第十七章因式分解单元练习2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十七章因式分解单元练习 一、单选题 1．把分解因式，提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 2．下列多项式：（1）；（2）；（3）；（4）其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．计算后的结果是（   ） A． B． C． D． 4．如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为15，则的值为（　　） A．100 B．120 C．48 D．140 5．对于任何正整数m，多项式都能（    ） A．被8整除 B．被m整除 C．被整除 D．被整除 6．下列各式由左边到右边的变形，不属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 7．老师在课堂上布置了如图所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 8．因式分解：，则代数式等于（   ） A． B． C． D． 9．下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下： 嘉嘉：添加，得到； 琪琪：添加，得到． 则下列判断正确的是（   ） A．只有嘉嘉的做法正确 B．只有琪琪的做法正确 C．嘉嘉和琪琪的做法都正确 D．嘉琪和琪琪的做法都不正确 11．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 下列回答错误的是（　　） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 二、填空题 12．因式分解 ． 13．若，，则 ． 14．若多项式可以用完全平方公式分解因式，则的值为： ． 15．若，则 ． 16．如果，则 ． 17．若，则的值为 . 18．多项式的一个因式为，则m的值为 ． 19．（1）若实数满足，，则的值是 ． （2）若，则的值为 ． 20．把因式分解的结果是 ． 三、解答题 21．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．先分解因式，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 23．运用提公因式法分解因式，简便计算：． 24．若，，求多项式的值． 25．观察下列式子． ①； ②； ③； ④． (1)求________． (2)猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是________，并给予证明． 26．数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式： ； ． (1)比较M，N的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 27．阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解因式，并解决一些最值等相关问题．例如： （1）分解因式：． ； （2）求代数式的最小值． ∵ ∴当时， 代数式有最小值-4． 结合以上材料解决下列问题： (1)若二次三项式恰好是完全平方式，m的值是______； (2)将分解因式，并求当x为何值时，该代数式有最小值？最小值是多少？ (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求c的取值范围． 28．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十七章因式分解单元练习2025-2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 1．C 【分析】此题考查了因式分解-提公因式法，原式提取公因式即可． 【详解】解：， 则提取的公因式是． 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键：． 【详解】解：（1），符合题意； （2）不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； （3）不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； （4），符合题意； 故选：B． 3．A 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 4．B 【分析】根据长方形的周长及面积可得，，再将变形为，即可求解． 【详解】解：由题意知，，， 则， 因此， 故选B． 5．A 【分析】本题考查了因式分解公式法和提公因式法，熟练掌握提公因式法是解本题的关键．将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除． 【详解】解： 故多项式能被整除． 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义逐项分析即可得解，熟练掌握因式分解的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是因式分解，故不符合题意； B、，右边不是几个因式的积的形式，故不是因式分解，符合题意； C、 ，是因式分解，故不符合题意； D、，是因式分解，故不符合题意； 故选：B． 7．B 【分析】本题考查因式分解，平方差公式的运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，将各式因式分解后进行判断即可． 【详解】解：①，它是利用平方差公式因式分解的，不符合题意； ②，它不是利用平方差公式因式分解的，符合题意； ③，它是利用平方差公式因式分解的，不符合题意； ④，它是利用平方差公式因式分解的，不符合题意； 故选：B． 8．D 【分析】本题考查用平方差公式因式分解．先将用平方差公式因式分解得，再结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故选：D． 9．C 【分析】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式． 【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了利用公式法因式分解，利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：添加，，故嘉嘉的做法正确； 添加，，故琪琪的做法正确， 故选：C． 11．D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 首先利用提取公因式法进行因式分解，然后再用平方差公式法因式分解，即可解答． 【详解】解： 其中运用的方法是提取公因式法和平方差公式法， 所以， *代表，故选项A说法正确，不符合题意； ☆代表，故选项B说法正确，不符合题意； 在运算过程中运用了提取公因式法和平方差公式法，△和□分别代表了提公因式法和平方差公式法中的一种，没有运用到完全平方公式法，故选项C说法正确，不符合题意；选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 12． 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13．12 【分析】本题主要考查了代数式求值，因式分解等知识，先提出公因式，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：12. 14．或 【分析】本题考查了因式分解问题，掌握完全平方公式因式分解确定待定系数是解题关键．先利用完全平方公式进行因式分解，再比较一次项的系数列方程求解即可． 【详解】解：多项式可以用完全平方公式分解因式， ， ， ，解得或． 故答案为：或 ． 15．2026 【分析】根据已知条件，求出，然后把所求代数式中的拆成的形式，然后先把分解因式，然后再整体代入求值即可． 本题主要考查了因式分解的应用，解题关键是利用拆项和分解因式的方法，使所求代数式出现的形式． 【详解】， ， ， 故答案为： 16．10 【分析】本题考查了因式分解，把直接代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：10 17．1 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：1． 18．11 【分析】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．设分解后的另一个因式为，利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为， 根据题意得：， 可得，， 解得：，， 故答案为：． 19． 3 【分析】本题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，灵活利用整体思想是解决问题的关键． （1）先利用提公因式法把多项式进行因式分解，提取公因式，再将已知代数式的值整体代入计算，即可求解． （2）先把前两项提取公因式得，整体代入后，再提取公因式，最后整体代入，即可求解． 【详解】解：（1），， ， ． 故答案为：． （2）， ． 故答案为：． 20． 【分析】本题主要考查了公式法因式分解， 该多项式是平方差形式，根据公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 21．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式． （1）根据提取公因式法分解因式即可． （2）根据提取公因式法分解因式即可． （3）根据提取公因式法分解因式即可． （4）根据提取公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 22．(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键． （1）利用提取公因式法分解，再代入求值； （2）利用提取公因式法分解，再代入求值． 【详解】（1）解： ， 当时，原式 （2）解： 当时，原式 23． 【分析】本题主要考查因式分解的应用，原式先提取公因式9，再进行计算即可． 【详解】解： ． 24．． 【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，先将因式分解为，然后把，代入即可求解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 25．(1) (2)8的倍数，证明见解析 【分析】本题考查平方差公式的应用，将数进行合理的分解是解决整除问题的关键： （1）根据题意得出； （2）理由平方差公式得出，即可得出两个连续奇数的平方差能被8整除． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为： （2）解： ， 为整数， ∴任意两个连续奇数的平方差一定是8的倍数， 故答案为：8的倍数． 26．(1)； (2)见解析． 【分析】（1）利用作差法比较M，N的大小； （2）直接列式计算，并将结果化为完全平方形式进行判断． 本题主要考查了整式的运算．核心素养表现为运算能力和推理能力． 【详解】（1）解： ． ； （2）证明： ， 不可能小于0． 27．(1) (2)当时，代数式有最小值． (3) 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，三角形的三边关系等知识，熟练掌握完全平方公式分解因式是关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）利用完全平方公式得到，根据即可求出答案； （3）原式变形为，根据非负数的性质得到，再根据三角形的三边关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵二次三项式恰好是完全平方式， ∴， ∴m的值是 故答案为： （2） ∵ ∴当时， 代数式有最小值． （3） ∴ 则， ∵ ∴ ∴ ∵a，b，c是的三边长， ∴ 即 28．（1）；（2）①；②；（3）①；② 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $