精品解析：山西省运城市2023-2024学年高二上学期期中测试数学试卷

第一学期高中新课程模块考试试题（卷） 高二数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑. 1. 已知向量，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（ ）. A. B. C. D. 3. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）. A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（ ）. A. B. C. D. 6. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（ ）. A. 4 B. C. D. 7. 已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（ ）. A. B. C. D. 8. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则（ ）. A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑. 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 10. 已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则下列选项中，可以是点B的坐标的是（ ）. A. B. C. D. 11. 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，E为的中点.若，，，则下列说法正确的是（ ）. A. 平面平面 B. C. 与所成角的余弦值为 D. 四棱锥的体积为 12. 已知点，点，若点在线段上移动，则下列说法正确的是（ ）. A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是0 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 直线与直线互相平行，则a的值为______. 14. 一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为______. 15. 若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是______. 16. 在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于___________. 四、解答题（本题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知的三个顶点的坐标分别为，，.求边上的高所在直线的方程. 18. 如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在正方体的体对角线上，点在正方体的棱上．当点为体对角线的中点，点在棱上运动时，求的最小值． 19. 已知的三个顶点分别为，，，是的中点． （1）求直线的方程； （2）求的面积． 20. 如图，在底面为矩形的四棱锥中，PA⊥底面． （1）证明：平面PAD⊥平面PCD． （2）若E在棱AD上，且，求PE与平面PBD所成角的正弦值． 21. 已知直线与直线交于点． （1）求过点且平行于直线的直线的方程，并求出两平行线之间的距离；（直线方程写成一般式） （2）求过点且垂直于直线的直线的方程；（直线方程写成一般式） 22. 如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一学期高中新课程模块考试试题（卷） 高二数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑. 1. 已知向量，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出，进而得到. 【详解】， 故. 故选：B 2. 已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用空间向量的夹角余弦公式结合空间向量的数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】因为空间向量，， 则向量与夹角的余弦值为. 故选：C. 3. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题直接求解. 【详解】与点关于平面对称的点是(4,−3,2)； 故选：D 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）. A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出不共面的向量组即可． 【详解】对于A，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，假设，，共面，则存在实数，使得， 由于为空间的一个基底，所以可得实数的解为， 但与矛盾，假设不成立，即不共面，能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D，因为， 所以共面，不能构成空间的一个基底． 故选：C． 5. 已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当线段最短时，直线与直线垂直，点为直线与直线的交点. 【详解】当线段最短时，直线与直线垂直， 此时点为直线与直线的交点. 因为直线与直线垂直， 所以，直线方程为， 由得，所以. 故选：A. 6. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（ ）. A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 7. 已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，得出直线的倾斜角及斜率，再结合点到直线距离公式计算即可得出选项. 【详解】因为x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为， ∴直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 对于B：的斜率为，B选项错误； 对于C：的斜率为，C选项错误； 对于D：的斜率为，D选项错误； 对于A：点O到直线l的距离为，A选项正确； 故选：A. 8. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求图纸的折痕所在的直线方程，由题意得点在直线上，得，又直线与直线以及轴相交于点，即可求，进而求解. 【详解】由题意有：，点的中点， 所以图纸的折痕所在的直线方程为，即，令，得，即， 又由轴与直线也正好重合，则点在直线上， 所以， 又因为直线与直线以及轴相交与点， 所以，代入，解得， 所以， 故选：D. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑. 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出，再结合模的坐标表示求解判断A；先求出，再根据空间向量数量积的坐标表示判断B；根据空间向量数量积的坐标表示判断D；结合，即可判断C. 【详解】对于A，因为，所以，选项A错误； 对于B，因为，所以， 则，选项B正确； 对于D，因为，所以，选项D正确． 对于C，因为，，，且平面， 所以是平面的一个法向量，选项C正确. 故选：BCD. 10. 已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则下列选项中，可以是点B的坐标的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】应用两点的斜率公式结合方向向量计算求解. 【详解】经过两点直线的方向向量为，则的斜率为， 对于A：，不合题意，A选项错误； 对于B：，符合题意，B选项正确； 对于C：，符合题意，C选项正确； 对于D：，不合题意，D选项错误； 故选：BC. 11. 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，E为的中点.若，，，则下列说法正确的是（ ）. A. 平面平面 B. C. 与所成角的余弦值为 D. 四棱锥的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】A由线面垂直的判定定理可证；B由勾股定理可求；C由异面直线所成角定义可求；D由锥体的体积公式可求. 【详解】对于A：因为底面是菱形，且为的中点，， 所以，又底面，平面， 所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，A正确； 对于B：因为，所以， 所以，B错误； 对于C：取中点F，连接，则， 因为平面，所以平面，而平面， 故，所以即与所成角. 因为，， 所以，C正确； 对于D：，D错误. 故选：AC. 12. 已知点，点，若点在线段上移动，则下列说法正确的是（ ）. A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是0 【答案】BD 【解析】 【分析】求得直线的方程，即点满足，进而，根据及反比例函数的单调性求得，即可求解最值. 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 即点满足，所以， 因为，所以，所以， 即的最大值是，的最小值是0. 故选：BD 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 直线与直线互相平行，则a的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】应用两条直线平行的斜率关系列式计算求参数. 【详解】因为直线的斜率为， 且直线与直线互相平行，则，即得. 当时，直线与直线平行符合题意. 故答案为：. 14. 一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，进而由截距式写出直线方程. 【详解】因为为的中点，故, 则直线的截距式方程为. 故答案为： 15. 若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是______. 【答案】 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求出的值，再结合的范围，求出的大小，即可求出直线的斜率． 【详解】由题意结合点到直线的距离公式可得： 又，故，所以， ，解得，又，故，所以，则这条直线的斜率 故答案为： 16. 在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于___________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出平面的法向量，然后求出在方向上的投影的绝对值即可得答案 【详解】设平面的法向量，则 ，令，则， 因为， 所以四棱锥的高为， 故答案为：2 四、解答题（本题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知的三个顶点的坐标分别为，，.求边上的高所在直线的方程. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程. 【详解】设边上的高所在直线为， 因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 又直线l过点，所以直线l的方程是，即为. 18. 如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在正方体的体对角线上，点在正方体的棱上．当点为体对角线的中点，点在棱上运动时，求的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意，利用空间两点的距离公式计算即可，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】依题意知，设点， 则， 所以当时，， 此时，Q恰为CD的中点． 所以的最小值为. 19. 已知的三个顶点分别为，，，是的中点． （1）求直线的方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出中点D的坐标，再利用直线方程的点斜式即可得解； （2）先求出的长度，再求出直线的方程及点到直线的距离，从而得解． 【小问1详解】 因为，，是的中点， 所以， 又，故， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为，， 所以，， 所以直线BC的方程为，即， 则A点到直线BC的距离为， 所以的面积为． 20. 如图，在底面为矩形的四棱锥中，PA⊥底面． （1）证明：平面PAD⊥平面PCD． （2）若E在棱AD上，且，求PE与平面PBD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：由四边形ABCD为矩形，得AD⊥CD． 由题可得PA⊥底面，又平面ABCD，所以PA⊥CD． 因为，平面PAD，平面PAD，所以CD⊥平面PAD． 因为平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD． （2） 【解析】 【分析】（1）通过题目条件证明CD⊥平面PAD，即可证明平面PAD⊥平面PCD； （2）如图，建立以A为坐标原点的空间直角坐标系，后利用空间向量可求得PE与平面PBD所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，． 设是平面PBD的法向量， 则，令x=3，得． 设PE与平面PBD所成角为， 则， 所以PE与平面PBD所成角的正弦值为． 【点睛】 21. 已知直线与直线交于点． （1）求过点且平行于直线的直线的方程，并求出两平行线之间的距离；（直线方程写成一般式） （2）求过点且垂直于直线的直线的方程；（直线方程写成一般式） 【答案】（1）；距离为 （2） 【解析】 【分析】（1）联立方程得到，根据平行得到斜率的关系，代入点坐标得到直线方程，再计算距离即可. （2）根据垂直关系得到斜率的关系，代入点坐标得到答案. 【小问1详解】 ，解得，故， 设直线的方程为,平行于直线，即， 则，直线过点，即，解得， 故直线方程为，即. 两平行线之间的距离为. 【小问2详解】 设直线的方程为，直线与垂直，即， 故，直线过点，故，，故直线方程为， 即. 22. 如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 证明：在三棱柱中，平面，，，. 所以，则，则， 如下图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，设， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 所以， 令，则， 所以， 又平面，所以平面； （2）二面角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据直线与平面的位置关系计算直线方向向量和平面法向量，即可证明； （2）根据三棱锥的体积可求得三棱柱的高为，利用空间向量求二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：三棱锥的体积，解得，则 由（1）知平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 所以，令，则， 则，由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $