精品解析：吉林省长春市赫行实验学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

八年级质量检测数学学科 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算（ ） A. B. C. D. 3. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算：的值是（ ） A. B. C. D. 5. 将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长界于两个相邻的整数之间，这两个整数分别是（ ） A. 0和1 B. 1和2 C. 2和3 D. 3和4 6. 如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 8 7. 如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ） A. ，两边中线的交点处 B. ，两边垂直平分线的交点处 C. ，两边高线的交点处 D. ，两内角平分线的交点处 8. 如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 比较大小： ___________．（选填“＞”、“=”、“＜”） 10. 已知，，则的值为____． 11. 已知，则的值_______． 12. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为_____． 13. 如图，在“”的正方形网格中，的度数为________． 14. 如图，在中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于，则下列结论： ①； ②； ③； ④， 其中正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 16. 计算： 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 已知的算术平方根是3，，试判断以，，为边长的三角形的形状，并说明理由． 19. 已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC， （1）证明ABDF是平行四边形； （2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长． 20. 如图，一个小长方形的长为，宽为，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）求在大长方形中，阴影部分的面积（用含，的式子来表示）． （2）若，大长方形面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则________． 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.线段的端点在格点上，按要求画图． （1）在图①中找出一个格点，使是面积最小的直角三角形．画出这个直角三角形，并直接写出它的面积为_________． （2）在图②中找出一个格点，使是面积最大的直角三角形．画出这个直角三角形，并直接写出它的面积为________． 22. 在边长为2的等边中，是边上的中线，为上一动点，连接，在的下方作等边． （1）如图①，当时，连接， ①________． ②求证：． （2）如图②，连接，直接写出的周长的最小值，并写出此时的度数． 23. 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 24. 如图，在平行四边形中，，平行四边形的面积为，动点在边上从点向点运动，连接，将沿着翻折成，点的对应点为． （1）点到的距离为________； （2）①判断的形状，并证明． ②在点的运动过程中，点在内部时，长度的取值范围是________． （3）①在点的运动过程中，直线交边于点时，长度的最小值为________； ②连接和，当是等腰三角形时，请直接写出此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级质量检测数学学科 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的识别，无理数是指无限不循环小数的实数．根据定义求解即可． 【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数． 对于A：是无限不循环小数， ∴ 是无理数． 对于B：，是整数， ∴是有理数． 对于C：是分数， ∴是有理数． 对于D：是有限小数， ∴是有理数． ∴ 故选：A． 2. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了乘法的意义（多个相同加数的和）与乘方的意义（多个相同因数的积），熟练掌握乘法和乘方的定义是解题的关键．根据根据加法及乘方的意义求解即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 故选：D． 3. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查因式分解的定义，将一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式因式分解，通过因式分解的提公因式法和公式法（如完全平方公式）逐一验证各选项，只有C选项正确使用完全平方公式 【详解】A、， A错误； B、， B错误； C、， C正确； D、， D错误； 故选：C 4. 计算：的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法逆运算，先用同底数幂的乘法逆运算将化为，再提公因数计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 5. 将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长界于两个相邻的整数之间，这两个整数分别是（ ） A. 0和1 B. 1和2 C. 2和3 D. 3和4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查估计无理数的大小，先根据面积求出正方形的边长，再估计结果． 【详解】解：2×4=8， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ∵， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选：B． 7. 如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ） A. ，两边中线的交点处 B. ，两边垂直平分线的交点处 C. ，两边高线的交点处 D. ，两内角平分线的交点处 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得． 【详解】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在两边垂直平分线的交点处． 故选：B． 8. 如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，由勾股定理求出，如图所示，在上截取，连接，证明得到，则可推出当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：，，， ． 如图所示，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴此时有， ， 即的最小值为． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 比较大小： ___________．（选填“＞”、“=”、“＜”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】将两数分别平方进行比较即可 【详解】解：，， ∵12＞11， ∴＞． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．两个正无理数比较，被开方数大的比被开方数小的大；一个有理数与一个开方开不尽的数比较，常通过比较它们的平方（或立方）的大小来比较或都化成带根号的数比较被开方数的大小． 10. 已知，，则的值为____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运用，熟练掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则是解题的关键． 将转化为，再代入已知值计算． 【详解】解：∵ ， ∴ 故答案为：10． 11. 已知，则的值_______． 【答案】 【解析】 【分析】运用平方差公式，结合化简求值即可． 【详解】解：原式 ． 12. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长． 【详解】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120° ∴∠BCD=∠DBC=30° ∵△ABC是边长为3的等边三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60° ∴∠DBA=∠DCA=90° 延长AB至F，使BF=CN，连接DF， 在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC ∴△BDF≌△CND ∴∠BDF=∠CDN，DF=DN ∵∠MDN=60° ∴∠BDM+∠CDN=60° ∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边 ∴△DMN≌△DMF， ∴MN=MF ∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6． 13. 如图，在“”的正方形网格中，的度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】先标注格点，连接，，证明，，，再进一步解答即可． 【详解】解：标注格点，连接，， 由网格特点可得：， ∴， 由勾股定理可得： ，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的性质，勾股定理及其逆定理的应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 14. 如图，在中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于，则下列结论： ①； ②； ③； ④， 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】依次分析每个结论：①利用三角形面积公式结合角平分线性质判断；②利用三角形内角和及角平分线定义求；③通过角的关系证明三角形全等得；④利用全等三角形的边的关系推导． 【详解】解：∵是的平分线， ∴点到、的距离相等， 设该距离为， 又∵，， ∴，①正确． 在中，， ∴． ∵、是角平分线， ∴，， ∴， ∴，②正确． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴． 又∵，， ∴（）， ∴，③正确． 由，得，． ∵， ∴， ∴ ∴（）， ∴． ∵， ∴，④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面积公式、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握平方根，立方根的概念正确化简计算是解题关键． 先分别化简算术平方根，立方根，乘方，绝对值，然后计算乘法，最后进行有理数的加减混合运算． 【详解】解： 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方与幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得． 【详解】解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、完全平方公式以及求值，熟练掌握运算法则是解题关键 先计算多项式乘以多项式、完全平方公式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将，代入得：原式． 18. 已知的算术平方根是3，，试判断以，，为边长的三角形的形状，并说明理由． 【答案】 直角三角形 【解析】 【分析】根据偶次方的非负性，绝对值的非负性，算术平方根的非负性得出a、b、c的值，然后根据勾股定理逆定理即可得出答案． 本题考查了偶次方、绝对值、算术平方根的非负性，勾股定理逆定理，根据题意得出a、b、c的值是解本题的关键． 【详解】解：以为边长的三角形是直角三角形．理由如下： 由题意可知， 所以． 因为， 所以， 所以以为边长的三角形是直角三角形． 19. 已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC， （1）证明ABDF是平行四边形； （2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长． 【答案】 （1）证明：∵BD垂直平分AC， ∴AB=BC，AD=DC， 在△ADB与△CDB中， ， ∴△ADB≌△CDB（SSS） ∴∠BCD=∠BAD， ∵∠BCD=∠ADF， ∴∠BAD=∠ADF， ∴AB∥FD， ∵BD⊥AC，AF⊥AC， ∴AF∥BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， （2）． 【解析】 【分析】（1）先证得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得． （2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5， ∴▱ABDF是菱形， ∴AB=BD=5， ∵AD=6， 设BE=x，则DE=5-x， ∴AB2-BE2=AD2-DE2， 即52-x2=62-（5-x）2 解得：x=， ∴， ∴AC=2AE=． 考点：1．平行四边形的判定；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理． 20. 如图，一个小长方形的长为，宽为，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）求在大长方形中，阴影部分的面积（用含，的式子来表示）． （2）若，大长方形面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则________． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算、代数式的化简与求值，熟练掌握“根据小长方形的长和宽确定大长方形的边长，通过面积差计算阴影部分面积”是解题的关键． （1）先根据小长方形的长、宽确定大长方形的长和宽，计算大长方形面积后，减去6个小长方形的面积，得到阴影部分面积． （2）将代入和的表达式，计算两者的比值． 【小问1详解】 解：由图可知，， ∴大长方形面积为，6个小长方形面积， ∴阴影部分面为 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴． 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.线段的端点在格点上，按要求画图． （1）在图①中找出一个格点，使是面积最小的直角三角形．画出这个直角三角形，并直接写出它的面积为_________． （2）在图②中找出一个格点，使是面积最大的直角三角形．画出这个直角三角形，并直接写出它的面积为________． 【答案】（1）如图①中，△ABM即为所求作，1.5； （2）如图②中，△ABN即为所求作，2.5 【解析】 【分析】（1）作出直角边分别为1，3的直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可；（2）作出AB为斜边的等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1） （2）∵，，， ∴ ∴为直角三角形 ∴ 【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 在边长为2的等边中，是边上的中线，为上一动点，连接，在的下方作等边． （1）如图①，当时，连接， ①________． ②求证：． （2）如图②，连接，直接写出的周长的最小值，并写出此时的度数． 【答案】（1）①； ②证明：∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的性质可得，求得，再利用求解即可； ②根据等边三角形的性质可得，，，再利用等量代换可得，再根据全等三角形的判定证明即可； （2）连接，由②同理可证，可得，作点关于的对称点，连接、，则，当三点共线，的最小值为，且时，的周长最小，再根据等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①∵、是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ② 略 【小问2详解】 解：连接， ∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； ∵是边上的中线， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接、，则， ∴当三点共线，的最小值为，且时，的周长最小， 由轴对称的性质得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【答案】（1）（2） （3） （4），理由如下： 先对配方， 得到 ， 要让为完美数，可令， 即， 又、是整数， 和也是整数，符合“完美数”的定义， 符合条件的一个值为．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了配方法，非负数的性质以及对新定义“完美数”的理解与应用．理解新定义“完美数”的定义是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义找到两个整数的平方和为即可； （2）对二次三项式用配方法，凑出完全平方形式，对比得出和的值进行计算即可； （3）将原始拆分为两个完全平方的和，利用非负数的性质求出，的值，再计算即可； （4）先对进行配方，整理为两个整数平方和的形式，结合“完美数”的定义，确定常数的值，使剩余项抵消即可． 【详解】解：（1），符合“完美数”的定义． 故答案为（答案不唯一）； （2）对配方， 得到 ， ， ． 故答案为； （3）对式子进行配方 ， ， 且， ， ． 故答案为； （4）略 24. 如图，在平行四边形中，，平行四边形的面积为，动点在边上从点向点运动，连接，将沿着翻折成，点的对应点为． （1）点到的距离为________； （2）①判断的形状，并证明． ②在点的运动过程中，点在内部时，长度的取值范围是________． （3）①在点的运动过程中，直线交边于点时，长度的最小值为________； ②连接和，当是等腰三角形时，请直接写出此时的长度． 【答案】（1） （2）①直角三角形② （3）①②或 【解析】 【分析】（1）根据面积及一边长即可求得结果； （2）①求出各边长，利用勾股定理的逆定理可得；②分别求出点落在边上时，的长，则取值范围可得； （3）①当时，值最小；②分类讨论三边两两相等时的位置，进而求得的长． 【小问1详解】 解：过点A作于， ∵，， ∴， 点到的距离为：； 故答案为：． 【小问2详解】 ①解：是直角三角形；理由如下， 连接，过点A作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：是直角三角形． ②解：∵是直角三角形，， ∴， ∴， 当在边上时，如图所示， ∵， ∴是等边三角形，， ∴； 当在边上时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， 【小问3详解】 解：①由（1）可知，在直角三角形中， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知： ∵在中，，， ∴由垂线段最短可得：当时，有最小值， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②如图所示：分别以为圆心，为半径作圆， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上； 当时，是的交点，因此在上，是等边三角形，；或在上，是等边三角形，； 当时，是与垂直平分线的交点，因此在上，是等边三角形，； 当时，是与的交点，因此在上，是等边三角形，； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了图形变换——翻折、平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，关键是灵活应用知识点解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $