【详解】解：，二次项系数为正，函数图象开口向上，有最小值， 故当时，最小，最小值为， 最短时间为分钟． 故选：B． 【跟踪专练2】16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为，求出a，b的值； (2)在（1）问的条件下，火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入抛物线和直线，即可求出a，b的值； （2）将变为，即可确定顶点坐标，即最高点，由比火箭运行的最高点低，得出，进而对应的x的值，然后进行比较，再列式计算即可． 【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为， ∴抛物线和直线均经过点， ∴，， 解得，． （2）解：由（1）知，， ∴ ∴最大值， 当时， 则 解得， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，在第二次级 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【跟踪专练3】通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（以下简称“指标”）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加；中间一段时间，指标保持平稳状态；随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当时，图象是顶点为A的抛物线的一部分；时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分． (1)求当和时，图象所对应的函数表达式； (2)体育老师在一节课上进行某项运动的教学需要16分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于55才能达到较好的效果，老师的教学设计能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)当时的函数解析式为；当时的函数解析式为 (2)老师的教学设计能实现，见解析 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数的应用，正确理解题意是关键． （1）设当时的函数解析式为，把代入求解即可；设当时的函数解析式为，把代入求解即可； （2）将代入，求得，将代入，求得，由，即可判断． 【详解】（1）解：设当时的函数解析式为， 把代入，得， ， 设当时的函数解析式为， 把代入，得， ， 当时的函数解析式为，当时的函数解析式为； （2）解：能实现． 将代入得， 解得，（舍去）， 将代入得， 解得， ， 老师的教学设计能实现． 【题型9.二次函数综合:线段周长问题】 【典例】如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， 当时，C有最大值． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，抛物线与均过点，直线交x轴于点P，且与两抛物线形成的封闭图象交于E，F两点．若点F的横坐标为1，点Q为y轴上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称中的最值问题等知识．根据题意可得两个函数的解析式，即可得到点E，F的坐标，作点F关于y轴的对称点H，连接，，，此时的最小，最小值为，根据两点间距离公式即可求解． 【详解】解：把代入可得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点F的坐标为， 把代入得到，解得， ∴直线解析式为， ∴解方程组得，（舍去）， 点E的坐标为， 作点F关于y轴的对称点H，连接，， 则，点H的坐标为， ∵， ∴当H，Q，E三点共线时取得最小值为， 这时， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． （1）根据题意得，利用待定系数法即可求得n的值，继而求得抛物线的解析式； （2）首先连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点的坐标为， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 令，则， 解得或， ∴点， 设直线的解析式为：， ∵点，点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴当的值最小时，点的坐标为． 【跟踪专练3】如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)当线段长等于2时，求点的坐标． (3)直接写出线段长的最大值是________． 【答案】(1)；点的坐标为 (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，线段问题，求出函数解析式，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）运用待定系数法求出解析式即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，设点的横坐标为，可得，求出，由可得结论； （3）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴可得， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 直线的解析式为； 轴，点的横坐标为， ， ， 解得或， ， 或； （3）解：， ，， 当时，取最大值，最大值为． 长度的最大值是． 故答案为：． 【题型10.二次函数综合:面积问题】 【典例】如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，作x轴的垂线交二次函数的图像于点，，，…，，若记的面积为，过点作于点，记的面积为，过点作于点，记的面积为……依次进行下去，则 ，记的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征∶二次函数图像上点的坐标满足其解析式，也考查了三角形面积公式．先根据二次函数图象上点的坐标特征，求出，则根据三角形面积公式计算出，同样可得；，，所有相应三角形的面积等于分母为4，分子为奇数的分式，从而得到． 【详解】解：当时， ，则，所以； 当时， ，则，所以， 当时，，则，所以； 同样方法可得，所以． 故答案为： ， 【跟踪专练1】如图，已知抛物线与的形状相同，顶点分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与图形的面积． 用割补法，将阴影部分的面积转化为平行四边形的面积，计算即可． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同，顶点分别为和，，， ∴阴影部分的面积等于底为，高为的平行四边形的面积， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求点A、点B和点C的坐标； (2)若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线与图形面积问题，解题的关键是正确求出抛物线与坐标轴的交点． （1）分别令，即可求解抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）先求出顶点，设抛物线对称轴与轴交于点，则，，，，，再由求解． 【详解】（1）解：当时，则， 解得或， ∴，； 当， ∴； （2）解：， ∴顶点， 设抛物线对称轴与轴交于点， ∴，，，，， ∴ 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)求出点A、B、C的坐标； (2)若点D为抛物线上在第一象限内的动点，请连接，，并解答下面的问题：当点D运动到何处时，的面积最大？并求出点D的坐标和面积的最大值． 【答案】(1)，， (2)，面积的最大值是8 【分析】本题考查二次函数与几何综合，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，铅锤法求三角形面积是解题的关键． （1）分别令，代入抛物线解析式即可解答； （2）设，过点作轴交于点，则，由此可得，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：， 当时，或， ，； 当时，， ； （2）解：设直线的解析式为，将代入， 得：， 解得， 直线的解析式为， 点D为抛物线上在第一象限内的动点， 可设，过点D作轴交于点E， 则， ， ， 当， 当时，面积的最大值是8， 此时点D的坐标是． 【题型11.二次函数综合:角度问题】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． . 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题. 连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【详解】解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 联立得， 解得：（舍去）或； 关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， 联立得， 解得：（舍去）或；， 综上：点横坐标是或. 故答案为：或. 【跟踪专练2】如图，已知二次函数的图象经过点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接、，求四边形的面积 (3)若点是抛物线图象上的一点，且满足，请直接写出满足要求的所有点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）运用待定系数法将，，代入，即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，根据四边形的面积为，即可求解； （3）先求出点C关于对称轴的对称点；先运用待定系数法求出直线的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与平行的直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为，其图象经过点，，， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵， ∴， 过点D作轴交直线于点E，如图1， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴ ∴四边形的面积为 （3）解：抛物线上存在点P，使，理由如下： 如图2， ①取点关于对称轴的对称点，连接，， ∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴符合题意； ②当直线时，则有， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式中一次项系数为1． 设与平行的直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线解析式得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，互相平行的两直线的关系等，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键． 【跟踪专练3】如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会分类讨论． （1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标，证明，可得； （2）分两种情况，即点在轴上方或点在轴下方，利用等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ； （2）解：当时，，，，， 当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点， ，，， ， 设， ， 解得， ； 当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点， ， 同理可得， 设， ，即 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【题型12.二次函数综合:特殊三角形问题】 【典例】如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定等，求得关键点的坐标是解题的重点． 利用平移规律求得平移后的函数解析式，即可求得的坐标，基本求得点的坐标，由等腰三角形的性质可知点的纵坐标为 2 ，代入新的函数解析式即可求解． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移 2 个单位长度，得到，即， ， 把代入得， ， ， 若新抛物线存在点使以为底的等腰三角形，则点的纵坐标为 2 ， 把代入，解得：， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：抛物线的图象的对称轴一定是轴；当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；直线中，如果发生变化，的长度可以等于；随着的值变化，有可能成为等边三角形；当时，．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线，得顶点坐标为，对称轴一定是轴，本结论正确； 根据图象得：直线中随着的增大而增大；抛物线，当时随着的增大而增大， ∴当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大，本结论正确； 点的横坐标是，点的横坐标是，若， ∴直线与轴平行，即， ∴与已知矛盾， ∴不可能为，本结论错误； ∵， ∴直线与轴平行，即， ∴与已知矛盾， ∴，即不可能为等边三角形，本结论错误； 直线与关于轴对称，如图所示： 设直线与抛物线交点横坐标分别为，， 由图象可得：当时，，即，本结论正确； 综上可得正确的结论有． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， . ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 【跟踪专练3】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点E为线段上一动点，过点E的直线平行于y轴并交抛物线于点F，当线段最大时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点的坐标为或或 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）求出直线的解析式，设，则，求出，可得当时，有最大值，此时，由勾股定理可得，再分和两种情况，分别讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：存在点P，以为腰的等腰三角形，理由如下： 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，的最大值为， 此时， 又， ∴， ①当时， ， ∴P点坐标为或； ②当时，P点与关于直线对称， ∴P点坐标为； 综上所述：P点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数图象中特殊三角形存在性问题，涉及求二次函数解析式，一次函数解析式，线段的最值问题，等腰三角形的定义，坐标系中两点间距离等知识点，第2问有一定难度，注意分情况讨论是解题的关键． 【题型13.二次函数综合:特殊四边形问题】 【典例】如图，边长为8的正方形的中心在直角坐标系的原点O，轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与特殊的四边形综合，轴对称的性质．明确阴影部分面积的表示是解题的关键． 由题意知，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线关于轴对称，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线关于轴对称， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得出二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，根据二次函数经过时，最大，求解即可． 【详解】解：二次函数表达式为， 故二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 若该函数的图象与四边形的边有交点， 则当二次函数经过时，最大， 代入得，解得：（舍去）或， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数与平行四边形的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据抛物线与轴交于两点，则，，即可得出； （2）理解题意，结合点为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，运用中点公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； （2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 【跟踪专练3】综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）分别把，代入一次函数，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线，求出b，c的值，即可解答； （2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点，点，根据两点间距离公式即可解答； （3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①；②；③求解即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数，得， 点C的坐标为， 将代入一次函数，得，解得， 点A的坐标为， 将点A，C的坐标代入抛物线， 得，解得， 这个二次函数的解析式为． （2）解：∵过点作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点， 点，点， ， （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： 由（）可得，点，，， ， ， ， ①当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，， 解得，舍去， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为． 综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为或或． 【题型14.二次函数综合:其他综合问题】 【典例】如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，根据抛物线a和线段b有两个交点，可确定m的取值范围，再分别把和代入抛物线解析式，可得到，然后根据m为整数，可得m的值为2或3或4，即可求解．熟练掌握二次函数与一次函数图象相交题型的解法，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：联立，得： ， ∵抛物线a和线段b有两个交点， ∴， 解得：． 当时，． 将代入抛物线解析式得：， ． 同理，当时，， ∴． ∵m为整数， ∴m的值为2或3或4． 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求； 当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求； 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求． ∴m的值为2或4． 故答案为：2或4 【跟踪专练1】定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．如：函数的图象上的点到两个坐标轴的距离相等，我们就称点是函数的图象的完美点．若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，则满足要求的的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据新定义，得完美点的坐标为，分别代入解析式计算判断即可． 本题考查了新定义问题，正确解方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点， 故完美点的坐标为， 当完美点为时，得，解得，符合题意； 当完美点为时，得，解得，符合题意； 当完美点为时，得，整理得， 解得，舍去， 当完美点为时，得，整理得， 解得，舍去， 故符合题意的m值有3个，分别为1，，， 故选：B． 【跟踪专练2】已知抛物线L：的系数满足等式． (1)若抛物线L经过点，求的值． (2)若，抛物线还经过另一点，且． ①求b的取值范围． ②记抛物线的顶点纵标为，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了求二次函数的最值，求抛物线的对称轴，根据二次函数的性质求字母参数的范围，解题关键是掌握二次函数的性质的进行求解． （1）先抛物线L经过点，得到关于待定系数的关系式，再结合系数满足等式，求出的值； （2）①先求出点的坐标，再求出抛物线的对称轴，根据，求得的取值范围． ②先根据抛物线的顶点纵标为，得出，根据，得到，再根据，得到，从而可用表示出，然后可得当时，取最小值，求出的最小值即可． 【详解】解：（1）∵抛物线L经过点， ∴当时，， ， ， ． （2）①∵， ∴， ∴抛物线经过， 抛物线经过， ∴抛物线的对称轴为． ． 的取值范围为． ②． ． ． 由①知， ∴当时，取最小值． 的最小值为． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）经过点和，M，N是抛物线上不同的两点，点M的坐标为，点N的坐标为．将抛物线上M，N两点之间的部分（包括M，N两点）记为图象G． (1)求抛物线的表达式； (2)求图象G上最高点与最低点的纵坐标的差d；（用含t的式子表示） (3)已知点，，若，当图象G在直线上方时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、待定系数法求函数表达式等，数形结合是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明点M，N关于直线对称，则，则图象G的最高点纵坐标为4，即可求解； （3）要使图象G在直线上方，即对于，都有，即，进而求解． 【详解】（1）解：将点和代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：将化为顶点式为， 抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线． ， 点M，N关于直线对称，． 图象G的最高点纵坐标为4， 将代入，得， ． （3）解：由题意知直线的方程为， 当时，， 要使图象G在直线上方，即对于，都有， 即． 由二次函数图象解不等式，得， 要在内， 解得． ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03用二次函数解决问题 【题型01 二次函数应用:图形问题】..................................3 【题型02 二次函数应用:图形运动问题】..............................4 【题型03 二次函数应用:拱桥问题】..................................5 【题型04 二次函数应用:销售问题】..................................7 【题型05 二次函数应用:投球问题】..................................8 【题型06 二次函数应用:喷水问题】..................................9 【题型07 二次函数应用:增长率问题】...............................10 【题型08 二次函数应用:其他实际问题】.............................11 【题型09 二次函数综合:线段周长问题】.............................12 【题型10 二次函数综合:面积问题】.................................13 【题型11 二次函数综合:角度问题】.................................15 【题型12 二次函数综合:特殊三角形问题】...........................16 【题型13 二次函数综合:特殊四边形问题】...........................17 【题型14 二次函数综合:其他综合问题】.............................19 ★知识梳理★ 知识点01:解题通用步骤（六步法） 1.审：审清题意，明确已知量、未知量，找出变量间的等量关系。 2.设：设自变量 x、因变量 y，明确变量含义与单位。 3.列：根据等量关系，列出二次函数表达式 y=ax2+bx+c（a0）。 4.定：结合实际意义，确定自变量 x 的取值范围（关键易错点）。 5.解：利用二次函数性质（配方法、顶点公式）求最值或特定值。 6.检与答：检验结果是否符合实际，写出完整答案。 知识点02:八类实际问题核心公式 / 建模式 （均设自变量为x，因变量为y，核心为单变量表示，转化为y=ax2+bx+c(a0)） 1.图形面积最值 y=单变量表示的长单变量表示的宽（矩形）；其他图形结合对应面积公式转化 2.销售利润最值 y=(售价进价x)原销量kx（x为涨 / 降价，k为销量变化系数） 通用式：总利润 = 单件利润 × 销售量 3.抛物线型问题 优先设顶点式：顶点在原点y=ax2；顶点(h,k)则y=a(x−h)2+k 4.行程运动最值 抛体高度：y=v0x−kx2（x为时间，v0为初速度，k为定值）； 距离最值：结合路程=速度时间，单变量表示速度 / 时间后代入 5.资源调配 / 用料最值 Y=单份用料调配数量剩余用料（最省料）； Y=单份效益调配数量（最大效益） 6.增长率 / 复利问题. y=m(1+x)2（m为初始量，x为年平均增长率，二次增长） 7.几何线段 / 周长最值 线段：结合勾股定理y2=a2+(bx+c)2（消元得y2的二次函数，求y最值）； 周长：y=2(单变量表示的长宽)（结合图形边长约束） 8.费用最省问题 Y=单份费用使用数量固定费用； 多类型调配：y=单价1单价2总量（、为单份承载量） 知识点03:易错点警示 1.忽略自变量取值范围，直接取顶点为最值，尤其实际问题中自变量多为正整数 / 非负数，顶点横坐标超出范围时需在端点取最值。 2.列函数式时单位不统一（如长度米与厘米、重量千克与克）、等量关系找错（如利润计算漏减成本、面积计算漏乘系数）。 3.抛物线型问题中坐标系建立不当，增加计算难度，或关键点坐标确定错误。 计算顶点坐标 / 最值时，公式运用错误（如顶点横坐标记为、最值计算漏除 4a）。 4.实际问题中未检验结果合理性，如边长、销量、增长率为负数，或取非整数解不符合实际场景。 【题型1.二次函数应用:图形问题】 【典例】如图、利用长为50m的篱笆及一面墙围一个矩形花圃（墙足够长）为了便于打理，决定在与墙平行的边上预留出宽为2m的出口．设边的长为，花圃的面积为，则与之间的函数关系式是 ．    【跟踪专练1】用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． (1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 【跟踪专练3】如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； (2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【题型2.二次函数应用:图形运动问题】 【典例】在边长为4m的正方形中间挖去一个长为xm的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，则y与x间的函数关系式为 . 【跟踪专练1】如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【跟踪专练2】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示： ___________，___________，___________． (2)写出关于的函数解析式及的取值范围． 【跟踪专练3.】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【题型3.二次函数应用:拱桥问题】 【典例】如图，隧道的截面是抛物线，可以用表示，该隧道内设双行道，一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为米，宽为米，如果要安全通过隧道，应满足 ．    【跟踪专练1】如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离为时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距时，桥孔内水面宽为． (1)如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式； (2)一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为．要使该船顺利通过桥孔，水面与拱顶至少相距多少？ 【跟踪专练3】如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为． (1)把桥拱看作一个二次函数的图像，以所在的直线为轴，以的中点为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； (2)有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为，宽为（横断面如图②），以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 【题型4.二次函数应用:销售问题】 【典例】某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是 ． 【跟踪专练1】某商店销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价．经调查，每千克售价为60元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，设每千克售价为x元，每天利润为W元，则W与x的关系式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件． (1)在每件降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ (2)小明说：“根据薄利多销的原则，只要降价不超过44元，降价越多每天获利越大．”你认同他的说法吗？请通过计算说明理由． 【跟踪专练3】甲、乙两汽车出租公司均有100辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 若两公司租出的汽车数量均为（）辆，甲的月利润用表示，乙的月利润用表示．根据上述信息，解决下列问题： (1)分别表示出甲、乙两公司的月利润（用含的代数式表示）； (2)甲公司最多比乙公司月利润多多少元？ 【题型5.二次函数应用:投球问题】 【典例】在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度与水平距离之间满足关系式，则实心球投出的水平距离为 ． 【跟踪专练1】如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求该运动员推铅球的成绩． 【跟踪专练3】篮球运动是同学们非常喜爱的一项体育运动，某天下午的课外活动时间，九年级的小宇同学代表班级参加了学校举办的班级对抗赛．比赛中，小宇在三分线外果断出手，篮球划过一道优美的抛物线．由此我们得出如下实际问题：已知篮球出手时的高度约为，飞行后精准落入高度为的篮筐中；篮球在空中飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度． (1)如图，建立平面直角坐标系，抛物线的最高点的坐标为，请你求出篮球飞行过程中的最大高度h． (2)此时，如果对方球队的防守队员在小宇身前处提前起跳试图拦截，已知该队员的最大摸高为，那么这名防守队员能否成功拦截小宇的这次投球？ 【题型6.二次函数应用:喷水问题】 【典例】某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点之间的距离为 m．    【跟踪专练1】如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） . A． B． C． D． 【跟踪专练2】2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【跟踪专练3.】小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 【题型7.二次函数应用:增长率问题】 【典例】据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为 ． 【跟踪专练1】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【跟踪专练3】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【题型8.二次函数应用:其他实际问题】 【典例】东台鱼汤面是“中华名小吃”．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽cm，碗深cm，则当满碗汤面的竖直高度下降cm时，碗中汤面的水平宽度为 cm（碗的厚度不计）． 【跟踪专练1】若小敏骑单车的时间（单位：）受骑车速度（单位：）的影响，其关系可以用描述，则小敏从奥体中心回到家里所需的时间最短为（　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【跟踪专练2】16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为，求出a，b的值； (2)在（1）问的条件下，火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【跟踪专练3】通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（以下简称“指标”）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加；中间一段时间，指标保持平稳状态；随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当时，图象是顶点为A的抛物线的一部分；时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分． (1)求当和时，图象所对应的函数表达式； (2)体育老师在一节课上进行某项运动的教学需要16分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于55才能达到较好的效果，老师的教学设计能实现吗？请说明理由． 【题型9.二次函数综合:线段周长问题】 【典例】如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为 ． 【跟踪专练1】如图，抛物线与均过点，直线交x轴于点P，且与两抛物线形成的封闭图象交于E，F两点．若点F的横坐标为1，点Q为y轴上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【跟踪专练2】如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 【跟踪专练3】如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)当线段长等于2时，求点的坐标． (3)直接写出线段长的最大值是________． 【题型10.二次函数综合:面积问题】 【典例】如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，作x轴的垂线交二次函数的图像于点，，，…，，若记的面积为，过点作于点，记的面积为，过点作于点，记的面积为……依次进行下去，则 ，记的面积为，则 ． 【跟踪专练1】如图，已知抛物线与的形状相同，顶点分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【跟踪专练2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求点A、点B和点C的坐标； (2)若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)求出点A、B、C的坐标； (2)若点D为抛物线上在第一象限内的动点，请连接，，并解答下面的问题：当点D运动到何处时，的面积最大？并求出点D的坐标和面积的最大值． 【题型11.二次函数综合:角度问题】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． . 【跟踪专练1】如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是 ． 【跟踪专练2】如图，已知二次函数的图象经过点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接、，求四边形的面积 (3)若点是抛物线图象上的一点，且满足，请直接写出满足要求的所有点的坐标． 【跟踪专练3】如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【题型12.二次函数综合:特殊三角形问题】 【典例】如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【跟踪专练1】如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：抛物线的图象的对称轴一定是轴；当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；直线中，如果发生变化，的长度可以等于；随着的值变化，有可能成为等边三角形；当时，．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【跟踪专练3】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点E为线段上一动点，过点E的直线平行于y轴并交抛物线于点F，当线段最大时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型13.二次函数综合:特殊四边形问题】 【典例】如图，边长为8的正方形的中心在直角坐标系的原点O，轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是 ． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【跟踪专练3】综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型14.二次函数综合:其他综合问题】 【典例】如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为 ． 【跟踪专练1】定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．如：函数的图象上的点到两个坐标轴的距离相等，我们就称点是函数的图象的完美点．若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，则满足要求的的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【跟踪专练2】已知抛物线L：的系数满足等式． (1)若抛物线L经过点，求的值． (2)若，抛物线还经过另一点，且． ①求b的取值范围． ②记抛物线的顶点纵标为，求的最小值． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）经过点和，M，N是抛物线上不同的两点，点M的坐标为，点N的坐标为．将抛物线上M，N两点之间的部分（包括M，N两点）记为图象G． (1)求抛物线的表达式； (2)求图象G上最高点与最低点的纵坐标的差d；（用含t的式子表示） (3)已知点，，若，当图象G在直线上方时，求t的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $