精品解析：山西省晋中市介休市第一中学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

介休一中2025-2026学年高二上学期期中考试 数学试题 考试时间:120分钟试题满分：150 分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】由题可得：，所以直线的倾斜角为：； 故选：C 2. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 3. 圆心在轴上，半径为1 ，且过点 的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆心坐标为 ，则有，求得，即可得解. 【详解】解：设圆心坐标为 ，则由题意知 ，解得， 故圆的方程为. 故选：A. 4. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为， 故选：D. 5. 若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为椭圆的长半轴长等于其焦距， 所以，解得. 故选：A 6. 如图，已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（　　） A. 2 B. 6 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴对称点，则就是所求的路程长. 【详解】易知直线的方程为， 设点关于直线的对称点， 则且，解得，即， 又点关于轴的对称点， 由光的反射规律可知，共线，共线，从而共线， 所以光线所经过的路程长为 . 故选：A. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过边长相等得到角相等，证明三角形相似，利用线段比例关系得到的关系式即可得到结果. 【详解】由题意得，， 由椭圆定义得，故， ∵，，∴， ∴与相似，∴，即， 整理得，故，解得， 由得，，即椭圆的离心率为. 故选：B. 8. 已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的性质结合抛物线的定义求解即可． 【详解】抛物线焦点，准线，设点到准线的距离为，点到准线的距离为 ． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 点为抛物线上一点，点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A为C上一点，且，则（ ） A. B. C. 直线AF的斜率为 D. 的面积为16 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求抛物线方程，再根据焦半径公式求点的坐标，即可判断选项. 【详解】由题意可知，，则，则，焦点，故AB正确； 设点，则，则， ，则， 即或，所以直线的斜率为0，故C错误； 的面积为，故D正确. 故选：ABD 10. 探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线顶点在原点从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点反射，若直线PQ的倾斜角为则（ ） A. 当时处两条反射光线所在直线的距离为 B. 当时的面积为2 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用直曲联立，结合韦达定理，向量数量积公式，抛物线定义计算判断即可. 【详解】在抛物线中，焦点的坐标为. 设点，，由抛物线光学性质可知，直线过焦点，设直线的方程为. 将其代入抛物线方程，可得，即. 根据韦达定理，，. 直线的斜率. 由，，两式相减得： ，则，即直线的斜率. 又，所以. 若， 因为从焦点射出的光线经抛物线反射后平行于对称轴，所以、处两条反射光线所在直线分别平行于轴，它们之间的距离为. . 由，即，得. 则，，所以、处两条反射光线所在直线的距离为，选项A正确. 的面积，，，则，选项B错误. ，，则. 由，，可得，. 所以，选项C正确. 根据抛物线的焦半径公式，，. 由，以及可得：. . 则， . 所以，选项D正确. 故选： 11. 如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用双曲线的标准方程及椭圆方程可得判断A，利用切线长性质结合双曲线的定义可判断B，利用双曲线和椭圆的定义得到、的关系式，再利用和离心率公式可判断C，利用勾股定理得到，进而求出椭圆的方程判断D. 【详解】对于A：由可得，所以，故A错误； 对于B：设的内切圆的圆心为I，且圆与边、、相切于N、M、K， 可得，，，又因为， 所以，又， 解得，， 可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，故B正确； 对于C：在椭圆中，，，则， 由，得 ，解得a＝3， 则的离心率，故C正确； 对于D：因为，， 所以，， 若，则， 又c＝2，，解得，， 则椭圆的方程为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与椭圆交于、两点，且线段的中点在圆上，则________. 【答案】 【解析】 【分析】将直线的方程与椭圆方程联立，求出线段的中点坐标，代入圆的方程并结合可求得实数的值. 【详解】设点、，联立，可得， ，解得， 由韦达定理可得，则， 所以，线段的中点为， 由题意可得，解得. 故答案为：. 13. 已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得最小时，直线，求得直线的方程，联立方程组求得，进而求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减可求得直线的方程. 【详解】取最小值四边形面积最小直线， 此时直线方程为，与直线联立求出点， 以为直径的圆的方程为，又圆， 两圆方程左右两边相减可得直线的方程为. 故答案为：. 14. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线：（）焦点为，准线为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点（点在抛物线内）射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，若直线与抛物线的准线交于点，则直线的斜率为______；若，且平分，则______. 【答案】 ①. 0 ②. 2 【解析】 【分析】①设直线的方程，与抛物线方程联立得出韦达定理，求出的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，得到直线的斜率； ②由平分推导角的关系得出，即，根据弦长公式写出方程，求出结果. 【详解】依题意直线过抛物线的焦点.设直线的方程为，，， 联立方程组得，则，． 因为，所以，． 因为直线的方程为， 所以直线与抛物线的准线的交点为， 所以直线的斜率为0． ②因为平分，所以，所以． 因为，所以，即 所以，得． 故答案为：①0；②2. 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间距离； （2）当时，求过直线，交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； 【小问2详解】 当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 16. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果． 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）［方法一］：【通性通法】向量法 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取 所以 ．由已知得 ． 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］：三垂线＋等积法 由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，．在中，由，得，则．设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］：三垂线＋线面角定义法 由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．同解法1可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结．在中，．因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角． 设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］：【最优解】定义法 如图7，取的中点H，联结，则．过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角．在中，，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 17. 已知双曲线的离心率是，焦距是6． （1）求的方程； （2）若直线与相交于A，B两点，且（为坐标原点），求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意求出、，即可求出，从而求出方程； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再根据数量积的坐标表示得到方程，代入，求出的值. 【小问1详解】 因为双曲线：（，）的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，， 所以. 所以的方程为. 小问2详解】 如图， 设，， 联立方程消去得， 因为直线：与相交于，两点， 所以，即且， 由韦达定理得， 又，， 所以， 所以， 将韦达定理代入上式，得， 即，解得，满足且. 18. 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程； （Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解. 【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为， ， 由，得， 又由，得， 所以，椭圆的方程为； （Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以， 根据题意可知，直线和直线的斜率均存在， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， ，消去，可得，解得或. 将代入，得， 所以，点的坐标为， 因为为线段的中点，点的坐标为， 所以点的坐标为， 由，得点的坐标为， 所以，直线的斜率为， 又因为，所以， 整理得，解得或. 所以，直线的方程为或. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 19. 已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【答案】（1）；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解. （2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程可得：， ， ， ， 椭圆方程为： （2）[方法一]：设而求点法 证明：设， 则直线方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时， 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． [方法二]【最优解】：数形结合 设，则直线的方程为，即． 同理，可求直线的方程为． 则经过直线和直线的曲线的方程可写为． 可化为．④ 易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得． 故，可得或． 其中表示直线，则表示直线． 令，得，即直线恒过点． 【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题. 第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 介休一中2025-2026学年高二上学期期中考试 数学试题 考试时间:120分钟试题满分：150 分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 3. 圆心在轴上，半径为1 ，且过点 的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（　　） A 2 B. 6 C. 3 D. 2 7. 已知椭圆左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 点为抛物线上一点，点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A为C上一点，且，则（ ） A. B. C. 直线AF的斜率为 D. 的面积为16 10. 探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线顶点在原点从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点反射，若直线PQ的倾斜角为则（ ） A. 当时处两条反射光线所在直线的距离为 B. 当时的面积为2 C. D. 11. 如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（ ） A B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与椭圆交于、两点，且线段中点在圆上，则________. 13. 已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为______. 14. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线：（）焦点为，准线为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点（点在抛物线内）射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，若直线与抛物线的准线交于点，则直线的斜率为______；若，且平分，则______. 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 16. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 17. 已知双曲线的离心率是，焦距是6． （1）求方程； （2）若直线与相交于A，B两点，且（为坐标原点），求的值． 18. 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 19. 已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $