第十六章整式的乘法单元练习2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十六章整式的乘法单元练习 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 3．若，则常数，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下面括号内填入后，等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．若 ，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．计算，结果的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 9．若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（  ） A． B． C． D． 11．已知关于的方程组，则下列结论中：①当时，方程组的解是；②当的值互为相反数时，；③不存在实数，使得；④若，则．其中正确的是（   ）． A．①④ B．①③ C．①②④ D．②③ 12．已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 二、填空题 13．计算： ． 14．计算 ． 15．若，，的值为 ． 16．计算： （1） ； （2） ． 17．已知a、b互为倒数，化简： ． 18．把加上一个单项式 成为一个多项式的平方（写出一个即可） 19．已知，，则 ． 20．若是一个完全平方式，则k的值为 ． 21．现有3张A卡片、10张B卡片、8张C卡片，A，B，C卡片的边长如图所示，从这三种卡片中抽取若干张（每种卡片至少取一张），使其紧密地拼接成一个几何图形甲． （1）若甲为正方形，且边长为，则取了 张C卡片； （2）若甲为长方形，且面积为，则满足条件的整数n的值为 ． 22．已知将代数式展开后得，则的值为 ． 23．已知，则 ． 24．已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为 ． 25．将5张相同小长方形纸片（如图1）按图2所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．若，当m变化时，的值总保持不变，则a，b满足的等量关系是 ． 三、解答题 26．化简： (1)； (2)． 27． 先化简，再求值：，其中，． 28． 已知，求的值． 29．若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 30．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ∴． 解得：， ∴另一个因式为的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 解：设另一个因式为 ，得⋅ 则 ． ． 解得：，． ∴另一个因式为 ，k的值为 ． (2) 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 31．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式，，，成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即，，，． (1)根据上述规定，填空： ________；(________； (2)求证： 32．观察下列各等式： 第1个： 第2个： 第3个： … (1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则_____； (2)利用（1）的猜想计算： （n为大于1的正整数）； (3)拓展与应用：计算 （n为大于1的正整数）． 33．用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： (1)若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． (2)现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数． (3)现有A，B，C三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十六章整式的乘法单元练习2025-2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 1．C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．A 【分析】本题主要考查了平方差公式计算， 根据平方差公式的特征计算，并判断即可. 【详解】解：因为，所以A符合题意； 因为不符合平方差的形式，所以B不符合题意； 因为不符合平方差的形式，所以C不符合题意； 因为不符合平方差的形式，所以D不符合题意. 故选：A. 3．D 【分析】先根据多项式乘多项式是运算法则计算，得出，再根据，由此可得，即可得出，，进而得出答案． 本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，， 解得：，． 故选：D． 4．D 【分析】此题主要考查了完全平方式，计算时注意不要漏项．根据逐项进行计算判断即可． 【详解】A、，故原选项计算错误，不符合题意；     B、 ，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意；   D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5．D 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，等式不成立，不符合题意； B、，等式不成立，不符合题意； C、，等式不成立，不符合题意； D、，等式成立，符合题意； 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，利用平方差公式可得，进而可得，再根据完全平方公式的变形运算即可求解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 7．C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【详解】解： ， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了平方差公式的应用． 通过构造平方差公式简化乘积，结合2的幂次个位循环规律求解即可． 【详解】解： ． ∵，，，，，……， ∴2的幂次个位循环规律为：，，，，周期为4． 余0，对应第4位，故的个位为6， 即的个位为， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法公式即可求出a、b、c的关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴①，正确，符合题意； ∴②， ∴，正确，符合题意； ③，错误，不符合题意； ④，正确，符合题意； 综上，正确的结论是①②④，共3个， 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据乘法与除法的互逆关系，可得整式的除法，根据整式的除法，可得答案． 【详解】解：由与一个多项式之积是，得 ， 即这个多项式是． 故选：C． 11．A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，幂的乘方，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．本题属于基础题型，难度不大． 把代入方程组求出解，即可判断①；由题意得，变形后代入方程组求出的值，即可判断②；若，代入方程组，变形得关于的方程，即可判断③；解方程组得，从而得到，根据题中等式得，进而可求出的值，即可判断④． 【详解】解：①把代入方程组得： 解得：，故①正确； ②当，的值互为相反数时， 即： 代入方程组得： 解得：，故②错误； ③若，则有 可得：，则， ∴当时， 故③错误； ④∵ 得 把代入①得 ∴ ∵ ∴ ∴ 得 ∴，故④正确； 综上，正确的有①④ 故选：A． 12．C 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将等式化简为，得到且，列举所有可能的自然数组合，计算的值，判断选项中不可能的结果． 【详解】解：原式可化为：， ， ， ，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 时，为负数，不符合自然数条件， 可能的结果为，，，而不在其中，故的取值不可能是1． 故选：C． 13． 【分析】本题考查单项式乘以多项式，把单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，据此求解即可． 【详解】， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了完全平方公式．直接利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查的同底数幂的除法法则，解题关键是熟练掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减． 根据同底数幂除法法则的逆运用进行计算即可得解． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查同底数幂的除法， （1）根据“除数被除数商、被除数除数商”列式，然后分别利用同底数幂的除法、同底数幂的乘法进行计算即可； （2）先计算括号内的除法，再计算括号外的除法； 解题的关键是掌握：同底数的幂相除，底数不变，指数相减． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：；； （2） ， 故答案为：． 17．b 【分析】本题考查了倒数，有理数的混合运算，积的乘方的逆运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据倒数的意义可得，然后计算乘方，再整体代入计算即可． 【详解】解：互为倒数， ， ． 故答案为：b． 18．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查完全平方公式，根据已知条件即可写出一个完全平方式，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴. 故答案为：． 19．72 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方，以及幂的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将变形为，再代入求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 20． 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：， ， 解得 故答案为： 21． 4 6 【分析】本题考查了完全平方公式及多项式乘以多项式的几何应用，能熟练利用完全平方公式及多项式乘以多项式的几何应用解决问题是解题的关键． （1）由正方形的面积得，即可求解； （2）分两种情况讨论:若长方形甲的长为，宽为；长方形甲的长为，宽为， 求解即可． 【详解】解：（1）正方形的面积为： ， C卡片的面积为， 取了张C卡片， 故答案为：； （2）若长方形甲的长为，宽为， ， ； 若长方形甲的长为，宽为， ， 此时需要9张C卡片，不合题意； 综上，， 故答案为：． 22．或5 【分析】本题考查了完全平方公式：、利用平方根解方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据完全平方公式可得，则可得，再利用平方根解方程可得，然后求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：， ∵将代数式展开后得， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则； 综上，的值为或5， 故答案为：或5． 23． 【分析】本题考查同底数幂乘法公式的逆应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同底数幂乘法公式，可变形，将已知条件代入即可求出，则题目可解． 【详解】解：∵， ∴ = = 6， ∴ ． 故答案为：． 24．3 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解． 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为， 解得，， ， 故答案为：． 25． 【分析】本题考查整式运算的应用，分别表示出，根据的值总保持不变，得到值与的值无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∵当m变化时，的值总保持不变， ∴， ∴； 故答案为：． 26．(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘除，最后加减运算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）（2）原式 ． 27． 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及到完全平方公式，熟练掌握乘法公式是解决问题的关键． 根据完全平方公式以及单项式乘多项式法则先化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， ，， . 28．400 【分析】本题考查的是积的乘方及幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 29．(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的相关运算法则，正确的列出方程是解题的关键． （1）先将等式左边化为底数为的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 即， 解得：； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以， 解得：． 30．(1)；；4；20；；20 (2)另一个因式为的值为15 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，准确进行计算． （1）设另一个因式为，根据例题的方法进行计算即可求解． （2）设另一个因式为，根据例题的方法进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：． ∴另一个因式为的值为 20 ． 故答案为：；；4；20；；20． （2）解：设另一个因式为，得， 则， 解得：． ∴另一个因式为的值为 15 ． 31．(1)4， (2)见解析 【分析】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据积的乘方法则，结合定义计算． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：4；； （2）解：设，，， 则，，， ， ， ， 即． 32．(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式乘法的规律探究，观察等式发现规律是解题关键． （1）利用题中已知等式的规律得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差； （2）将原式变形为，再利用所得规律计算可得； （3）将原式变形为，再利用所得规律计算可得． 【详解】（1）解：若为大于1的正整数，则根据这些等式的运算规律可得：， 故答案为：； （2） （3） ． 33．(1)要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； (2)4 (3)方案1：A纸片1张，B纸片4张，纸片3张；方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张；方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 【分析】本题考查的是多项式乘法与图形，掌握多项式乘法法则和正确理解题意是解题关键， （1）先求出长方形面积，根据面积即可确定结论； （2）根据完全平方公式确定即可； （3）设这边的邻边长为，根据面积可得出，根据正整数解即可解决． 【详解】（1）解：， 要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； （2）解∶ 设型纸片有张， 则该正方形的面积可表示为， 解得； （3）解∶ 根据题意，这个长方形一边长为，设这边的邻边长为， 则长方形的面积为：， 则有张A纸片，张纸片，张纸片， ∵拼成这个长方形恰好用8张纸片， 所以，即， 因为和都是正整数， 则只有三组正整数解：，；，；，． 所以只有下列三种情形： 方案1：A纸片1张，纸片4张，纸片3张 方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张 方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $