精品解析：浙江省绍兴市诸暨市诸暨市暨阳初级中学2025-2026学年八年级上学期12月期中数学试题

暨阳初中2025学年第一学期期中测试试卷 八年级数学卷 分值：100分 时间100分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，则此项符合题意； D、是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 2. 下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直；③两边和一角对应相等的两个三角形全等；④同位角相等．其中假命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及对顶角、平行线的性质、垂线的性质，三角形全等的条件等知识点，根据相关知识点判断命题的真假即可． 【详解】解： ①对顶角相等，是真命题； ②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，而非垂直，故是假命题； ③两边和一角对应相等，若角不是夹角，则三角形不一定全等（如情况），故是假命题； ④同位角相等需两直线平行，未说明前提，故是假命题； ∴ 假命题有②、③、④，共3个． 故选C． 3. 能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，说明一个命题是假命题只需举一个反例．根据“对于任何实数a，”成立的条件是即可得答案． 【详解】解：∵时，， ∴当时，原命题不成立，故A符合题意； 当时，原命题成立，故B不符合题意， 当时，原命题成立，故C不符合题意， 当时，原命题成立，故D不符合题意， 故选：A． 4. 如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由点为的中点得出，由点为的中点得出，最后再由点为的中点即可得出答案． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴，即， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 5. 将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质解一元一次不等式的方法是解题的关键． 不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 故选：B． 6. 如图，在和中，已知，添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：， 当添加时，无法判断，故A选项符合题意； 当添加，则可根据判断，故B选项不符合题意； 当添加，则可根据判断，故C选项不符合题意； 当添加，则，则可根据判断，故D选项不符合题意； 故选：A． 7. 两个直角三角尺如图摆放，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角定理等知识，正确求出和三角形外角定理是解题的关键． 利用平行线的性质求出的度数，再利用求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴． 故选：D． 8. 如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上截取，连接，利用可证得，于是可得，，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分，， ， 在和中， ， ， ，， ， 垂线段最短， 当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，如图，， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用垂线段最短解决最短路线问题，涉及角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键． 9. 数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，、、在同一直线上，设，，则正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，熟练应用勾股定理是解题的关键．设，则，根据全等的性质可得，利用线段之间的数量关系可表示出的长，进而列式用、表示出，从而表示出，，在中，利用勾股定理表示出 ，从而得解． 【详解】解：设，则， 四个直角三角形全等， ， ， ， ，， 在中， ， 正方形的面积为 ． 故选：B． 10. 如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． ①作，由角平分线性质得，证平分（①对）； ②用全等得，结合，证②错； ③借全等将、转化为、，得（③对）； ④由外角性质+角平分线，得（④对）． 【详解】解：如图， 作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，，， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分，故①正确． 在和中， ∴，同理， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②错误． ∵，， ∴，故③正确． ∵，且（平分）， ∴，故④正确． 故选：D． 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 周末小高同学全家去饭店吃饭，他发现饭店房间里放着一个儿童座椅（如图），他观察这个儿童座椅的主体框架成三角形，从而保证儿童坐上去会很安全，这样的设计利用的数学原理是三角形的______（填“稳定性”或“不稳定性”）． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，深刻理解三角形的稳定性是解题的关键：如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性． 利用三角形稳定性的概念即可直接得出答案． 【详解】解：根据三角形稳定性的概念可知，这样的设计利用的数学原理是三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 12. 若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的底角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵， ∴等腰三角形的顶角等于， ∴底角的度数为． 故答案为：． 13. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，交于点E，连接BD．若，，，则的周长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得：垂直平分，则，即可求解． 【详解】解：由题意可得：垂直平分，则， 的周长 故答案为： 【点睛】此题考查了垂直平分线的尺规作图以及性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． 14. 如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，由直角三角形的性质可得，即得，得到，再根据直角三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 故答案为：． 15. 关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 由分式方程的解为非负数，得到且， 解得：且． 故答案为：且． 16. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：由折叠的性质可得 设，， ∵长方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 17. 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为_______． 【答案】1秒，或3.5秒，或12秒 【解析】 【分析】根据于E，于F，得到与都是直角三角形，当与全等时，得到，分三种情况讨论求解即可，当P在上，Q在上时，根据，，得到，解得；当P、Q在上重合时，根据，，得到，解得：当Q到达A点后，点P运动到上时，根据，得到．满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质定理，分类讨论，是解题的关键． 【详解】∵于E，于F， ∴， ∴与都是直角三角形， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得； 当P、Q在上重合时，，， ∴， 解得： 当Q到达A点后，点P运动到上时，， ∴． 综上，当与全等时，满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 故答案为：1秒，或3.5秒，或12秒． 18. 如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数为________．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F，则， 由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（本题共6小题，共46分） 19. 解不等式（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解不等式（组），解题关键是熟练运用解不等式（组）的方法进行解答． （1）首先移项，然后再合并同类项，最后把x的系数化为1即可； （2）分别计算出两个不等式的解集，然后再利用“同小取小”确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 移项，， 合并同类项，， 系数化为1，； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 20. 如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格图，请按照要求画图： 　　　 　　　 （1）在图1中画出1个面积为3的，要求顶点C是格点； （2）在图2中画出1个面积为2的，要求顶点C是格点； （3）在图3中画出1个面积为4的等腰，要求顶点C是格点． 【答案】（1）如图1，点C即为所求； （2）如图2，点C即为所求； （3）如图3，点C即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式解答即可； （2）利用直角三角形的定义和勾股定理解答即可； （3）利用等腰三角形的定义解答即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形和直角三角形的作图、勾股定理等知识点，正确掌握等腰三角形和直角三角形的定义是解答本题的关键． 21. 已知关于的不等式． （1）若是该不等式的解，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式的解的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． （1）把代入原不等式中求出a的取值范围即可； （2）根据题意可得当时，，据此把代入不等式中求出a的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵是关于的不等式的解， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵不是关于的不等式的解， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 某厨具店购入10台A型电饭煲和20台B型电饭煲进行销售，共花费5600元．已知每台B型电饭煲的进价比A型电饭煲少20元． （1）A，B两种型号的电饭煲每台进价分别为多少元？ （2）为了满足市场需求，厨具店决定用不超过9560元的资金再次购入这两种型号的电饭锅共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，问厨具店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，若50台电饭煲全部售完，已知A型电饭煲售价为每台300元，B型电饭煲售价为每台260元．则用哪种进货方案厨具店获利最大？并请求出最大利润． 【答案】（1）每台A型电饭煲进价为200元，每台B型电饭煲进价为180元． （2） 方案1：A型号25台，B型号25台， 方案2：A型号26台，B型号24台， 方案3：A型号27台，B型号23台， 方案4：A型号28台，B型号22台； （3）购入A型号28台，B型号22台时获利最大，利润为4560元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设每台A型电饭煲进价为x元，则求得每台B型电饭煲进价，根据题意列等式求解即可； （2）设购买A型电饭煲a台，则购买B型电饭煲台，根据列出出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a为整数即可得出各进货方案； （3）根据总利润等于单个利润乘以购进数量分别求出各进货方案的利润，比较后即可得出结论．或比较两者之间的利润大小，竟可能选择利润大的型号即可获取更多的利润． 【小问1详解】 解：（1）设每台A型电饭煲进价为x元，则每台B型电饭煲进价为元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：每台A型电饭煲进价为200元，每台B型电饭煲进价为180元． 【小问2详解】 设再次购入A型电饭煲a台，B型电饭煲台， ， 解得， ∵a为整数， ∴a＝25、26、27、28，共4种方案， 方案1：A型号25台，B型号25台， 方案2：A型号26台，B型号24台， 方案3：A型号27台，B型号23台， 方案4：A型号28台，B型号22台； 【小问3详解】 方法一：每台A型电饭煲利润：（元）， 每台B型电饭煲利润：（元）， 方案1利润：（元）， 方案2利润：（元）， 方案3利润：（元）， 方案4利润：（元）， ∴方案4：购入A型号28台，B型号22台时获利最大，利润为4560元， 方法二：每台A型电饭煲利润：（元）， 每台B型电饭煲利润：（元）， ∵每台A型电饭煲利润大于每台B型电饭煲利润， ∴A型电饭煲的数量越多，获利越多， 则方案4：购入A型号28台，B型号22台时获利最大，利润为4560元． 23. 用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线，在直角三角形中，，，． （1）如图1，若O为的中点，求证：直线是的等腰分割线． （2）如图2，已知的一条等腰分割线交边于点P，且，请求出的长度． （3）如图3，在，点Q是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：∵，O为中点， 在中，， ∴、均为等腰三角形， 则直线是的等腰分割线． （2） （3）的长度为1、、3、 【解析】 【分析】(1)利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，证出两个等腰三角形，从而说明是等腰分割线； (2)设，表示出，在中用勾股定理列方程，求解得； (3)分“为等腰三角形”“为等腰三角形”两类，每种情况再分“哪两边相等”的子情况，结合勾股定理、面积法计算，舍去不符合线段位置的情况． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 在中，由勾股定理：， 即， 展开得：， 化简得：，解得， 故． 【小问3详解】 分“为等腰三角形”“为等腰三角形”两类讨论： ① 若为等腰三角形 当时，，则； 当时，Q为中点，； 当时，Q不在线段上，舍去． ② 若为等腰三角形 先求边上的高：由，得． 当时，过C作于M，M为中点． 在中，， 故； 当时，； 当时，Q为中点，． 综上，的长度为1、、3、． 【点睛】知识点：直角三角形斜边中线性质、勾股定理、等腰三角形的判定、三角形面积公式．方法：利用直角三角形性质证等腰；通过设未知数+勾股定理列方程求线段；分类讨论等腰三角形的不同情况（边相等的组合），结合面积法、勾股定理计算．关键：分类讨论等腰三角形的所有可能（哪两边相等），结合图形位置判断是否符合题意．易错点：遗漏等腰三角形的边相等情况；忽略点在线段上的位置限制（如舍去不在线段上的情况）． 24. 如图1，和均为等腰三角形，，，，，且点A、D、E在同一直线上，连接． （1）求证：． （2）图2，若，于若，，试求的长． （3）如图3，若，于M，于N，，，直接写出的值（用a，b的代数式表示）． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）26 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“”证明，即可得出； （2）设交于点，由全等三角形的性质得出，证出是等腰直角三角形，得出，得出，求出，由勾股定理即可得出答案； （3）如图3，连接；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出．由全等三角形的性质得，然后由角的性质和勾股定理求出和，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点H，如图2， 由（1）得：， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ； 【小问3详解】 解：； 理由如下：如图，连接； 由（1）得：， ，， 和均为等腰三角形，且， ， ， ，， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ． ，， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 暨阳初中2025学年第一学期期中测试试卷 八年级数学卷 分值：100分 时间100分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直；③两边和一角对应相等的两个三角形全等；④同位角相等．其中假命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 5. 将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在和中，已知，添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 两个直角三角尺如图摆放，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，、、在同一直线上，设，，则正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ①③④ 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 周末小高同学全家去饭店吃饭，他发现饭店房间里放着一个儿童座椅（如图），他观察这个儿童座椅的主体框架成三角形，从而保证儿童坐上去会很安全，这样的设计利用的数学原理是三角形的______（填“稳定性”或“不稳定性”）． 12. 若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的底角的度数为______． 13. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，交于点E，连接BD．若，，，则的周长为_____________． 14. 如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为______ 15. 关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是____________． 16. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为_________． 17. 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为_______． 18. 如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数为________．（用含的式子表示） 三、解答题（本题共6小题，共46分） 19. 解不等式（组）： （1） （2） 20. 如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格图，请按照要求画图： 　　　 　　　 （1）在图1中画出1个面积为3的，要求顶点C是格点； （2）在图2中画出1个面积为2的，要求顶点C是格点； （3）在图3中画出1个面积为4的等腰，要求顶点C是格点． 21. 已知关于的不等式． （1）若是该不等式的解，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求的范围． 22. 某厨具店购入10台A型电饭煲和20台B型电饭煲进行销售，共花费5600元．已知每台B型电饭煲的进价比A型电饭煲少20元． （1）A，B两种型号的电饭煲每台进价分别为多少元？ （2）为了满足市场需求，厨具店决定用不超过9560元的资金再次购入这两种型号的电饭锅共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，问厨具店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，若50台电饭煲全部售完，已知A型电饭煲售价为每台300元，B型电饭煲售价为每台260元．则用哪种进货方案厨具店获利最大？并请求出最大利润． 23. 用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线，在直角三角形中，，，． （1）如图1，若O为的中点，求证：直线是的等腰分割线． （2）如图2，已知的一条等腰分割线交边于点P，且，请求出的长度． （3）如图3，在，点Q是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，求线段的长度． 24. 如图1，和均为等腰三角形，，，，，且点A、D、E在同一直线上，连接． （1）求证：． （2）图2，若，于若，，试求的长． （3）如图3，若，于M，于N，，，直接写出的值（用a，b的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $