精品解析：北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2025-2026学年高一上学期12月统练数学试题

高一年级数学统练 20251203 一.选择题 1. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数单调性得到的取值范围，从而得解. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B. 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用任意角三角函数的定义求解即可. 【详解】由任意角三角函数定义得，故C正确. 故选：C 3. 已知扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助扇形周长公式、弧长公式与面积公式计算即可得. 【详解】由题意可得，解得，故. 故选：B. 4. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数和指数幂的运算性质，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键． 【详解】解：是定义在上的偶函数， ， ，， ， 在，上是增函数， 在，上为减函数， 则， 即， 故选． 【点睛】本题主要考查大小比较，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系以及对数的运算性质是解决本题的关键，属于基础题． 5. “角与的终边关于直线对称”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足的关系，根据充分必要条件的定义即可求解. 【详解】角与的终边关于直线对称，则，， 又，则，， 所以由角与的终边关于直线对称，可以推出， 由，可以推出角与的终边关于直线对称， 所以角与的终边关于直线对称是的充要条件. 故选：A. 6. 宋代词人周邦彦词中曾写“叶上初阳干宿雨，水面清圆，一一风荷举”．已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据：）（ ） A. 15天 B. 16天 C. 17天 D. 18天 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定出天数与荷叶覆盖水面的面积之间的关系式，再结合指数幂、对数的运算性质求解即可. 【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为， 则经过天荷叶覆盖水面的面积， 由题意得，即， 两边取以10为底的对数得， 所以， 解得． 故选：． 7. 已知，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系式，首先切化弦，然后利用平方关系化简，可得答案. 【详解】由， 则，整理得， 所以， 则， 即. 故选：C 8. 高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数也被广泛应用于生活、生产的各个领域，其中表示不超过的最大整数，如：，，若函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分为偶数和为奇数两种情况，分别求的值即可. 【详解】当为偶数时，，则； 当为奇数时，，则， 所以的值域为. 故选：A 二.填空题 9. 函数在[3,4]上最大值比最小值大1，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分别讨论和两种情况，根据对数函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为函数在上最大值比最小值大1， 当时，函数单调递增， ， 解得，符合题意； 当时，函数单调递减， ， 解得，符合题意； 故答案为：或. 10. 已知，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】结合同角三角函数的关系式，根据齐次式法求解即可. 【详解】由，则，解得， 所以. 故答案为：1. 11. 已知，是关于的一元二次方程的两根，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据韦达定理得，再分解平方关系解得即可． 【详解】，是关于的一元二次方程的两根， 则，即， ， 则， ，则． 故答案为：． 12. 已知函数是上的减函数，那么的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由为上的减函数，故单调递减，单调递减，且，计算即可得. 【详解】由题意可得在定义域内单调递减，在定义域内单调递减， 且，即有，解得， 即. 故答案为：. 13. 已知角，若，则__________；__________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由条件结合诱导公式求，根据特殊角三角函数值求出， 即可. 【详解】因为，所以，故，又，所以， 所以， 故答案为：，. 14. 若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___． 【答案】（满足即可） 【解析】 【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解. 【详解】与关于轴对称， 即关于轴对称， ， 则， 当时，可取的一个值为. 故答案为：（满足即可）. 15. 切比雪夫多项式满足，其中，．关于，下列说法正确的是________． ①的值域是 ②为偶函数 ③有2025个零点 ④ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】令，则，则可求出值域判断A；结合新定义与诱导公式可判断BD；由，，先解得，再由且均不相等，判断D. 【详解】由，得，令， 对于①， 由，得，值域为， 则，即值域为，①正确； 对于②，， 即，则为奇函数，又非常数函数，因此不是偶函数，②错误； 对于③，令，，则，， ，共有2025个解，且满足， 由于在单调递减，则均不相等，则有2025个零点，③正确； 对于④，，④正确. 故答案为：①③④ 三.解答题 16. 计算求值. （1）已知，求的值. （2）若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 【答案】（1）. （2）（i），（ii）. 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简原式，然后代入求值； （2）由同角三角函数的关系求出，（i）分子分母同除，得到关于的代数式，然后代值求结果；（ii）由诱导公式化简代数式，然后代值求结果. 【小问1详解】 【小问2详解】 ∵ ∴， 则 （i） （ii） 17. 已知，函数． （1）当时，解不等式； （2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围； 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）当时，得到，根据，得出不等式，即可求解； （2）化简（其中），根据函数只有一个零点，得到方程在上只有一个解，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）当时，， 由，即，可得，解得或， 即不等式的解集为. （2）由（其中）， 因为函数只有一个零点，即只有一个根， 即在上只有一个解， 即在上只有一个解， ①当时，方程，解得，复合题意； ②当时，设函数 当时，此时函数与轴的正半轴，只有一个交点，复合题意； 当时，要使得函数与轴的正半轴只有一个交点， 则满足，解得 ， 综上可得，实数的取值范围是. 【点睛】根据函数的零点求参数的范围的求解策略： 1、转化：把已知函数的零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况； 2、列式：根据函数零点的存在性定理或结合函数的图象、性质列出方程（组）或不等式（组）； 3、结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围； 18. 对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. （1）分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； （2）若（）是集合中的元素，求的最小值； （3）若，求证：是的充分不必要条件. 【答案】（1）①不是. 当时，， ， 所以不是集合中的元素； ②是. ，， 所以是集合中的元素. （2）1 （3）证明:充分性：因为，所以，，，进而， 同理，相加得，即，所以充分性满足； 必要性：设，，， 所以，此时，当时，， 所以在上单调递减，因此，所以必要性不满足； 综上所述，是的充分不必要条件. 【解析】 【分析】（1）判断①时，取结合定义进行分析；判断②时，根据的结果进行分析； （2）分别考虑： ，然后根据定义结合对数运算以及对数函数单调性分析出时，时，由此可确定出的最小值； （3）根据定义直接分析充分性，证明必要性成立时取，然后分析在上的单调性，由此推出矛盾完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，，， ， 因为，在上单调递减， 故成立，即； 若，令，， ， 因为，在上单调递减， 所以，因此， 综上所述，的最小值为1. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，涉及参数范围求解、充分不必要条件的证明等问题，对学生的分析与推理能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键：证明充分性时，通过将和加起来，以此证明；证明必要性时，构造并分析的单调性是证明的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学统练 20251203 一.选择题 1. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是 A. B. C. D. 5. “角与的终边关于直线对称”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 宋代词人周邦彦词中曾写“叶上初阳干宿雨，水面清圆，一一风荷举”．已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据：）（ ） A. 15天 B. 16天 C. 17天 D. 18天 7. 已知，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数也被广泛应用于生活、生产的各个领域，其中表示不超过的最大整数，如：，，若函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 二.填空题 9. 函数在[3,4]上最大值比最小值大1，则________． 10. 已知，则________． 11. 已知，是关于的一元二次方程的两根，则________． 12. 已知函数是上的减函数，那么的取值范围是________. 13. 已知角，若，则__________；__________． 14. 若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___． 15. 切比雪夫多项式满足，其中，．关于，下列说法正确的是________． ①的值域是 ②为偶函数 ③有2025个零点 ④ 三.解答题 16. 计算求值. （1）已知，求的值. （2）若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 17. 已知，函数． （1）当时，解不等式； （2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围； 18. 对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. （1）分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； （2）若（）是集合中的元素，求的最小值； （3）若，求证：是的充分不必要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $