专题05数与式（幂的运算）2026年九年级中考数学复习

该初中数学中考复习讲义聚焦幂的运算全考点，涵盖同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、零/负整数指数幂及科学记数法，构建“基础性质-逆用拓展-综合应用”三级知识体系。通过考点梳理清单化呈现性质及逆用技巧，结合“比较大小转化指数”“积的乘方凑整”等方法指导，搭配50余道中考真题分层训练，帮助学生突破公式逆用、跨知识点综合应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“素养导向的题型建模”教学策略，如通过“3^55、4^44、5^33大小比较”案例，引导学生用数学眼光抽象指数共性，培养运算能力与推理意识。设置“基础过关-能力提升-拓展探究”三级练习，配套“归纳推理求等比数列和”等创新题型解析，5分钟限时专题训练强化实战技巧。教师可借助此资料精准把握中考命题规律，学生能高效构建知识网络，提升解题速度与准确率，实现复习效果最大化。

一轮复习 幂的运算 一、同底数幂的乘法性质 （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 二、幂的乘方 （1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 三、积的乘方 （1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 四、同底数幂的除法 （1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. （5）底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. （6）是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（2xy）-1=（），（）. 五、科学记数法 ， 6、 拓展 1. 同底数幂中比较大小 比较355，444，533的大小． 方法:55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小．解:∵，，，∴． 2. 积的乘方凑整 42024×（-0.25）2025 方法：1.化为同指：42024×（-0.25）2024×（-0.25） 2.将凑整，再求解 3.同底数幂除法逆用 已知22x-1-22x-3=96求x的值. 方法：1.同底数幂相除，底数相同，指数相减——=96 2.把当成整体转化成一元一次方程，求解即可 4.同底数幂归纳演绎推理 求l+2+22+23+24+…+22025的值． 方法：设S=l+2+22+23+24+…+22024+22025 ① 则2S=2+22+23+24+25+…+22025+22026 ② ②-①，得2S﹣S=22026-l即S=22026-l∴1+2+22+23+24+…+22025=22026-l 一．零指数幂 1．（2025秋•东安县校级月考）若（2﹣x）5﹣x＝1，则x的取值有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025秋•西城区校级期中）如果（2a﹣1）0＝1不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 二．负整数指数幂 3．（2024秋•巴马县期末）计算2024﹣1的正确结果是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 4．（2025春•市南区校级月考）2﹣1表示的是（　　） A．2的绝对值 B．2的相反数 C．2的倒数 D．2的倒数的相反数 5．（2024秋•汉川市期末）计算的结果是 　 　 ． 三．同底数幂的乘法 6．（2025秋•思明区校级期中）已知a+2b﹣3＝0，则3a•32b＝（　　） A．24 B．27 C．54 D．81 7．（2025秋•龙华区月考）计算（x﹣y）2•（y﹣x）5•（x﹣y）的结果是（　　） A．﹣（x﹣y）8 B．（x﹣y）8 C．x8﹣y8 D．﹣x8+y8 8．（2025秋•秀屿区校级期中）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+2＝b9 B．a+2＝9b C．2a﹣9＝b D．2a＝9b 9．（2025秋•巴林左旗期中）若6a＝3，6b＝5，则62a+3b的值为（　　） A．21 B．90 C．134 D．1125 10．（2025秋•普陀区期中）已知xa＝4，xb＝6，xc＝9，那么a、b、c的等量关系正确的是（　　） A．a+c＝2b B．a+c＝b2 C．ac＝2b D．ac＝b2 11．（2025秋•上海校级月考）计算：（b﹣a）4（a﹣b）3＝　 　 ．（结果用幂的形式表示） 12．（2025春•景德镇期中）已知2x＝3，则2x+4的值是 　 　 ． 13．（2024春•句容市期中）若22n+3+4n+1＝192，则n的值为 　 　 ． 14．（2020春•崂山区期末）问题提出：在同底数幂的运算中，常常会遇到求n个数的和的情况，这n个数的和可以表示为Tn．那么怎样求Tn＝1•1+3•2+5•22+…+（2n﹣3）2n﹣2+（2n﹣1）2n﹣1的值呢？ 问题探究：为了解决这个问题我们将采取将一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： 探究一： S2＝1+2①； 2S2＝2+22②； ①﹣②得（1﹣2）S2＝1﹣22； S21； S3＝1+2+22③； 2S3＝2+22+23④； ③﹣④得（1﹣2）S3＝1﹣23； S31； S4＝1+2+22+23⑤； 2S4＝2+22+23+24⑥； ⑤﹣⑥得（1﹣2）S4＝1﹣24； S41； 由以上规律可知1+2+…+210＝　 　 ； 1+2+…+2n＝　 　 ． 探究二：T2＝1•1+3•2⑦； 2T2＝1•2+3•22⑧； ⑦﹣⑧得（1﹣2）T2＝1•1+（3﹣1）•2﹣2•22＝1•1+2•2﹣3•22＝5﹣3•22； T2＝3•22﹣5； T3＝1•1+3•2+5•22⑨； 2T3＝1•2+3•22+5•23⑩； ⑨﹣⑩（1﹣2）T3＝1•1+（3﹣1）•2+（5﹣3）•22﹣5•23＝1•1+22+23﹣5•23＝2+22+23﹣5•23﹣1＝2（1+2+22）﹣5•23﹣1＝2（23﹣1）﹣5•23﹣1＝﹣3•23﹣3； T3＝3•23+3； 请根据前面推导过程推导T10，并写出推导过程． 问题解决：请求Tn＝1•1+3•2+5•22+…+（2n﹣3）2n﹣2+（2n﹣1）2n﹣1，写出求解过程． 15．（2025•凌海市校级开学）阅读以下材料：指数与对数有密切的联系，它们之间可以互相转化． 对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，比如：23＝8可以转化为对数3＝log28，对数式2＝1og39，可以转化为指数式32＝9． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）理由如下： 设logaM＝m，logaM＝n，则M＝am，N＝an， ∴M•N＝am•an，由对数的定义得m+n＝loga（M•N） 又∵m+n＝logaM+logaN ∴loga（M•N）＝logaM+logaN 请解决以下问题： （1）将指数式53＝125转化为对数式 　 　 ； （2）求证：； （3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62． 16．（2024•碑林区校级开学）阅读理解：一般地，n个相同因数a相乘：a•a•a…a•a，记为an，如：2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为log28，（即1og28＝3）． （1）计算：log39＝　 　 ；log381＝　 　 ；log3729＝　 　 ； （2）观察（1）中三数9、81、729之间满足怎样的关系式？写出log39，log381，log3729之间的关系式　 ； （3）由（2）的结果，请你归纳出一个一般性的结果：logaM+logaN＝　 　 （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）； （4）根据上述结论解决下列问题：已知loga2＝0.3，求loga4和loga8的值（a＞0且a≠1）． 四．幂的乘方与积的乘方 17．（2025秋•昆明期中）下列运算中，正确的是（　　） A．x3•x3＝x6 B．（2ab）3＝6a3b3 C．（x2）3＝x5 D．3x2+2x3＝5x5 18．（2025秋•普陀区校级期中）已知m、n是正整数，下列等式中，表示“积的乘方的性质”的是（　　） A．am•an＝am+n B．am•bn＝（ab）m+n C．（ab）m＝am•bm D．（am）n＝amn 19．（2025秋•五华区校级期中）已知3x﹣4y＝3（x、y均为正整数），则27x÷92y的值为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 20．（2025秋•上海期中）设2m＝3，2n＝6，2p＝12，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（　　） A．m+p＝2n B．m+n＝2p C．n2﹣mp＝2 D．p+n＝2m 21．（2024秋•乐东县期末）已知a＝313，b＝96，c＝275，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 22．（2025•哈尔滨模拟）若2m＝4n+1，27n＝3m+1，则m﹣n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 23．（2025秋•渝北区校级期中）若ax＝3，ay＝2，则a2x+y的值为（　　） A．12 B．17 C．72 D．18 24．（2025•河北模拟）若a，b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+1＝3b C．a+1＝b3 D．3a＝b3 25．（2025秋•思明区校级期中）若a为正整数，则（a6）3表示的是（　　） A．9个a相加 B．3个a6相乘 C．9个a相乘 D．3个a6相加 26．（2025•天宁区校级二模）代数式a15可以表示为（　　） A．a7+a8 B．a7•a8 C．a30÷a2 D．（a7）8 27．（2025秋•海口期中）计算：（0.5）2024×（﹣2）2025的结果是（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣0.5 D．0.5 28．（2025春•邯郸期末）若x，y均为正整数，且2x+1•4y＝128，则x+y的值为（　　） A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5 29．（2025秋•浦东新区月考）已知xm＝8，x2n+m＝128，则xn的值是（　　） A．±8 B．±4 C．4 D．8 30．（2025•南京模拟）已知2a＝3，2b＝5，2c＝30，则a，b，c之间满足的等式是（　　） A．c＝a+b+1 B．c＝ab+1 C．c＝a+b D．c＝ab 31．（2025秋•禄劝县校级月考）若82+m＝32m+1，则44m+42m的值是（　　） A． B．16 C．20 D．24 32．（2025春•菏泽月考）已知2x+3•3x+3＝36x﹣2，则x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 33．（2025春•鼓楼区校级月考）已知a＝53，b＝75，则3515可以表示为（　　） A．a3b5 B．a5b3 C．a5+b3 D．a15b15 34．（2025春•玄武区校级月考）5等于（　　） A． B． C． D． 35．（2024春•花山区校级期中）已知10a＝200，100b＝500，则2a+4b﹣4的值是（　　） A．1 B．7 C．11 D．6 36．（2025秋•石家庄期中）若[（a﹣2）2]3＝（a﹣2）（a﹣2）a（a≠2），则a的值为 　 　 ． 37．（2025秋•思明区校级期中）若4m•23＝85，则m＝　 　 ． 38．（2025秋•江北区校级月考）若n为正整数，且，则（x2y）3n＝　 　 ． 39．（2025春•靖江市校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）根据上述规定，填空：（4，64）＝　 　 ； （2）若（3，y）＝2m﹣1，（3，6x）＝m+1，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； （3）①若（4，3）＝a，（4，8）＝b，（4，24）＝c，请你尝试证明：a+b＝c； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：（xn，yn）＝（x，y）， 证明： 设（xn，yn）＝m，∴（xn）m＝yn，∴（xm）n＝yn， ∴xm＝y，即（x，y）＝m． ∴（xn，yn）＝（x，y）． 结合①，②探索的结论，计算：　 　 ． 40．（2023春•兴化市期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）若3x×9x×27x＝312，求x的值． （2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． 41．（2025春•宝应县期中）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　 　 ，D（16）＝　 　 ． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 42．已知20x＝1000，50y＝1000，求的值． 43．（2022春•郏县期末）阅读下列材料： 若a3＝2，b5＝3，则a，b的大小关系是a　 　 b（填“＜”或“＞”）． 解：因为a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15， 所以a＞b． 解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质 　 　 A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 （2）已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小． 44．（2021春•黔西南州期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c． 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空： （3，27）＝　 　 ，（5，1）＝　 　 ，（2，）＝　 　 ． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20） 45．（2018春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较322和411的大小． 解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2 ∴322＞222，即322＞411 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较28和82的大小 解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6 ∴28＞26，即28＞82 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 （1）比较344、433、522的大小 （2）比较8131、2741、961的大小 （3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小 （4）比较312×510与310×512的大小 五．同底数幂的除法 46．（2025秋•宝山区校级期中）下列计算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．（﹣a）8÷（﹣a）3＝a5 C．（2x3）3＝6x9 D．（﹣y3）2＝y6 47．（2025秋•鼓楼区校级期中）若xa＝2，xb＝3，则x3a﹣b的值等于（　　） A．6 B．5 C．3 D． 48．（2025秋•通道县期中）下列算式，计算正确的有（　　） ①10﹣3＝0.0001； 　②（0.0001）0＝1；　③3a﹣2；　④（﹣2）3÷（﹣2）5＝﹣2﹣2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．（2025秋•惠安期中）实数a，b，c满足2a＝3，2b＝6，2c＝24，则代数式201a﹣561b+360c的值为（　　） A．517 B．518 C．519 D．520 50．（2025春•江阴市校级月考）计算（﹣m）6÷m2的结果等于（　　） A．m2 B．m3 C．m4 D．m6 51．（2025春•涡阳县期中）已知3a＝2，3b＝4，3c＝12，则下列结论错误的是（　　） A．c﹣b＝1 B．c﹣2a＝1 C．2a+c﹣2b＝0 D．2a﹣b＝0 52．（2024春•兴宁市期中）已知3a＝4，3b＝5，3c＝8．则32a﹣3b+c的值是（　　） A． B． C． D． 53．（2025秋•新津区校级期末）若3m＝6，3n＝2，则32m﹣3n+1＝　 　 ． 54．（2025秋•宝山区校级期中）计算：a9÷a6•a3＝ 　 　 ． 55．（2025春•渭城区校级月考）若x﹣2y﹣1＝0，则2x÷（22）y×23的值为　 　 ． 56．（2024秋•荆州期末）【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作[a，b]，如果ac＝b，那么[a，b]＝c；例如32＝9，记作[3，9]＝2． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果：[5，125]＝ 　 　 ；[﹣2，16]＝ 　 　 ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有am•an＝am+n，am÷an＝am﹣n，例如32×35＝32+5＝37，36÷32＝36﹣2＝34．（2）小颖发现[4，2]+[4，3]＝[4，6]也成立，并证明如下： 设[4，2]＝x，[4，3]＝y，则4x＝2，4y＝3， 因为4x×4y＝4x+y＝6，所以[4，6]＝x+y， 所以[4，2]+[4，3]＝x+y＝[4，6]， 仿照以上证明，计算[2025，4]+[2025，6]＝[2025，　 　 ]，写出计算过程； （3）猜想[5，18]﹣[5，3]＝[5，　 　 ]，并说明理由． 57．（2025春•西湖区校级期末）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）若，则x的值为 　 　 ； （2）解方程：2x+2+2x﹣1＝18； （3）若x＝3m﹣3，y＝1+3﹣m，用含x的代数式表示y， 58．（2018春•兴化市期中）尝试解决下列有关幂的问题： （1）若9×27x＝317，求x的值； （2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值； （3）若x25m5m，y25m+5m+1，请比较x与y的大小． 59．（2023秋•内乡县期中）尝试解决下列有关幂的问题： （1）若3×27m÷9m＝316，求m的值； （2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值； （3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值． 60．（2020春•高新区期中）阅读材料： 求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2， 得2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014． 将下式减去上式，得2S﹣S＝22014一1 即S＝22014一1， 即1+2+22+23+24+…+22013＝22014一1 仿照此法计算： （1）1+3+32+33+…+3100 （2）1． 一．零指数幂 1．（2025秋•东安县校级月考）若（2﹣x）5﹣x＝1，则x的取值有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据指数为零或底数为±1，分类讨论即可求解． 【解答】解：∵（2﹣x）5﹣x＝1， ∴当5﹣x＝0时，即x＝5，原式＝（2﹣5）5﹣5＝1， 当2﹣x＝1 时，即x＝1，原式＝（2﹣1）5﹣1＝1， 当2﹣x＝﹣1时，即x＝3，原式＝（2﹣3）5﹣3＝1， x的取值有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 2．（2025秋•西城区校级期中）如果（2a﹣1）0＝1不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【分析】根据零次幂：a0＝1（a≠0）求解即可． 【解答】解：∵（2a﹣1）0＝1不成立， ∴2a﹣1＝0， ∴a， 故选：D． 【点评】此题主要考查了零次幂，关键是掌握a0＝1（a≠0）． 二．负整数指数幂 3．（2024秋•巴马县期末）计算2024﹣1的正确结果是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】根据负整数指数幂的法则计算即可． 【解答】解：2024﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了负整数指数幂，掌握负整数指数幂法则是解答本题的关键． 4．（2025春•市南区校级月考）2﹣1表示的是（　　） A．2的绝对值 B．2的相反数 C．2的倒数 D．2的倒数的相反数 【分析】互为相反数的两个数，只有符号相反，互为倒数的两个数乘积为1．根据以上特点进行判断，即可解题． 【解答】解：∵，， ∴2﹣1表示的是2的倒数， 故选：C． 【点评】本题考查负整数指数幂，以及绝对值、相反数、倒数等定义的掌握，熟练掌握以上知识点是关键． 5．（2024秋•汉川市期末）计算的结果是 　3　 ． 【分析】根据负整数指数幂和零指数幂性质计算即可． 【解答】解：（）﹣1+（π﹣2）0 ＝2+1 ＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查负整数指数幂和零指数幂，关键是掌握这些知识进行运算． 三．同底数幂的乘法 6．（2025秋•思明区校级期中）已知a+2b﹣3＝0，则3a•32b＝（　　） A．24 B．27 C．54 D．81 【分析】先求得a+2b＝3，进而根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求得答案． 【解答】解：∵a+2b﹣3＝0， ∴a+2b＝3， ∴3a•32b＝3a+2b＝33＝27． 故选：B． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7．（2025秋•龙华区月考）计算（x﹣y）2•（y﹣x）5•（x﹣y）的结果是（　　） A．﹣（x﹣y）8 B．（x﹣y）8 C．x8﹣y8 D．﹣x8+y8 【分析】按照运算法则计算即可． 【解答】解：原式＝（x﹣y）2•[﹣（x﹣y）5]•（x﹣y）＝﹣（x﹣y）8． 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． 8．（2025秋•秀屿区校级期中）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+2＝b9 B．a+2＝9b C．2a﹣9＝b D．2a＝9b 【分析】根据合并同类项法则计算左边，根据幂的乘方法则计算右边，再根据同底数幂的乘法法则计算，即可得出2+a＝9b． 【解答】解：∵， ∴9×3a＝（3b）9， ∴32×3a＝39b， ∴32+a＝39b， ∴2+a＝9b， 故选：B． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 9．（2025秋•巴林左旗期中）若6a＝3，6b＝5，则62a+3b的值为（　　） A．21 B．90 C．134 D．1125 【分析】根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则计算即可． 【解答】解：∵6a＝3，6b＝5， ∴62a+3b＝62a×63b＝（6a）2×（6b）3＝32×53＝9×125＝1125， 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的，乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．（2025秋•普陀区期中）已知xa＝4，xb＝6，xc＝9，那么a、b、c的等量关系正确的是（　　） A．a+c＝2b B．a+c＝b2 C．ac＝2b D．ac＝b2 【分析】根据同底数幂乘法及幂的乘方法则即可求得答案． 【解答】解：∵xa＝4，xb＝6，xc＝9，4×9＝36， ∴xa•xc＝（xb）2， ∴xa+c＝x2b， ∴a+c＝2b， 故选：A． 【点评】本题考查同底数幂乘法及幂的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 11．（2025秋•上海校级月考）计算：（b﹣a）4（a﹣b）3＝　（a﹣b）7 ．（结果用幂的形式表示） 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【解答】解：（b﹣a）4（a﹣b）3 ＝（a﹣b）4（a﹣b）3 ＝（a﹣b）7． 故答案为：（a﹣b）7． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 12．（2025春•景德镇期中）已知2x＝3，则2x+4的值是 　48　 ． 【分析】将2x+4转化为2x•24，再将2x＝3代入计算即可． 【解答】解：由条件可知2x+4＝2x•24＝3×16＝48， 故答案为：48． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． 13．（2024春•句容市期中）若22n+3+4n+1＝192，则n的值为 　2　 ． 【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则进行运算即可． 【解答】解：∵22n+3+4n+1＝192， ∴22n+3+22n+2＝192， ∴2×22n+2+22n+2＝192， ∴3×22n+2＝192， ∴22n+2＝64， ∴2n+2＝6， ∴n＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 14．（2020春•崂山区期末）问题提出：在同底数幂的运算中，常常会遇到求n个数的和的情况，这n个数的和可以表示为Tn．那么怎样求Tn＝1•1+3•2+5•22+…+（2n﹣3）2n﹣2+（2n﹣1）2n﹣1的值呢？ 问题探究：为了解决这个问题我们将采取将一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： 探究一： S2＝1+2①； 2S2＝2+22②； ①﹣②得（1﹣2）S2＝1﹣22； S21； S3＝1+2+22③； 2S3＝2+22+23④； ③﹣④得（1﹣2）S3＝1﹣23； S31； S4＝1+2+22+23⑤； 2S4＝2+22+23+24⑥； ⑤﹣⑥得（1﹣2）S4＝1﹣24； S41； 由以上规律可知1+2+…+210＝　211﹣1　 ； 1+2+…+2n＝　2n+1﹣1　 ． 探究二：T2＝1•1+3•2⑦； 2T2＝1•2+3•22⑧； ⑦﹣⑧得（1﹣2）T2＝1•1+（3﹣1）•2﹣2•22＝1•1+2•2﹣3•22＝5﹣3•22； T2＝3•22﹣5； T3＝1•1+3•2+5•22⑨； 2T3＝1•2+3•22+5•23⑩； ⑨﹣⑩（1﹣2）T3＝1•1+（3﹣1）•2+（5﹣3）•22﹣5•23＝1•1+22+23﹣5•23＝2+22+23﹣5•23﹣1＝2（1+2+22）﹣5•23﹣1＝2（23﹣1）﹣5•23﹣1＝﹣3•23﹣3； T3＝3•23+3； 请根据前面推导过程推导T10，并写出推导过程． 问题解决：请求Tn＝1•1+3•2+5•22+…+（2n﹣3）2n﹣2+（2n﹣1）2n﹣1，写出求解过程． 【分析】探究一：仿照题干的方法解答即可； 探究二：仿照前面推导过程推导即可； 问题解决：分别利用探究一和探究二的方法解答即可． 【解答】解：探究一：设S10＝1+2+…+210①， 则2S10＝2+22+•••+211②， ②﹣①得： S10＝211﹣1． ∴1+2+…+210＝211﹣1； 设1+2+…+2n＝Sn③， 则2Sn＝2+…+2n+2n+1④， ④﹣③得： Sn＝2n+1﹣1， ∴1+2+…+2n＝2n+1﹣1， 故答案为：211﹣1；2n+1﹣1； 探究二：T10＝1•1+3•2+5•22+•••••••+19•29⑤， 2T10＝1•2+3•22+5•23+••••••+19•210⑥， ⑥﹣⑤得： （1﹣2）T10＝1•1+（3﹣1）•2+（5﹣3）•22+（7﹣5）•23+••••••+（19﹣17）•29﹣19•210， ∴﹣T10＝2+22+23+••••••+210﹣19•210﹣1 ＝2（1+2+22+•••••••+29）﹣19•210﹣1 ＝2（210﹣1）﹣19•210﹣1 ＝2•210﹣2﹣19•210﹣1 ＝（2﹣19）•210﹣3， ∴T10＝17•210+3． 问题解决：Tn＝1•1+3•2+5•22+…+（2n﹣3）2n﹣2+（2n﹣1）2n﹣1⑦， 2Tn＝1•2+3•22+5•23+…+（2n﹣3）2n﹣1+（2n﹣1）2n⑧， ⑦﹣⑧得： （1﹣2）Tn＝（3﹣1）•2+（5﹣3）•22+…+[（2n﹣3）﹣（2n﹣5）]2n﹣2+[（2n﹣1）﹣（2n﹣3）]2n﹣1﹣（2n﹣1）2n+1 ＝2+…+2n﹣（2n﹣1）2n﹣1 ＝2（1+2+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n﹣1 ＝2（2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n﹣1 ＝2•2n﹣2﹣（2n﹣1）2n﹣1 ＝（2﹣2n+1）2n﹣3 ＝（3﹣2n）2n﹣3， ∴﹣Tn＝（3﹣2n）2n﹣3， ∴Tn＝（2n﹣3）•2n+3． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，有理数的混合运算，数字变化的规律，本题是阅读型题目，仿照题干中的方法解答是解题的关键． 15．（2025•凌海市校级开学）阅读以下材料：指数与对数有密切的联系，它们之间可以互相转化． 对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，比如：23＝8可以转化为对数3＝log28，对数式2＝1og39，可以转化为指数式32＝9． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）理由如下： 设logaM＝m，logaM＝n，则M＝am，N＝an， ∴M•N＝am•an，由对数的定义得m+n＝loga（M•N） 又∵m+n＝logaM+logaN ∴loga（M•N）＝logaM+logaN 请解决以下问题： （1）将指数式53＝125转化为对数式 　3＝log5125　 ； （2）求证：； （3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62． 【分析】（1）根据对数的定义直接填空即可； （2）设logaM＝m，logaN＝n，再根据对数的定义证明即可； （3）根据对数的性质和（2）计算即可． 【解答】解：（1）将指数式53＝125转化为对数式为3＝log5125． 故答案为：3＝log5125． （2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an， ∴am﹣n， ∴logam﹣n， ∴logalogaM﹣logaN． （3）原式＝log69×8﹣log62 ＝log672﹣log62 ＝log6 ＝log662 ＝2． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，掌握对数的定义及其性质是解题的关键． 16．（2024•碑林区校级开学）阅读理解：一般地，n个相同因数a相乘：a•a•a…a•a，记为an，如：2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为log28，（即1og28＝3）． （1）计算：log39＝　2　 ；log381＝　4　 ；log3729＝　6　 ； （2）观察（1）中三数9、81、729之间满足怎样的关系式？写出log39，log381，log3729之间的关系式 　log39+log381＝log3729 ； （3）由（2）的结果，请你归纳出一个一般性的结果：logaM+logaN＝　logaMN （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）； （4）根据上述结论解决下列问题： 已知loga2＝0.3，求loga4和loga8的值（a＞0且a≠1）． 【分析】（1）根据题目给出的定义可求出答案； （2）根据题意给出的规律求出答案； （3）根据（2）中的规律即出答案； （4）根据题目给出的运算法则求出答案． 【解答】解：（1）∵32＝9，34＝81，36＝729， ∴log39＝2，log381＝4，log3729＝6． 故答案为：2，4，6； （2）log39+log381＝log3（9×81）＝log3729； 故答案为：log39+log381＝log3729． （3）logaM+logaN＝logaMN， 故答案为：logaMN． （4）loga2+loga2＝loga4＝0.3+0.3＝0.6， loga2+loga4＝loga8＝0.6+0.3＝0.9． 【点评】本题考查学生的阅读理解能力，看懂题例理解题意是解决本题的关键． 四．幂的乘方与积的乘方 17．（2025秋•昆明期中）下列运算中，正确的是（　　） A．x3•x3＝x6 B．（2ab）3＝6a3b3 C．（x2）3＝x5 D．3x2+2x3＝5x5 【分析】依次对每个选项根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方的运算法则进行计算，判断正误． 【解答】解：x3•x3＝x3+3＝x6，A正确，符合题意． （2ab）3＝23a3b3＝8a3b3≠6a3b3，B错误，不符合题意． （x2）3＝x2×3＝x6≠x5，C错误，不符合题意． 3x2与2x3不是同类项，不能合并，D错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方的运算法则是解题的关键． 18．（2025秋•普陀区校级期中）已知m、n是正整数，下列等式中，表示“积的乘方的性质”的是（　　） A．am•an＝am+n B．am•bn＝（ab）m+n C．（ab）m＝am•bm D．（am）n＝amn 【分析】根据积的乘方法则：积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此判断即可． 【解答】解：A、am•an＝am+n，表示同底数幂的乘法，故不符合题意； B、am•bn≠（ab）m+n，故不符合题意； C、（ab）m＝am•bm表示积的乘方，故符合题意； D、（am）n＝amn，表示幂的乘方，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是关键． 19．（2025秋•五华区校级期中）已知3x﹣4y＝3（x、y均为正整数），则27x÷92y的值为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 【分析】先化成同底数幂的形式，然后利用同底数幂的除法法则得出33x﹣4y，结合3x﹣4y＝3（x、y均为正整数）即可求解． 【解答】解：27x÷92y ＝33x÷34y ＝33x﹣4y， ∵3x﹣4y＝3（x、y均为正整数）， ∴原式＝33＝27． 故选：C． 【点评】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键． 20．（2025秋•上海校级期中）设2m＝3，2n＝6，2p＝12，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（　　） A．m+p＝2n B．m+n＝2p C．n2﹣mp＝2 D．p+n＝2m 【分析】根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得m+p＝2n，m+n≠2p，n＝m+1，p＝m+2，再进一步分析即可． 【解答】解：A、∵2m＝3，2n＝6，2p＝12， ∴2m+p＝2m•2p＝3×12＝36＝62＝（2n）2＝22n， ∴m+p＝2n，选项关系正确，符合题意； B、∵2m＝3，2n＝6，2p＝12， ∴2m+n＝2m•2n＝3×6＝18，22p＝（2p）2＝122＝144， ∴2m+n≠22p， ∴m+n≠2p，选项关系错误，不符合题意； C、∵2m＝3，2n＝6，2p＝12， ∴2m+1＝2×2m＝2×3＝6＝2n，2m+2＝2m×22＝3×4＝12＝2p， ∴n＝m+1，p＝m+2， ∴n2﹣mp＝（1+m）2﹣m（2+m）＝1+2m+m2﹣2m﹣m2＝1，选项关系错误，不符合题意； D、∵2m＝3，2n＝6，2p＝12， ∴2m+1＝2×2m＝2×3＝6＝2n，2m+2＝2m×22＝3×4＝12＝2p， ∴n＝m+1，p＝m+2， ∴p+n＝2m+3，选项关系错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是关键． 21．（2024秋•乐东县期末）已知a＝313，b＝96，c＝275，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 【分析】根据幂的乘方可得b＝96＝（32）6＝312，c＝275＝（33）5＝315，即可求解． 【解答】解：∵b＝96＝（32）6＝312，a＝313，c＝275＝（33）5＝315且12＜13＜15， ∴c＞a＞b． 故选：A． 【点评】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 22．（2025•哈尔滨模拟）若2m＝4n+1，27n＝3m+1，则m﹣n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【分析】把所给的等式进行整理，从而可求得相应的n与m的值，再代入所求进行运算即可． 【解答】解：∵2m＝4n+1，27n＝3m+1， ∴2m＝22n+2，33n＝3m+1， ∴m＝2n+2，3n＝m+1， 解得：n＝3，m＝8， ∴m﹣n＝8﹣3＝5． 故选：C． 【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是由所给的等式求得m与n的值． 23．（2025秋•渝北区校级期中）若ax＝3，ay＝2，则a2x+y的值为（　　） A．12 B．17 C．72 D．18 【分析】把ax＝3，ay＝2代入a2x+y＝（ax）2×ay进行计算，即可作答． 【解答】解：根据题意可知， a2x+y ＝a2x×ay ＝（ax）2×ay ＝32×2 ＝9×2 ＝18． 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 24．（2025•河北模拟）若a，b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+1＝3b C．a+1＝b3 D．3a＝b3 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：∵3a+3a+3a＝3×3a＝3a+1，3b×3b×3b＝（3b）3＝33b， ∴a+1＝3b． 故选：B． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 25．（2025秋•思明区校级期中）若a为正整数，则（a6）3表示的是（　　） A．9个a相加 B．3个a6相乘 C．9个a相乘 D．3个a6相加 【分析】根据幂的乘方的定义判断即可． 【解答】解：（a6）3＝a18，所以表示的是3个a6相乘或18个a相乘． 故选：B． 【点评】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是关键． 26．（2025•天宁区校级二模）代数式a15可以表示为（　　） A．a7+a8 B．a7•a8 C．a30÷a2 D．（a7）8 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：A、a7与a8表示同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意； B、a7•a8＝a15，故该项正确，符合题意； C、a30÷a2＝a28，故该项不正确，不符合题意； D、（a7）8＝a56，故该项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 27．（2025秋•海口期中）计算：（0.5）2024×（﹣2）2025的结果是（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣0.5 D．0.5 【分析】将（0.5）2024×（﹣2）2025转化为[0.5×（﹣2）]2024×（﹣2），然后计算，即可作答． 【解答】解：原式＝（0.5）2024×（﹣2）2024×（﹣2） ＝[0.5×（﹣2）]2024×（﹣2） ＝（﹣1）2024×（﹣2） ＝1×（﹣2） ＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了积的乘方逆运算．熟练掌握运算法则是关键． 28．（2025春•邯郸期末）若x，y均为正整数，且2x+1•4y＝128，则x+y的值为（　　） A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5 【分析】先把2x+1•4y化为2x+1+2y，128化为27，得出x+1+2y＝7，即x+2y＝6因为x，y均为正整数，求出x，y，再求了出x+y．， 【解答】解：∵2x+1•4y＝2x+1+2y，27＝128， ∴x+1+2y＝7，即x+2y＝6 ∵x，y均为正整数， ∴或 ∴x+y＝5或4， 故选：C． 【点评】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是化为相同底数的幂求解． 29．（2025秋•浦东新区月考）已知xm＝8，x2n+m＝128，则xn的值是（　　） A．±8 B．±4 C．4 D．8 【分析】根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法进行计算即可． 【解答】解：∵x2n+m＝128， ∴（xn）2•xm＝128， 又∵xm＝8， ∴（xn）2×8＝128， ∴（xn）2＝16， ∴xn＝±4． 故选：B． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法是正确解答的关键． 30．（2025•南京模拟）已知2a＝3，2b＝5，2c＝30，则a，b，c之间满足的等式是（　　） A．c＝a+b+1 B．c＝ab+1 C．c＝a+b D．c＝ab 【分析】根据指数运算法则，将30分解为已知的2的幂次相乘，进而比较指数得出关系式即可． 【解答】解：由条件可知2c＝2a×2b×2， ∴2c＝2a+b+1， ∴c＝a+b+1． 故选：A． 【点评】本题考查同底数幂相乘，掌握同底数幂乘法法则是解题关键． 31．（2025秋•禄劝县校级月考）若82+m＝32m+1，则44m+42m的值是（　　） A． B．16 C．20 D．24 【分析】根据乘方、幂的乘方的性质，通过列一元一次方程并求解，再根据代数式的性质计算，即可得到答案． 【解答】解：∵82+m＝32m+1， ∴（23）2+m＝（25）m+1， ∴26+3m＝25m+5， ∴6+3m＝5m+5， ∴2m＝1， ∴， ∴44m+42m＝42+4＝16+4＝20． 故选：C． 【点评】本题考查了乘方、幂的乘方、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的性质，从而完成求解． 32．（2025春•菏泽月考）已知2x+3•3x+3＝36x﹣2，则x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】逆运用积的乘方的性质整理，然后根据指数相等列方程求解即可． 【解答】解：∵2x+3•3x+3＝（2×3）x+3＝6x+3，36x﹣2＝（62）x﹣2＝62x﹣4， ∴x+3＝2x﹣4， 解得：x＝7． 故选：C． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是关键． 33．（2025春•鼓楼区校级月考）已知a＝53，b＝75，则3515可以表示为（　　） A．a3b5 B．a5b3 C．a5+b3 D．a15b15 【分析】先将3515变形为（5×7）15，再利用幂的乘方逆运算计算即可． 【解答】解：3515＝（5×7）15＝（53）5×（75）3＝a5b3， 故选：B． 【点评】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握基本运算是解题关键． 34．（2025春•玄武区校级月考）5等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据幂的乘方进行计算即可． 【解答】解：， 故选：C． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键． 35．（2024春•花山区校级期中）已知10a＝200，100b＝500，则2a+4b﹣4的值是（　　） A．1 B．7 C．11 D．6 【分析】先根据幂的乘方的逆运算求出102a＝40000，100b＝500再根据同底数幂的乘除法逆运算求出102a+4b﹣4，即可得到答案． 【解答】解：∵10a＝200，100b＝500， ∴102a＝（10a）2＝40000，100b＝（102）b＝102b＝500， ∴104b＝（102b）2＝250000， ∴102a+4b﹣4＝102a×104b÷104＝40000×250000÷10000＝106， ∴2a+4b﹣4＝6． 故选：D． 【点评】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知（ma）b＝mab， 是解题的关键． 36．（2025秋•石家庄期中）若[（a﹣2）2]3＝（a﹣2）（a﹣2）a（a≠2），则a的值为 　1或3或5　 ． 【分析】根据幂的运算法则进行解答便可． 【解答】解：∵[（a﹣2）2]3＝（a﹣2）（a﹣2）a（a≠2）， ∴（a﹣2）6＝（a﹣2）a+1， ∴a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝6， ∴a＝3或a＝1或a＝5， 故答案为：1或3或5． 【点评】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，关键是运用幂的运算法则列出a的方程． 37．（2025秋•思明区校级期中）若4m•23＝85，则m＝　6　 ． 【分析】根据幂的乘方运算法则可得4m＝22m，再根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【解答】解：因为4m•23＝22m•23＝22m+3＝215， 所以2m+3＝15， 解得m＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 38．（2025秋•江北区校级月考）若n为正整数，且，则（x2y）3n＝　　 ． 【分析】根据幂的乘方和积的乘方将原式变形，把代入变形后的式子进行计算． 【解答】解：∵， （x2y）3n＝（x3n）2•（yn）3． 故答案为：． 【点评】本题考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方、积的乘方法则． 39．（2025春•靖江市校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）根据上述规定，填空：（4，64）＝　3　 ； （2）若（3，y）＝2m﹣1，（3，6x）＝m+1，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； （3）①若（4，3）＝a，（4，8）＝b，（4，24）＝c，请你尝试证明：a+b＝c； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：（xn，yn）＝（x，y）， 证明： 设（xn，yn）＝m，∴（xn）m＝yn，∴（xm）n＝yn， ∴xm＝y，即（x，y）＝m． ∴（xn，yn）＝（x，y）． 结合①，②探索的结论，计算：　3　 ． 【分析】（1）由题意可得43＝64，然后根据定义的新运算即可直接得出答案； （2）由（3，y）＝2m﹣1，（3，6x）＝m+1可得32m﹣1＝y，3m+1＝6x，由同底数幂的乘法可得32m﹣1×3＝32m＝3y，由同底数幂的除法可得3m+1÷3＝3m＝2x，由幂的乘方可得（3m）2＝32m，于是可得（2x）2＝3y，由此即可得出x与y之间的关系； （3）①由（4，3）＝a，（4，8）＝b，（4，24）＝c可得4a＝3，4b＝8，4c＝24，由3×8＝24可得4a•4b＝4c，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由（xn，yn）＝（x，y）可得，设（2，3）＝a，，，由①探索的结论可得，即2c＝8，由于23＝8，因而可得c＝3，由此即可得出答案． 【解答】解：（1）∵43＝64， ∴（4，64）＝3， 故答案为：3； （2）∵（3，y）＝2m﹣1，（3，6x）＝m+1， ∴32m﹣1＝y，3m+1＝6x， ∴32m﹣1×3＝32m＝3y，3m+1÷3＝3m＝2x， ∵（3m）2＝32m， ∴（2x）2＝3y， ∴； （3）①证明：由题意可得：4a＝3，4b＝8，4c＝24， ∵3×8＝24， ∴4a•4b＝4c， 即：4a+b＝4c， ∴a+b＝c； ②原式 ， 设（2，3）＝a，，， ∴， ∴2c＝8， ∵23＝8， ∴c＝3， ∴， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 40．（2023春•兴化市期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）若3x×9x×27x＝312，求x的值． （2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． 【分析】（1）由3x×9x×27x＝3x×（32）x×（33）x＝3x×32x×33x＝36x＝312得出6x＝12，即可得出答案； （2）将5m＝x+3代入y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2可得答案． 【解答】解：（1）3x×9x×27x＝3x×（32）x×（33）x＝3x×32x×33x＝36x． ∵36x＝312， ∴6x＝12， ∴x＝2． （2）∵x＝5m﹣3， ∴5m＝x+3， ∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2， ∴y＝﹣x2﹣6x﹣5． 【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． 41．（2025春•宝应县期中）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　1　 ，D（16）＝　4　 ． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 【分析】本题属于阅读题，根据给出的定义进行运算或化简． 【解答】解：（1）∵21＝2， ∴D（2）＝1， ∵24＝16， ∴D（16）＝4， 故答案为：1；4． （2）①∵21＝a， ∴a＝2． ∴23＝23． ∴D（a3）＝3． ②D（15）＝D（3×5）， ＝D（3）+D（5） ＝（2a﹣b）+（a+c） ＝3a﹣b+c， ＝（a+c）﹣（2a﹣b） ＝﹣a+b+c． D（108）＝D（3×3×3×2×2）， ＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2） ＝3×D（3）+2×D（2） ＝3×（2a﹣b）+2×1 ＝6a﹣3b+2． ， ＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2） ＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）] ＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）] ＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1] ＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2 ＝5a﹣3b﹣c﹣2， 【点评】主要考查阅读题的理解，运用所给公式进行化简，要对公式能够活学活用，考查学生的运用解题能力． 42．已知20x＝1000，50y＝1000，求的值． 【分析】由于无法求出x，y的值，想到，所以可以根据指数的运算，20，50，然后利用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可求解． 【解答】解：∵20x＝1000，50y＝1000， ∴20，50， ∴20×50＝1000， ∴1． ∴故答案为：1． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的拓广，根据指数的运算求出，20，50是解题的关键，有一定难度． 43．（2022春•郏县期末）阅读下列材料： 若a3＝2，b5＝3，则a，b的大小关系是a　＞　 b（填“＜”或“＞”）． 解：因为a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15， 所以a＞b． 解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质 C A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 （2）已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小． 【分析】（1）根据幂的乘方进行解答即可； （2）根据题目所给的求解方法，进行比较． 【解答】解：∵a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15， 所以a＞b，故答案为：＞； （1）上述求解过程中，逆用了幂的乘方，故选C； （2）∵x63＝（x7）9＝29＝512，y63＝（y9）7＝37＝2187，2187＞512， ∴x63＜y63， ∴x＜y． 【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关键． 44．（2021春•黔西南州期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c． 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空： （3，27）＝　3　 ，（5，1）＝　0　 ，（2，）＝　﹣2　 ． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20） 【分析】（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断； （2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解． 【解答】解：（1）∵33＝27， ∴（3，27）＝3； ∵50＝1， ∴（5，1）＝0； ∵2﹣2， ∴（2，）＝﹣2； （2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y， 则3x＝4，3y＝5， ∴3x+y＝3x•3y＝20， ∴（3，20）＝x+y， ∴（3，4）+（3，5）＝（3，20）． 故答案为：3，0，﹣2． 【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键． 45．（2018春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较322和411的大小． 解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2 ∴322＞222，即322＞411 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较28和82的大小 解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6 ∴28＞26，即28＞82 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 （1）比较344、433、522的大小 （2）比较8131、2741、961的大小 （3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小 （4）比较312×510与310×512的大小 【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以解答本题； （3）根据题目中的例子可以解答本题； （4）根据题目中的例子可以解答本题． 【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111， 433＝（43）11＝6411， 522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25， ∴8111＞6411＞2511， 即344＞433＞522； （2）∵8131＝（34）31＝3124， 2741＝（33）41＝3123， 961＝（32）61＝3122， ∵124＞123＞122， ∴3124＞3123＞3122， 即8131＞2741＞961； （3）∵a2＝2，b3＝3， ∴a6＝8，b6＝9， ∵8＜9， ∴a6＜b6， ∴a＜b； （4）∵312×510＝（3×5）10×32， 310×512＝（3×5）10×52， 又∵32＜52， ∴312×510＜310×512． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． 五．同底数幂的除法 46．（2025秋•宝山区校级期中）下列计算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．（﹣a）8÷（﹣a）3＝a5 C．（2x3）3＝6x9 D．（﹣y3）2＝y6 【分析】利用幂的有关运算性质进行运算后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、x2+x3，不能进一步运算，不符合题意； B、（﹣a）8÷（﹣a）3＝﹣a5，不符合题意； C、（2x3）3＝8x9，不符合题意； D、（﹣y3）2＝y6，正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了幂的运算性质，解题的关键是了解同底数幂的乘除法、幂的乘方及积的乘方的知识，比较简单． 47．（2025秋•鼓楼区校级期中）若xa＝2，xb＝3，则x3a﹣b的值等于（　　） A．6 B．5 C．3 D． 【分析】将要求的式子变形为（xa）3÷xb，再代入计算即可． 【解答】解：∵xa＝2，xb＝3， ∴x3a﹣b＝x3a÷xb＝（xa）3÷xb＝23÷3， 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 48．（2025秋•通道县期中）下列算式，计算正确的有（　　） ①10﹣3＝0.0001； 　②（0.0001）0＝1；　③3a﹣2；　④（﹣2）3÷（﹣2）5＝﹣2﹣2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则结合零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简求出答案． 【解答】解：①10﹣3＝0.001，故原式错误； 　②（0.0001）0＝1，正确；　 ③3a﹣2，故原式错误；　④（﹣2）3÷（﹣2）5＝（﹣2）﹣2，故原式错误． 故选：A． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算法则以及零指数幂的性质、负指数幂的性质等知识，正确掌握运算法则是解题关键． 49．（2025秋•惠安县期中）实数a，b，c满足2a＝3，2b＝6，2c＝24，则代数式201a﹣561b+360c的值为（　　） A．517 B．518 C．519 D．520 【分析】根据已知得出，，进而得到b＝a+1，c＝a+3，再代入代数式，即可求解． 【解答】解：∵2b＝6，2c＝24， ∴，， ∴2a＝2b﹣1，2b＝2c﹣2， ∴a＝b﹣1，b＝c﹣2， ∴b＝a+1，c＝b+2＝a+3， ∴201a﹣561b+360c＝201a﹣561（a+1）+360（a+3）＝201a﹣561a﹣561+360a+1080＝519． 故选：C． 【点评】本题考查同底数幂的除法、代数式求值，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 50．（2025春•江阴市校级月考）计算（﹣m）6÷m2的结果等于（　　） A．m2 B．m3 C．m4 D．m6 【分析】根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可． 【解答】解：根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算可得： （﹣m）6÷m2＝m6÷m2＝m4， 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 51．（2025春•涡阳县期中）已知3a＝2，3b＝4，3c＝12，则下列结论错误的是（　　） A．c﹣b＝1 B．c﹣2a＝1 C．2a+c﹣2b＝0 D．2a﹣b＝0 【分析】根据同底数幂的除法运算法则，同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：A．∵3b＝4，3c＝12， ∴3c÷3b＝3c﹣b＝12÷4＝3， ∴c﹣b＝1，故选项A正确； B．∵3c＝12，3a＝2， ∴（3a）2＝32a＝22＝4， ∴3c÷32a＝12÷4＝3＝3c﹣2a， ∴c﹣2a＝1，故选项B正确； C．∵3a＝2，3b＝4，3c＝12， ∴（3a）2＝32a＝22＝4，（3b）2＝32b＝42＝16， ∴32a•3c÷32b＝32a+c﹣2b＝4×12÷16＝3， ∴2a+c﹣2b＝1，故选项C错误； D．∵3a＝2，3b＝4， ∴（3a）2＝32a＝22＝4， ∴32a÷3b＝32a﹣b＝4÷4＝1＝30， ∴2a﹣b＝0，故选项D正确． 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂的除法运算法则，同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 52．（2024春•兴宁市期中）已知3a＝4，3b＝5，3c＝8．则32a﹣3b+c的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据幂的乘方的性质，同底数幂相乘、底数不变指数相加，同底数幂相除、底数不变指数相减，把所求算式转化为已知条件的形式，然后代入计算即可． 【解答】解：∵3a＝4，3b＝5，3c＝8， ∴32a﹣3b+c ＝32a÷33b×3c ＝（3a）2÷（3b）3×3c ＝42÷53×8 ， 故选：D． 【点评】本题考查幂的乘方的性质以及同底数幂的乘除法的性质的运用．熟记性质，把所求算式转化为已知条件的形式是解题的关键． 53．（2025秋•新津区校级期末）若3m＝6，3n＝2，则32m﹣3n+1＝　　 ． 【分析】熟练逆用同底数幂的除法、乘法和幂的乘方公式，对代数式进行变形，即可整体代入求值． 【解答】解：32m﹣3n+1＝32m÷33n×3， ＝（3m）2÷（3n）3×3， 因为3m＝6，3n＝2， 所以原式， 故答案为：． 【点评】本题考查了同底数幂除法和幂的乘方，熟练掌握相关法则是解题关键． 54．（2025秋•宝山区校级期中）计算：a9÷a6•a3＝ a6 ． 【分析】根据运算法则am•an＝am+n和am÷an＝am﹣n直接求解即可． 【解答】解：原式＝a9﹣6+3＝a6， 故答案为：a6． 【点评】本题考查同底数幂的乘法和除法，熟练掌握运算法则是关键． 55．（2025春•渭城区校级月考）若x﹣2y﹣1＝0，则2x÷（22）y×23的值为　16　 ． 【分析】根据题意可求出x﹣2y＝1，再把所求式子变形为2x÷22y×23，进一步变形得到2x﹣2y+3，据此求解即可． 【解答】解：由条件可知x﹣2y＝1， ∴2x÷（22）y×23 ＝2x÷22y×23 ＝2x﹣2y+3 ＝21+3 ＝16， 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了代数式求值，幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，熟练掌握以上知识点是关键． 56．（2024秋•荆州期末）【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作[a，b]，如果ac＝b，那么[a，b]＝c；例如32＝9，记作[3，9]＝2． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果：[5，125]＝ 　3　 ；[﹣2，16]＝ 　4　 ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有am•an＝am+n，am÷an＝am﹣n，例如32×35＝32+5＝37，36÷32＝36﹣2＝34．（2）小颖发现[4，2]+[4，3]＝[4，6]也成立，并证明如下： 设[4，2]＝x，[4，3]＝y，则4x＝2，4y＝3， 因为4x×4y＝4x+y＝6，所以[4，6]＝x+y， 所以[4，2]+[4，3]＝x+y＝[4，6]， 仿照以上证明，计算[2025，4]+[2025，6]＝[2025，　24　 ]，写出计算过程； （3）猜想[5，18]﹣[5，3]＝[5，　6　 ]，并说明理由． 【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设[2025，4]＝x，[2025，6]＝y，则2025x＝4，2025y＝6，然后根据同底数的乘法可进行求解； （3）设[5，18]＝x，[5，3]＝y，则5x＝18，5y＝3，进而根据新定义运算及同底数幂的除法可进行求解 【解答】解：（1）∵53＝125，（﹣2）4＝16， 又∵如果ac＝b，那么[a，b]＝c， ∴[5，125]＝3，[﹣2，16]＝4； 故答案为3，4； （2）设[2025，4]＝x，[2025，6]＝y， 则2025x＝4，2025y＝6， ∵2025x×2025y＝2025x+y＝4×6＝24， 又∵如果ac＝b，那么[a，b]＝c， ∴[2025，24]＝x+y， ∴[2025，4]+[2025，6]＝x+y＝[2025，24]； 故答案为：24； （3）[5，18]﹣[5，3]＝[5，6]，理由如下： 设[5，18]＝x，[5，3]＝y，则5x＝18，5y＝3， ∵5x÷5y＝5x﹣y＝6， 又∵如果ac＝b，那么[a，b]＝c， ∴[5，6]＝x﹣y， ∴[5，18]﹣[5，3]＝x﹣y＝[5，6]． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘除法，熟练掌握同底数幂的乘除法及题意是解题的关键． 57．（2025春•西湖区校级期末）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）若，则x的值为 　﹣3　 ； （2）解方程：2x+2+2x﹣1＝18； （3）若x＝3m﹣3，y＝1+3﹣m，用含x的代数式表示y， 【分析】（1）将表示为以2为底的负整数指数幂即可； （2）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； （3）根据负整数指数幂的运算法则计算即可． 【解答】解：（1）4x4﹣3， ∴x＝﹣3． 故答案为：﹣3． （2）23•2x﹣1+2x﹣1＝18， 9×2x﹣1＝18， 2x﹣1＝2， x﹣1＝1， x＝2． （3）∵x＝3m﹣3， ∴3m＝x+3， ∴3﹣m， ∴y＝1+3﹣m＝1． 【点评】本题考查同底数幂的乘法、除法，负整数指数幂，解一元一次方程，掌握同底数幂的乘法、除法，负整数指数幂的运算法则及一元一次方程的解法是解题的关键． 58．（2018春•兴化市期中）尝试解决下列有关幂的问题： （1）若9×27x＝317，求x的值； （2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值； （3）若x25m5m，y25m+5m+1，请比较x与y的大小． 【分析】（1）首先利用幂的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则求出答案； （2）根据同底数幂的除法法则解答； （3）利用作差法比较大小． 【解答】解：（1）∵9×27x＝317， ∴33x+2＝317， ∴3x+2＝17， ∴x＝5； （2）∵ax＝﹣2，ay＝3， ∴a3x﹣2y＝（a3x）÷（a2y）＝（ax）3÷（ay）2＝（﹣2）3÷32＝﹣8÷9； （3）令5m＝t，则25m＝（52）m＝（5m）2＝t2， ∴x25m5m，y， ∴y﹣x0， ∴x＜y． 【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 59．（2023秋•内乡县期中）尝试解决下列有关幂的问题： （1）若3×27m÷9m＝316，求m的值； （2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值； （3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值． 【分析】根据同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝3×（33）m÷（32）m ＝3×33m÷32m ＝33m+1﹣2m ＝3m+1 即3m+1＝316，则m+1＝16， 即m＝15． （2）a3x﹣2y ＝a3x÷a2y ＝（ax）3÷（ay）2 ＝﹣8÷9 ． （3）原式＝9（x2n）3﹣4（x2n）2 ＝9×43﹣4×42 ＝512． 【点评】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，掌握同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则是解题的关键． 60．（2020春•高新区期中）阅读材料： 求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2， 得2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014． 将下式减去上式，得2S﹣S＝22014一1 即S＝22014一1， 即1+2+22+23+24+…+22013＝22014一1 仿照此法计算： （1）1+3+32+33+…+3100 （2）1． 【分析】（1）设S＝1+3+32+33+…+3100，两边乘以3得出3S＝3+32+33+34+35+…+3100+3101，将下式减去上式即可得出答案； （2）设S＝1，两边乘以得出S，将下式减去上式即可得出答案． 【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+…+3100， 两边乘以3得：3S＝3+32+33+34+35+…+3100+3101， 将下式减去上式，得3S﹣S＝3101﹣1 即S， 即1+3+32+33+34+…+3100 （2）设S＝1， 两边乘以得：S， 将下式减去上式得：S1， 解得：S＝2， 即12． 【点评】本题考查了有理数的混合运算的应用，能读懂题意是解此题的关键，主要培养学生的理解能力． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/8 19:59:38；用户：15805237398；邮箱：15805237398；学号：37895004 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $一轮复习 幂的运算 一、同底数幂的乘法性质 （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 二、幂的乘方 （1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 三、积的乘方 （1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 四、同底数幂的除法 （1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. （5）底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. （6）是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（2xy）-1=（），（）. 五、科学记数法 ， 6、 拓展 1. 同底数幂中比较大小 比较355，444，533的大小． 方法:55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小．解:∵，，，∴． 2. 积的乘方凑整 42024×（-0.25）2025 方法：1.化为同指：42024×（-0.25）2024×（-0.25） 2.将凑整，再求解 3.同底数幂除法逆用 已知22x-1-22x-3=96求x的值. 方法：1.同底数幂相除，底数相同，指数相减——=96 2.把当成整体转化成一元一次方程，求解即可 4.同底数幂归纳演绎推理 求l+2+22+23+24+…+22025的值． 方法：设S=l+2+22+23+24+…+22024+22025 ① 则2S=2+22+23+24+25+…+22025+22026 ② ②-①，得2S﹣S=22026-l即S=22026-l∴1+2+22+23+24+…+22025=22026-l 一．零指数幂 1．（2025秋•东安县校级月考）若（2﹣x）5﹣x＝1，则x的取值有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025秋•西城区校级期中）如果（2a﹣1）0＝1不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 二．负整数指数幂 3．（2024秋•巴马县期末）计算2024﹣1的正确结果是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 4．（2025春•市南区校级月考）2﹣1表示的是（　　） A．2的绝对值 B．2的相反数 C．2的倒数 D．2的倒数的相反数 5．（2024秋•汉川市期末）计算的结果是 　 　 ． 三．同底数幂的乘法 6．（2025秋•思明区校级期中）已知a+2b﹣3＝0，则3a•32b＝（　　） A．24 B．27 C．54 D．81 7．（2025秋•龙华区月考）计算（x﹣y）2•（y﹣x）5•（x﹣y）的结果是（　　） A．﹣（x﹣y）8 B．（x﹣y）8 C．x8﹣y8 D．﹣x8+y8 8．（2025秋•秀屿区校级期中）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+2＝b9 B．a+2＝9b C．2a﹣9＝b D．2a＝9b 9．（2025秋•巴林左旗期中）若6a＝3，6b＝5，则62a+3b的值为（　　） A．21 B．90 C．134 D．1125 10．（2025秋•普陀区期中）已知xa＝4，xb＝6，xc＝9，那么a、b、c的等量关系正确的是（　　） A．a+c＝2b B．a+c＝b2 C．ac＝2b D．ac＝b2 11．（2025秋•上海校级月考）计算：（b﹣a）4（a﹣b）3＝　 　 ．（结果用幂的形式表示） 12．（2025春•景德镇期中）已知2x＝3，则2x+4的值是 　 　 ． 13．（2024春•句容市期中）若22n+3+4n+1＝192，则n的值为 　 　 ． 14．（2020春•崂山区期末）问题提出：在同底数幂的运算中，常常会遇到求n个数的和的情况，这n个数的和可以表示为Tn．那么怎样求Tn＝1•1+3•2+5•22+…+（2n﹣3）2n﹣2+（2n﹣1）2n﹣1的值呢？ 问题探究：为了解决这个问题我们将采取将一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： 探究一： S2＝1+2①； 2S2＝2+22②； ①﹣②得（1﹣2）S2＝1﹣22； S21； S3＝1+2+22③； 2S3＝2+22+23④； ③﹣④得（1﹣2）S3＝1﹣23； S31； S4＝1+2+22+23⑤； 2S4＝2+22+23+24⑥； ⑤﹣⑥得（1﹣2）S4＝1﹣24； S41； 由以上规律可知1+2+…+210＝　 　 ； 1+2+…+2n＝　 　 ． 探究二：T2＝1•1+3•2⑦； 2T2＝1•2+3•22⑧； ⑦﹣⑧得（1﹣2）T2＝1•1+（3﹣1）•2﹣2•22＝1•1+2•2﹣3•22＝5﹣3•22； T2＝3•22﹣5； T3＝1•1+3•2+5•22⑨； 2T3＝1•2+3•22+5•23⑩； ⑨﹣⑩（1﹣2）T3＝1•1+（3﹣1）•2+（5﹣3）•22﹣5•23＝1•1+22+23﹣5•23＝2+22+23﹣5•23﹣1＝2（1+2+22）﹣5•23﹣1＝2（23﹣1）﹣5•23﹣1＝﹣3•23﹣3； T3＝3•23+3； 请根据前面推导过程推导T10，并写出推导过程． 问题解决：请求Tn＝1•1+3•2+5•22+…+（2n﹣3）2n﹣2+（2n﹣1）2n﹣1，写出求解过程． 15．（2025•凌海市校级开学）阅读以下材料：指数与对数有密切的联系，它们之间可以互相转化． 对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，比如：23＝8可以转化为对数3＝log28，对数式2＝1og39，可以转化为指数式32＝9． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）理由如下： 设logaM＝m，logaM＝n，则M＝am，N＝an， ∴M•N＝am•an，由对数的定义得m+n＝loga（M•N） 又∵m+n＝logaM+logaN ∴loga（M•N）＝logaM+logaN 请解决以下问题： （1）将指数式53＝125转化为对数式 　 　 ； （2）求证：； （3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62． 16．（2024•碑林区校级开学）阅读理解：一般地，n个相同因数a相乘：a•a•a…a•a，记为an，如：2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为log28，（即1og28＝3）． （1）计算：log39＝　 　 ；log381＝　 　 ；log3729＝　 　 ； （2）观察（1）中三数9、81、729之间满足怎样的关系式？写出log39，log381，log3729之间的关系式　 ； （3）由（2）的结果，请你归纳出一个一般性的结果：logaM+logaN＝　 　 （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）； （4）根据上述结论解决下列问题：已知loga2＝0.3，求loga4和loga8的值（a＞0且a≠1）． 四．幂的乘方与积的乘方 17．（2025秋•昆明期中）下列运算中，正确的是（　　） A．x3•x3＝x6 B．（2ab）3＝6a3b3 C．（x2）3＝x5 D．3x2+2x3＝5x5 18．（2025秋•普陀区校级期中）已知m、n是正整数，下列等式中，表示“积的乘方的性质”的是（　　） A．am•an＝am+n B．am•bn＝（ab）m+n C．（ab）m＝am•bm D．（am）n＝amn 19．（2025秋•五华区校级期中）已知3x﹣4y＝3（x、y均为正整数），则27x÷92y的值为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 20．（2025秋•上海期中）设2m＝3，2n＝6，2p＝12，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（　　） A．m+p＝2n B．m+n＝2p C．n2﹣mp＝2 D．p+n＝2m 21．（2024秋•乐东县期末）已知a＝313，b＝96，c＝275，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 22．（2025•哈尔滨模拟）若2m＝4n+1，27n＝3m+1，则m﹣n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 23．（2025秋•渝北区校级期中）若ax＝3，ay＝2，则a2x+y的值为（　　） A．12 B．17 C．72 D．18 24．（2025•河北模拟）若a，b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+1＝3b C．a+1＝b3 D．3a＝b3 25．（2025秋•思明区校级期中）若a为正整数，则（a6）3表示的是（　　） A．9个a相加 B．3个a6相乘 C．9个a相乘 D．3个a6相加 26．（2025•天宁区校级二模）代数式a15可以表示为（　　） A．a7+a8 B．a7•a8 C．a30÷a2 D．（a7）8 27．（2025秋•海口期中）计算：（0.5）2024×（﹣2）2025的结果是（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣0.5 D．0.5 28．（2025春•邯郸期末）若x，y均为正整数，且2x+1•4y＝128，则x+y的值为（　　） A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5 29．（2025秋•浦东新区月考）已知xm＝8，x2n+m＝128，则xn的值是（　　） A．±8 B．±4 C．4 D．8 30．（2025•南京模拟）已知2a＝3，2b＝5，2c＝30，则a，b，c之间满足的等式是（　　） A．c＝a+b+1 B．c＝ab+1 C．c＝a+b D．c＝ab 31．（2025秋•禄劝县校级月考）若82+m＝32m+1，则44m+42m的值是（　　） A． B．16 C．20 D．24 32．（2025春•菏泽月考）已知2x+3•3x+3＝36x﹣2，则x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 33．（2025春•鼓楼区校级月考）已知a＝53，b＝75，则3515可以表示为（　　） A．a3b5 B．a5b3 C．a5+b3 D．a15b15 34．（2025春•玄武区校级月考）5等于（　　） A． B． C． D． 35．（2024春•花山区校级期中）已知10a＝200，100b＝500，则2a+4b﹣4的值是（　　） A．1 B．7 C．11 D．6 36．（2025秋•石家庄期中）若[（a﹣2）2]3＝（a﹣2）（a﹣2）a（a≠2），则a的值为 　 　 ． 37．（2025秋•思明区校级期中）若4m•23＝85，则m＝　 　 ． 38．（2025秋•江北区校级月考）若n为正整数，且，则（x2y）3n＝　 　 ． 39．（2025春•靖江市校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）根据上述规定，填空：（4，64）＝　 　 ； （2）若（3，y）＝2m﹣1，（3，6x）＝m+1，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； （3）①若（4，3）＝a，（4，8）＝b，（4，24）＝c，请你尝试证明：a+b＝c； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：（xn，yn）＝（x，y）， 证明： 设（xn，yn）＝m，∴（xn）m＝yn，∴（xm）n＝yn， ∴xm＝y，即（x，y）＝m． ∴（xn，yn）＝（x，y）． 结合①，②探索的结论，计算：　 　 ． 40．（2023春•兴化市期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）若3x×9x×27x＝312，求x的值． （2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． 41．（2025春•宝应县期中）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　 　 ，D（16）＝　 　 ． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 42．已知20x＝1000，50y＝1000，求的值． 43．阅读下列材料： 若a3＝2，b5＝3，则a，b的大小关系是a　 　 b（填“＜”或“＞”）． 解：因为a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15， 所以a＞b． 解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质 　 　 A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 （2）已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小． 44．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c． 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空： （3，27）＝　 　 ，（5，1）＝　 　 ，（2，）＝　 　 ． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20） 45．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较322和411的大小. 解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2 ∴322＞222，即322＞411 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较28和82的大小 解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6 ∴28＞26，即28＞82 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 （1）比较344、433、522的大小 （2）比较8131、2741、961的大小 （3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小 （4）比较312×510与310×512的大小 五．同底数幂的除法 46．（2025秋•宝山区校级期中）下列计算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．（﹣a）8÷（﹣a）3＝a5 C．（2x3）3＝6x9 D．（﹣y3）2＝y6 47．（2025秋•鼓楼区校级期中）若xa＝2，xb＝3，则x3a﹣b的值等于（　　） A．6 B．5 C．3 D． 48．（2025秋•通道县期中）下列算式，计算正确的有（　　） ①10﹣3＝0.0001； 　②（0.0001）0＝1；　③3a﹣2；　④（﹣2）3÷（﹣2）5＝﹣2﹣2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．（2025秋•惠安期中）实数a，b，c满足2a＝3，2b＝6，2c＝24，则代数式201a﹣561b+360c的值为（　　） A．517 B．518 C．519 D．520 50．（2025春•江阴市校级月考）计算（﹣m）6÷m2的结果等于（　　） A．m2 B．m3 C．m4 D．m6 51．（2025春•涡阳县期中）已知3a＝2，3b＝4，3c＝12，则下列结论错误的是（　　） A．c﹣b＝1 B．c﹣2a＝1 C．2a+c﹣2b＝0 D．2a﹣b＝0 52．（2024春•兴宁市期中）已知3a＝4，3b＝5，3c＝8．则32a﹣3b+c的值是（　　） A． B． C． D． 53．（2025秋•新津区校级期末）若3m＝6，3n＝2，则32m﹣3n+1＝　 　 ． 54．（2025秋•宝山区校级期中）计算：a9÷a6•a3＝ 　 　 ． 55．（2025春•渭城区校级月考）若x﹣2y﹣1＝0，则2x÷（22）y×23的值为　 　 ． 56．（2024秋•荆州期末）【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作[a，b]，如果ac＝b，那么[a，b]＝c；例如32＝9，记作[3，9]＝2． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果：[5，125]＝ 　 　 ；[﹣2，16]＝ 　 　 ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有am•an＝am+n，am÷an＝am﹣n，例如32×35＝32+5＝37，36÷32＝36﹣2＝34．（2）小颖发现[4，2]+[4，3]＝[4，6]也成立，并证明如下： 设[4，2]＝x，[4，3]＝y，则4x＝2，4y＝3， 因为4x×4y＝4x+y＝6，所以[4，6]＝x+y， 所以[4，2]+[4，3]＝x+y＝[4，6]， 仿照以上证明，计算[2025，4]+[2025，6]＝[2025，　 　 ]，写出计算过程； （3）猜想[5，18]﹣[5，3]＝[5，　 　 ]，并说明理由． 57．（2025春•西湖区校级期末）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）若，则x的值为 　 　 ； （2）解方程：2x+2+2x﹣1＝18； （3）若x＝3m﹣3，y＝1+3﹣m，用含x的代数式表示y， 58．尝试解决下列有关幂的问题： （1）若9×27x＝317，求x的值； （2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值； （3）若x25m5m，y25m+5m+1，请比较x与y的大小． 59．（2023秋•内乡县期中）尝试解决下列有关幂的问题： （1）若3×27m÷9m＝316，求m的值； （2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值； （3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值． 60．阅读材料： 求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2， 得2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014． 将下式减去上式，得2S﹣S＝22014一1 即S＝22014一1， 即1+2+22+23+24+…+22013＝22014一1 仿照此法计算： （1）1+3+32+33+…+3100 （2）1． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $