精品解析： 山东省聊城市阳谷县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年山东省聊城市阳谷县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 【详解】A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 2. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； 选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意， 故选：C． 3. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∵与的面积比为， ∴与的相似比，即， ∴，即， 故选：B． 4. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 6米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键． 【详解】解：由题意知：，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故选：D． 5. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数以及勾股定理，根据锐角三角函数的定义以及勾股定理求出，再由锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】在中，， 可设，则 由勾股定理得， 故选：B． 6. 如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−−坡度坡角问题，解题的关键是根据题意得，代入即可求解． 【详解】解：∵滑坡的坡度是， ∴在中，， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，是的直径，，点C是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据平角求角度数是解题的关键．利用圆心角、弧、弦的关系，结合直径所对圆心角为平角的性质来求解的度数． 【详解】解：， 是的直径， ， ， 点C是的中点， ， ，且， ， ． 故选：B． 8. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键． 直接运用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 9. 如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（ ）． A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径． 根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以， 则，即， 解得，， 又， 所以． 故选：B． 10. 在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系,锐角三角函数的定义．计算点到上的高即可判断． 【详解】解：如图，过作于， ∵，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 中，， ∴与相交， 故选：C． 11. 如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，三线合一，垂线的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握正多边形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，，由题意可知，根据正六边形的性质可得其中心角，由三线合一可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理即可求出这个正六边形的边心距的长． 【详解】解：如图，连接，， 由题意可知：， 是正六边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 12. 如图，A，B是平面内两定点，C，D是平面内两动点，且满足，．下列说法中，①A，B，C，D四点一定在同一个圆上；②若，则A，B，C，D四点一定在同一个圆上；③若，则四边形的各边一定都与某一个圆相切；④存在四边形既有外接圆，又有内切圆．所有正确说法的序号是（ ） A. ①② B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由，证明四边形是平行四边形，可知四点不一定在同一个圆上，可判断①错误；由四边形是平行四边形，，证明四边形是矩形，则四点都在为直径的同一个圆上，可判断②正确；由四边形是平行四边形，，证明四边形是菱形，设交于点，过点分别作各边的垂线，垂足分别为点，可证明，则，同理，可知以点为圆心，以长为半径的圆与菱形的各边都相切，可判断③正确；当四边形是正方形时，该四边形既有外接圆，又有内切圆，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平行四边形的对角不一定互补， ∴四点不一定在同一个圆上，故①错误； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴四点都在为直径的同一个圆上，故②正确； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 如图，设交于点，过点分别作各边的垂线，垂足分别为点， ， ， ， 同理， ， ∴以点为圆心，以长为半径的圆与菱形的各边都相切， ∴四边形的各边一定都与某一个圆相切，故③正确； ∵是平面内两定点，是平面内两动点，且四边形是平行四边形， ∴四边形可能是正方形， ∵正方形既有外接圆，又有内切圆， ∴存在四边形既有外接圆，又有内切圆，故④正确， 故选：C． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定与性质，与圆有关的位置关系等知识，正确理解平行四边形与特殊平行四边形的区别与联系是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 在平面直角坐标系中，与位似比为，位似中心为原点，若点的坐标为，则其对应点的坐标是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，直接利用与位似比为，结合位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，进而得出答案． 【详解】解：∵与位似比为，且点的坐标为， ∴它的对应点的坐标是：或． 故答案为：或． 14. 如图，中，，正方形内接于，若，，则正方形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用正方形的性质得到相似三角形，进而根据相似三角形的性质列方程求解． 设正方形的边长为，通过正方形的性质得到角的关系，从而证明与相似，再根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 四边形是正方形， ， 又， ，则， ， ，即． 解得（边长不能为负，舍去负根）． 正方形的边长是． 故答案为：． 15. 第14届国际数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则的值为______． 图1 图2 【答案】## 【解析】 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值，根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为_____． 【答案】##30度 【解析】 【分析】由圆周角定理可得，，则，由切线的性质可知，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由切线定理可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，多边形内角和等知识．解题的关键在于确定角度之间的数量关系． 17. 在中，，，，则的外接圆的半径是_____，它的内切圆半径是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆的半径和内切圆半径． 根据勾股定理得到，进而求出的外接圆的半径，设内切圆半径是r，根据等面积法计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ ∵， ∴即为的外接圆的直径， ∴的外接圆的半径； 设内切圆半径是r， 则， 解得：， 故答案为：， 18. 图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，，若分米，分米，，则______分米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，合理的构造直角三角形进行求解是解题的关键． 延长交l于点G，易得，则，设为，则，，那么可得的余弦值，根据的余弦值列出方程求得x的值，即可求得的长即可． 【详解】解：延长交l于点G， ，，， ， ，， ， ， ， ， 设为，则， ， ， 分米，分米， ， 解得：， 分米， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，在中，，，，求，，的值． 【答案】，，． 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键． 勾股定理求得后，根据三角函数的定义计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，． 20. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键； （1）根据相似三角形的判定得，再根据即可求解； （2）利用及即可证明结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 即：， ； 【小问2详解】 证明：∵， ， ， 21. 如图，在中，． （1）求的值． （2）求的面积（结果保留根号） 【答案】（1） （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知：在中，，， ， ． 22. 请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故、如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点M在上，． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区EF的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】（1）； （2）不能，理由如下： 如图，过点M作，交于点N， 由（1）可知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在M处有一个高度为的物体，驾驶员不能观察到物体． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是关键． （1）根据题意可证，然后根据相似三角形的对应边成比例，得到，结合题中已知条件和线段的运算求得，即可求解； （2）过点M作，交于点N，可证，得到，即可求得，然后和点M处物体的高度比较可得结论． 【详解】解：（1）由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）略 23. 天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 【答案】月球与地球之间的近似距离万千米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设万千米．在和中，分别用表示和的长，再根据万千米，列式计算即可求解． 【详解】解：设万千米． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵万千米， ∴， 整理得， 解得， ∴月球与地球之间的近似距离为38万千米． 24. 综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为． （1）小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：______； （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 【答案】（1）的圆周角所对的弦是直径； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径进行解答即可； （2）设点O为圆心，连接交于点M，连接．根据为的切线得到．由得到，垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，，得到，解得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，， ∴为杯口的直径（的圆周角所对的弦是直径）， 即小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：的圆周角所对的弦是直径； 【小问2详解】 解：如图，设点O为圆心，连接交于点M，连接． ∵为的切线， ∴． 又∵， ∴， ∴， 设是半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， 所以杯口的直径为． 【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理、切线的性质定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解答本题的关键． 25. 如图，是的直径，C是上一点，于点D，延长至点F，使得 （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的周长结果保留 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 与相切； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直线与圆的位置关系，扇形面积的计算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，利用等腰三角形性质得到，再根据直径所对圆周角是直角和直角三角形两锐角互余，结合已知条件推出，进而得到，从而证明与相切； （2）先根据，，求出，再根据半径相等得到最后根据弧长公式求出的长，加上和的长，得到阴影部分的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， △是等边三角形， ， 的长度， 阴影部分的周长为． 26. 如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴半径的长为3 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省聊城市阳谷县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A. B. C. D. 3. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　 　） A. B. C. D. 4. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 6米 5. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，，点C是的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（ ）． A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 10. 在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 11. 如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 3 B. C. D. 12. 如图，A，B是平面内两定点，C，D是平面内两动点，且满足，．下列说法中，①A，B，C，D四点一定在同一个圆上；②若，则A，B，C，D四点一定在同一个圆上；③若，则四边形的各边一定都与某一个圆相切；④存在四边形既有外接圆，又有内切圆．所有正确说法的序号是（ ） A. ①② B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 在平面直角坐标系中，与位似比为，位似中心为原点，若点的坐标为，则其对应点的坐标是_________． 14. 如图，中，，正方形内接于，若，，则正方形的边长是______． 15. 第14届国际数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则的值为______． 图1 图2 16. 如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为_____． 17. 在中，，，，则的外接圆的半径是_____，它的内切圆半径是_____． 18. 图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，，若分米，分米，，则______分米． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，在中，，，，求，，的值． 20. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 21. 如图，在中，． （1）求的值． （2）求的面积（结果保留根号） 22. 请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故、如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点M在上，． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区EF的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 23. 天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 24. 综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为． （1）小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：______； （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 25. 如图，是的直径，C是上一点，于点D，延长至点F，使得 （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的周长结果保留 26. 如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $