精品解析：甘肃省兰州市第四片区2025-2026学高二上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年第一学期12月月考高二数学试卷 一.单选题:本题共5小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程得出与坐标轴交点坐标，即可求出结果. 【详解】由题知， 直线与轴交于点，与轴交于点， 所以围成的三角形的面积为． 故选：C 2. 已知直线l过点且与线段（）有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设线段（）的左右端点分别为，计算出，由此求得的取值范围. 【详解】设线段（）的左右端点分别为， 如图，，，∴. 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线的斜率，属于基础题. 3. 斜率为4的直线经过点A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三点，则a，b的值为(　　) A. a＝ ，b＝0 B. a＝－，b＝－11 C. a＝，b＝－11 D. a＝－，b＝11 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，则，故选C． 4. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用两直线平行求出的值，再利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，可得， 所以，即， 所以两平行间距离公式可得， 故选：A 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，得出直角边与斜边的关系，再结合椭圆的定义易得离心率． 【详解】由题设知是直角三角形， ，，， ，． 又由椭圆的定义，得，， 故． 故选：B． 6. 直线和直线垂直，则实数的值为（　　） A. 1 B. 0 C. 2 D. 或0 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线垂直建立m的方程，解得m，即可得出． 【详解】由两直线垂直可得：， 解得或-1． 故选D． 【点睛】本题考查了直线垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7. 已知是圆上的动点，点的坐标为，则的最小值为（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出点到圆心的距离，减去半径得所求最小值． 【详解】由已知圆心为原点，半径为，，所以． 故选：D． 【点睛】本题考查定点到圆上点的距离的最值问题，平面上定点到圆心距离加或减云半径的值分别为定点到圆上点的距离的最大值，最小值． 8. 已知椭圆：的左焦点为，离心率为为椭圆上关于轴对称的两点，，若，则椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，，根据得，由点在椭圆上得，再结合消元解方程即可求得，得解. 【详解】根据为椭圆上关于轴对称的两点，，设，则， 因为，，所以， 所以，根据点在椭圆上得， 所以，又椭圆的离心率为，所以，， 所以，解得，则，所以椭圆方程为. 故选：B 二．多选题: 本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列直线中，一定与直线平行的是（ ） A. B. C. （） D. （） 【答案】AD 【解析】 【分析】利用直线平行的条件进行判定. 【详解】即； 即； （）即； （）即. 令，解得,令,得,无解. 当两直线方程中的系数对应相等时，两直线平行的充分必要条件是其常数项不相等， 故AD中的直线与已知直线平行，C中的直线可能与已知直线重合， B中的直线与已知直线的对应不成比例，故而不平行. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为，半径为 B. 圆的圆心为，半径为 C. 圆的圆心为，半径为 D. 圆的圆心为，半径为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆的标准方程特征即可求得圆心和半径. 【详解】圆的圆心为，半径为，A正确； 圆的圆心为，半径为，B错误； 圆的圆心为，半径为，C正确； 圆的圆心为，半径为，D错误． 故选：AC. 11. 已知直线y=kx+1与椭圆，则（ ） A. 直线y=kx+1恒过定点(0，1) B. 方程表示椭圆的条件为m>0 C. 方程表示椭圆的条件为0<m<5 D. 直线与椭圆总有公共点的m取值范围是m≥1且m≠5 【答案】AD 【解析】 【分析】对四个选项一一验证： 对于A：用点斜式方程一一验证； 对于B：利用椭圆的标准方程验证； 对于C：利用椭圆的标准方程验证； 对于D：判断直线圆椭圆的位置关系即可. 【详解】解析：由于直线y=kx+1可以化为y-1=k(x-0)，恒过点(0，1)，故A正确； 而方程表示椭圆的条件为m>0且m≠5，故B，C错误； 若直线与椭圆总有公共点，则点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5，故D正确. 故选：AD. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角大小为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程可得直线的斜率，即可求得直线的倾斜角. 【详解】由题意可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，故， 故答案为： 13. 若椭圆的方程为，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________. 【答案】4或8 【解析】 【分析】先由椭圆方程表示出焦距，再由题意列出方程，求解即可. 【详解】因为是椭圆的方程，所以且，所以, 由椭圆的方程可得，又， 所以，解得或. 故答案为4或8 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，由椭圆的长半轴、短半轴以及半焦距之间的关系即可求解，属于基础题型. 14. 已知方程表示一个圆，则的取值范围为__________，该圆的半径的最大值为__________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到，求出的取值范围，并根据求出半径的最大值. 【详解】该方程可化为圆的标准方程． 由，得． 因为， 所以该圆的半径的最大值为． 故答案为：，2 四.解答题.本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两圆和. （1）当a为何值时，两圆外切？ （2）当时，试判断两圆的位置关系. 【答案】（1）或 （2）两圆相交 【解析】 【分析】（1）把两圆的一般方程转化为标准方程，在根据两圆外切的条件列式求解即可. （2）把代入方程直接判断两圆位置关系即可. 【小问1详解】 将两圆的方程写成标准方程为， ，所以两圆的圆心和半径分别为 ，， 两圆的圆心距为， 当两圆外切时，，即，解得或. 【小问2详解】 当时，，所以两圆相交. 16. 过点引一直线，使它与两点的距离相等，求直线的方程. 【答案】或. 【解析】 【分析】转化条件得直线或者直线经过的中点，分别利用点斜式、两点式求得直线的方程即可得解. 【详解】若过点的直线与两点的距离相等， 则直线或者直线经过的中点， 当直线时，其斜率， 此时直线的方程为即； 当直线经过的中点时，的中点的坐标为即， 直线的方程为即； 综上，直线的方程为或. 【点睛】本题考查了直线方程的综合应用，考查了运算求解能力，关键是对条件合理转化，属于基础题. 17. 在三角形ABC中，，，边上的高所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为． （1）求C的坐标； （2）若，试判断A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由． 【答案】（1） （2）A，B，C，D四点共圆，证明： A，B，C，D四点共圆，理由如下： 设的外接圆为; 将，,坐标分别代入外接圆方程得： 解得, 所以的外接圆为； 将代入外接圆方程左边得到，满足圆的方程，所以在的外接圆上，即A，B，C，D四点共圆. 【解析】 【分析】（1）由边上的高所在直线的方程为，设，再得到AC边上的中点为 代入AC边上的中线所在直线的方程，求出，即可得到点的坐标； （2）先由三个顶点坐标求出其外接圆方程，再验证在的外接圆上，即A，B，C，D四点共圆. 【小问1详解】 因为边上的高所在直线的方程为，所以设，则AC边上的中点为 ， 又因为AC边上的中线所在直线的方程为，所以,解得 ，所以 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆的两个焦点分别为，，P为椭圆上一点，且． （1）求此椭圆的标准方程； （2）若点P在第二象限，，求△的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的标准方程为且，根据椭圆的定义求得，进而求得的值，即可求解； （2）根据椭圆的定义，得到，结合余弦定理列出方程，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为，焦距为， 由椭圆的两焦点分别为，，可得，， ∴，可得， ∴，则， ∴椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 ∵在第二象限，，在△中，由． ∴根据余弦定理得，即，解得， ∴． 19. 已知圆的圆心在直线上，点在第一象限且与轴相切，圆被直线截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足，记点的轨迹为.求的方程，并说明是什么图形； 【答案】（1） （2）的方程为,是直线 【解析】 【分析】（1）圆心在直线上且与轴相切，可设圆心坐标，再利用弦长公式求出半径. （2）根据切线的性质，利用两点间距离公式建立等式化简得到轨迹方程，再根据方程形式判断图形. 【小问1详解】 设圆心，，因为圆与轴相切，所以半径. 圆心到直线的距离. 已知圆被直线截得的弦长为，根据弦长公式，可得. 两边同时平方得，即. 整理得，解得或（舍去，因为）. 所以圆心，半径，圆的方程为. 【小问2详解】 设，因为，. 由两点间距离公式，. 因为，所以. 两边同时平方整理得. 即. 所以轨迹的方程为，它表示一条直线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期12月月考高二数学试卷 一.单选题:本题共5小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l过点且与线段（）有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 斜率为4的直线经过点A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三点，则a，b的值为(　　) A. a＝ ，b＝0 B. a＝－，b＝－11 C. a＝，b＝－11 D. a＝－，b＝11 4. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 6. 直线和直线垂直，则实数的值为（　　） A. 1 B. 0 C. 2 D. 或0 7. 已知是圆上的动点，点的坐标为，则的最小值为（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 8. 已知椭圆：的左焦点为，离心率为为椭圆上关于轴对称的两点，，若，则椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 二．多选题: 本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列直线中，一定与直线平行的是（ ） A. B. C. （） D. （） 10. 下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为，半径为 B. 圆的圆心为，半径为 C. 圆的圆心为，半径为 D. 圆的圆心为，半径为 11. 已知直线y=kx+1与椭圆，则（ ） A. 直线y=kx+1恒过定点(0，1) B. 方程表示椭圆的条件为m>0 C. 方程表示椭圆的条件为0<m<5 D. 直线与椭圆总有公共点的m取值范围是m≥1且m≠5 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角大小为_____________. 13. 若椭圆的方程为，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________. 14. 已知方程表示一个圆，则的取值范围为__________，该圆的半径的最大值为__________． 四.解答题.本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两圆和. （1）当a为何值时，两圆外切？ （2）当时，试判断两圆的位置关系. 16. 过点引一直线，使它与两点的距离相等，求直线的方程. 17. 在三角形ABC中，，，边上的高所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为． （1）求C的坐标； （2）若，试判断A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由． 18. 已知椭圆的两个焦点分别为，，P为椭圆上一点，且． （1）求此椭圆的标准方程； （2）若点P在第二象限，，求△的面积． 19. 已知圆的圆心在直线上，点在第一象限且与轴相切，圆被直线截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足，记点的轨迹为.求的方程，并说明是什么图形； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $